Hình học không gian cổ ñiển trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học18476

Do ñó: R là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p tam giác SBC... Tính th tích c a kh i chóp S.CDNM và kho ng cách gi a hai ñư ng th ng DM và SC theo a.. SCDNM CDNM a Kho ng cách gi a hai ñư ng

Hình h c không gian c ñ i n trong các kỳ thi tuy n sinh ñ i h c

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i A-2014

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông c nh b ng a, 3

2

a

SD= Hình chi u vuông góc c a S lên m t ph ng ñáy (ABCD) là trung ñi m c a c nh AB Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách t A ñ n m t ph ng (SBD)

Hư ng d n gi i

G i H là trung ñi m c a AB, suy ra SH ⊥(ABCD)

Do ñó: SH ⊥HD Ta có

SH = SD −DH = SD − AH +AD =a

Suy ra

3

1

S ABCD ABCD

a

V = SH S =

G i K là hình chi u vuông góc c a H lên BD và E

là hình chi u vuông góc c a H lên SK Ta có

BD HK

BH SHK

BD SH

⊥





⊥



Suy ra BD⊥HE mà HE⊥SK ⇒HE⊥(SBD)

4

a

HK =HB KBH = Suy ra

3

HS HK a HE

HS HK

+

Do ñó: ( ( ) ) ( ( ) ) 2

3

a

d A SBD = d H SBD = HE=

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i B-2014

Cho lăng tr ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñ u c nh a Hình chi u vuông góc c a A’ lên m t ph ng (ABC) là trung ñi m c a c nh AB, góc gi a ñư ng th ng A’C và

m t ph ng ñáy b ng 600 Tính theo a th tích c a kh i lăng tr ABC.A’B’C’ và

kho ng cách t ñi m B ñ n m t ph ng (ACC’A’)

Hư ng d n gi i

G i H là trung ñi m c a AB, A H' ⊥(ABC) và 0

A CH =

Do ñó ' tan ' 3

2

a

A H =CH A CH = Do ñó th tích kh i lăng

tr là

3 ' ' '

3 3 8

ABC A B C

a

G i I là hình chi u vuông góc c a H lên AC; K là hình chi u vuông góc c a H lên A’I Suy ra

HK =d H ACC A

Ta có: .sin 3

4

a

a HK

Do ñó: ( ( ) ) ( ( ) ) 3 13

13

a

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i D-2014

Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân t i A, m t ph ng bên SBC là tam giác ñ u c nh a và m t ph ng (SBC) vuông góc v i m t ph ng ñáy Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABC và kho ng cách gi a hai ñư ng th ng SA, BC

Hư ng d n gi i

G i H là trung ñi m c a BC, suy ra

,

2

a

SH ⊥ ABC SH = và

2

1

ABC

a

S∆ = BC AH =

Th tích c a kh i chóp là

3

.

S ABC ABC

a

V = SH S∆ =

G i K là hình chi u vuông góc c a H lên SA, Suy

ra HK ⊥SA.

Ta có BC⊥(SAH)⇒BC⊥HK

Do ñó: HK là ñư ng vuông góc chung c a BC và SA

Ta có 1 2 12 1 2 162

3

HK = SH + AH = a Do ñó: ( ) 3

;

4

a

d BC SA =HK =

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i A-2013

Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông t i A, 0

30

ABC= , SBC là tam giác ñ u c nh a và

m t bên SBC vuông góc v i ñáy Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABC và kho ng cách t

ñi m C ñ n m t ph ng (SAB)

Hư ng d n gi i

G i H là trung ñi m c a BC, suy ra SH ⊥BC Mà (SBC)

vuông góc v i (ABC) theo giao tuy n BC, nên

SH ⊥ ABC

Ta có:

0

0

3

3 cos 30

2

a

Do ñó:

3

1

S ABC

a

V = SH AB AC=

Tam giác ABC vuông t i A và H là trung ñi m c a BC nên HA=HB Mà SH ⊥(ABC), suy ra

.

SA=SB=a G i I là trung ñi m c a AB, suy ra SI ⊥AB

Do ñó: 2 13

AB a

;

S ABC S ABC

SAB

d C SAB

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i B-2013

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông c nh a M t SAB là tam giác ñ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i m t ph ng ñáy Tính th tích kh i chóp S.ABCD và tính kho ng cách t A ñ n m t ph ng (SCD) theo a

Hư ng d n gi i

G i H là trung ñi m c a AB, suy ra SH vuông góc v i AB

2

a

SH =

Mà m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng (ABCD) theo giao tuy n AB, nên SH ⊥(ABCD)

Do ñó:

3

.

S ABCD ABCD

a

Do AB song song v i CD và H thu c AB nên

d A SCD =d H SCD

G i K là trung ñi m c a CD và I là hình chi u vuông góc

c a H trên SK Ta có: HK ⊥CD

Mà SH ⊥CD⇒CD⊥(SHK) CD⊥HI Do ñó: HI ⊥(SCD)

Suy ra: d A SCD( ,( ) )

7

HI

+

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i D-2013

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi c nh a, c nh bên SA vuông góc v i ñáy,

0

120

BAD= , M là trung ñi m c a c nh BC và 0

45

SMA= Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABCD và kho ng cách t D ñ n m t ph ng (SBC)

Hư ng d n gi i

0

120

3

SAM

45

SMA= ⇒ ∆SAM vuông t i

2

a

SA= AM =

Do ñó:

3

1

S ABCD ABCD

a

Do AD song song v i BC nên d D SBC( ,( ) )=d A SBC( ,( ) )

G i H là hình chi u vuông góc c a A trên SM

⊥





⊥



( ) ( ,( ) )

BC AH AH SBC d A SBC AH

,

Trích t ñ thi tuy n sinh Cao ñ ng-2013

Cho lăng tr ñ u ABC.A’B’C’ có AB = a và ñư ng th ng A’B t o v i ñáy m t góc b ng

600 G i M và N l n lư t là trung ñi m c a các c nh AC và B’C’ Tính theo a th tích c a

kh i lăng tr ABC.A’B’C’ và ñ dài MN

Hư ng d n gi i

AA ⊥ ABC ⇒A BA là góc gi a A’B v i ñáy

A BA= ⇒AA = AB A BA=a

Do ñó

3 ' ' '

3 '.

4

ABC A B C ABC

a

V =AA S∆ =

G i K là trung ñi m c a c nh BC

Suy ra ∆MNK vuông t i K, có

AB a

MK = = NK =AA =a

2

a

MN = MK +NK =

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i A-2012

Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñ u c nh a Hình chi u vuông góc c a S lên m t

ph ng (ABC) là H thu c c nh AB sao cho HA= 2HB Góc gi a hai ñư ng th ng SC và m t

ph ng (ABC) b ng 0

60 Tính th tích c a kh i chóp S.ABC và tính kho ng cách gi a hai

ñư ng th ng SA và BC theo a

Hư ng d n gi i

Ta có: SCH là góc gi a SC và m t ph ng (ABC) Suy ra

0

60

SCH =

HD= CD=

.

S ABC ABC

K Ax song song v i BC, g i N và K l n lư t là hình chi u vuông góc c a H lên Ax và SN Ta có BC song song v i m t

2

BA= HA

2

d SA BC =d B SAN = d H SAN

Ta cũng có: Ax⊥(SHN)⇒Ax⊥HK Do ñó: HK ⊥(SAN)⇒d H SAN( ,( ) )=HK

0

,

8

a

d SA BC =

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i B-2012

Cho hình chóp tam giác ñ u S.ABC v i SA= 2a, AB=a G i H là hình chi u vuông góc

c a A lên c nh SC Ch ng minh SC vuông góc v i m t ph ng (ABH) Tính th tích c a

kh i chóp S.ABH theo a

Hư ng d n gi i

G i D là trung ñi m c a c nh AB và O là tâm c a tam giác

AB SO

⊥





⊥

 nên AB⊥(SCD), Do ñó AB⊥SC

M t khác SC⊥ AH , Suy ra SC⊥(ABH)

2

a

3

a

3

a

SO= SC −OC =

Do ñó:

2

.

4

a

SH =SC−HC=SC− CD −DH = Do ñó:

3

.

S ABH ABH

a

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i D-2012

Cho hình h p ñ ng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân

'

A C =a Tính th tích c a kh i t di n ABB’C’ và kho ng cách t ñi m A ñ n m t ph ng

(BCD’) theo a

Hư ng d n gi i

Tam giác A’AC vuông cân t i A và A C' =a nên

'

2

a

2

a

AB=B C =

3

ABB C ABB

a

G i H là chân ñư ng cao k t A c a tam giác A’AB Ta

có

'

'

AH A B

⊥





⊥

( ') ( ,( ') )

AH ⊥ BCD ⇒ AH =d A BCD

Ta có: 12 12 12

'

6

a

d a BCD =AH=

Trích t ñ thi tuy n sinh Cao ñ ng kh i A-2012

Cho kh i chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân t i A, AB=a 2,SA=SB=SC

Góc gi a ñư ng th ng và m t ph ng (ABC) b ng 0

60 Tính th tích c a kh i chóp S.ABC theo a

Hư ng d n gi i

G i H là trung ñi m c a BC ⇒HA=HB=HC

K t h p v i gi thi t

,

SA=SB=SC⇒SH ⊥BC ∆SHA= ∆SHB=SHC

0

60

SAH

⊥





=

Tam giác ABC là tam giác vuông cân t i A

AC= AB=a ⇒BC= a⇒AH =a

Tam giác SHA vuông

3 0

.

S ABC

a

G i O;R l n lư t là tâm và bán kính c a m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC Suy ra O thu c ñư ng th ng SH, nên O thu c m t ph ng (SBC) Do ñó: R là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p tam giác SBC Xét tam giác SHA ta có: 0 2

sin 60

SH

SA= = a⇒ ∆SBC là tam giác ñ u

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i A-2011

Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân t i B, AB=BC= 2 ;a hai m t

ph ng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABC) G i M là trung ñi m c a AM; m t ph ng qua SM và song song v i B, c t AC t i N Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 0

60 Tính th tích c a kh i chóp S.BCNM và kho ng cách gi a hai

ñư ng th ng AB và SN theo a

Hư ng d n gi i

Hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng vuông

góc v i (ABC) ⇒SA⊥(ABC)

AB⊥BC⇒SB⊥BC⇒SBA là góc gi a hai

m t ph ng (SBC) và m t ph ng

M t ph ng qua SM và song song v i BC, c t

AC t i N ⇒MN//BC và N là trung ñi m c a

3

BCNM

.

1

3

S BCNM BCNM

K ñư ng th ng ∆ ñi qua N, song song v i AB H AD⊥ ∆(D∈∆)⇒AB//(SND)

( ; ) ( ,( ) ) ( ,( ) )

d AB SN d AB SND d A SND

H AH ⊥SD H( ∈SD)⇒ AH ⊥(SND)⇒d A SND( ,( ) )= AH

Tam giác SAD vuông t i A: AH SD

⊥





,

13

+

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i B-2011

Cho lăng tr ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD là hình ch nh t, AB= A AD, =a 3 Hình chi u vuông góc c a ñi m A1 lên m t ph ng (ABCD) trung v i giao ñi m c a AC và BD Góc gi a hai m t ph ng (ADD A1 1) và (ABCD) b ng 0

60 Tính th tích c a kh i lăng tr ñã cho và kho ng cách t ñi n B1 ñ n m t ph ng (A BD1 ) theo a

Hư ng d n gi i

G i O là giao ñi m c a AC và BD ⇒A O1 ⊥(ABCD)

G i E là trung ñi m c a AD

1

OE AD

A E AD

⊥



⇒ 

⊥



Suy ra A EO1 là góc gi a hai m t ph ng (ADD A1 1) và (ABCD) 0

A EO

Suy ra: 1 tan 1 tan 1 3

ABCD

S = AB AD=a

Th tích

3 ' ' ' ' 1

3 2

ABCD A B C D ABCD

a

V =S ×A O=

Ta có

B C A D B C A BD

d B A BD d C A BD CH

⇒

2

+

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i D-2011

Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông t i B, BA= 3 ,a BC= 4a, m t

ph ng (SBC) vuông góc v i m t ph ng (ABC) Bi t SB= 2a 3 và 0

30

SBC= Tính th tích c a kh i chóp S.ABC và kho ng cách t ñi m B ñ n m t ph ng (SAC) theo a

Hư ng d n gi i

H

ABC

S = BA BC = a

.

1

3

S ABC ABC

H

,

5

AC

14

HK

7

a

d B SAC = HK =

Trích t ñ thi tuy n sinh Cao ñ ng kh i A-2011

Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân t i B, AB = a, SA vuông góc v i

m t ph ng (ABC), góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 0

30 G i M là trung ñi m

c a c nh SC Tính th tích c a kh i chóp S.ABM theo a

Hư ng d n gi i

Ta có SA BC SB BC

AB BC

⊥





⊥



Do ñó: góc gi a hai m t ph ng (SBC) và

30

SBA=

.

S ABM S ABC

3

a

BC =AB=a SA= AB =

V y

3

3 36

S ABM

a

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i A-2010

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông c nh a G i M và N l n lư t là trung

ñi m c a các c nh AB và AD; H là giao ñi m c a N và DM Bi t SH vuông góc v i m t ph ng

(ABCD) và SH =a 3 Tính th tích c a kh i chóp S.CDNM và kho ng cách gi a hai ñư ng

th ng DM và SC theo a

Hư ng d n gi i

Th tích c a kh i chóp S.CDNM

2

2

5

CDNM ABCD AMN

a

V y

3

.

SCDNM CDNM

a

Kho ng cách gi a hai ñư ng th ng DM và SC

DM ⊥SH⇒DM ⊥ SHC

H HK ⊥SC K( ∈SC)⇒HK là ño n vuông góc chung c a DM và SC

Do ñó: d DM SC( , )=HK

2

2

,

19

19

CD a HC

d DM SC

HK

SH HC



= =









Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i B-2010:

Cho hình lăng tr tam giác ñ u ABC.A’B’C’ có AB=a, góc gi a hai m t ph ng (A’BC) và (ABC) b ng 0

60 G i G là tr ng tâm c a tam giác A’BC Tính th tích c a kh i lăng tr ñã cho và bán kính m t c u ngo i ti p t di n GABC theo a

Hư ng d n gi i

Th tích kh i lăng tr

G i D là trung ñi m c a BC ta có:

0

BC ⊥AD⇒BC⊥ A D⇒ADA =

Ta có:

2

Do ñó:

3 ' ' '

' 8

ABC A B C ABC

a

Bán kính m t c u ngo i ti p t di n GABC

G i H là tr ng tâm c a tam giác ABC, suy ra:

GH AA ⇒GH ABC

G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p t di n

GABC, ta có I là giao ñi m c a GH v i ñư ng

trung tr c c a AG trong m t ph ng (AGH

G i E là trung ñi m c a AG, ta có:

2

.

2

GE GA GA

R GI

Ta có

2

Do ñó:

2

R

a

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i D-2010

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông c nh a, c nh bên SA = a; hình chi u vuông góc c a ñ nh S lên m t ph ng (ABCD) là ñi m H thu c ño n AC,

4

AC

CM là ñư ng cao c a tam giác SAC Ch ng minh M là trung ñi m c a SA và tính th tích

c a kh i t di n SMBC theo a

Hư ng d n gi i

Ch ng minh M là trung ñi m c a SA

;

4

a

Do ñó: tam giác SAC cân t i C, Suy ra M là trung ñi m

c a SA Tính th tích c a kh i t di n SBCM

M là trung ñi m c a SA suy ra

SCM SCA SBCM B SCA S ABC

3

SBCM ABC

a

Trích t ñ thi tuy n sinh Cao ñ ng kh i A-2010

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông c nh a, m t ph ng (SAB) vuông góc

v i m t ph ng ñáy, SA = SB, góc gi a ñư ng th ng SC và m t ph ng ñáy b ng 0

45 Tính

th tích c a kh i chóp S.ABCD theo a

Hư ng d n gi i

G i I là trung ñi m c a AB Ta có

.

SA=SB⇒SI ⊥ AB Mà hai m t ph ng

(SAB) và m t ph ng (ABCD) vuông góc

v i nhau nên suy ra SI ⊥(ABCD)

Góc gi a SC và m t ph ng (ABCD b ng

0

45

SCI = , Suy ra

2

a

SI =IC= IB +BC =

Th tích c a kh i chóp là

3

.

S ABCD ABCD

a

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i A-2009:

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông t i A và D; AB=AD= 2a, CD=a; góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABCD) b ng 0

60 G i I là trung ñi m c a c nh AD Bi t hai

m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD) Tính th tích c a kh i chóp S.ABCD theo a

Hư ng d n gi i

⊥





⊥



K

60

IK ⊥BC K∈BC ⇒BC⊥ SIK ⇒SKI =

3

ABCD

T#ng di n tích các tam giác ABI và CDI

b ng

2

3 2

a

, suy ra

2

3 2

IBC

a

S∆ =

IBC

BC

∆

Th tích c a kh i chóp S.ABCD:

3

.

a

V = S SI =

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i B-2009:

Cho hình tr tam giác ABC.A’B’C’ có BB' =a, góc gi a ñư ng th ng BB’ và m t ph ng

(ABC) b ng 0

60

BAC= Hình chi u vuông góc c a B’ lên

m t ph ng (ABC) trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC Tính th tích c a kh i t di n A’ABC theo a

Hư ng d n gi i

G i D là trung ñi m c a AC và G là tr ng

tâm c a tam giác ABC ta có

B G⊥ ABC ⇒B BG=

3

3 2

4 2

a

a BD a

BG









Tam giác ABC có:

3

,

Ta l i có:

;

Th tích c a kh i t di n A’ABC:

3

'

A ABC B ABC ABC

a

V =V = B G S∆ =

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i D-2009:

Cho hình lăng tr ñ ng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông t i B,

AB=a AA = a A C= a G i M là trung ñi m c a ño n th ng A’C’, I là giao ñi m c a AM và A’C Tính theo a th tích c a kh i t di n IABC và kho ng cách t ñi m A ñ n m t ph ng (IBC)

Hư ng d n gi i

H IH ⊥ AC H( ∈AC)⇒IH ⊥(ABC); IH là ñư ng

cao c a t di n IABC

AC= A C−A A =a BC= AC −AB = a

2

ABC

S∆ = AB BC=a

V y th tích c a kh i t di n IABC:

3

.

a

V = IH S∆ =

H AK ⊥A B K' ( ∈A B' ) Vì BC⊥(ABB A' ') nên AK ⊥BCSuy ra AK ⊥(IBC)

Kho ng cách t A ñ n m t ph ng (IBC) là AK

'

AA B

AK

∆

+

Trích t ñ thi tuy n sinh Cao ñ ng kh i A-2009:

Cho hình chóp t giác ñ u S.ABCD có AB=a SA, =a 2. G i M, N và P l n lư t là trung ñi m

c a các c nh SA, SB và CD Ch ng minh r ng ñư ng th ng MN vuông góc v i ñư ng th ng

SP Thính theo a th tích c a kh i t di n AMNP

Hư ng d n gi i

Ta có MN song song v i CD và SP vuông góc v i

CD suy ra MN vuông góc v i SP

G i O là tâm c a ñáy ABCD Ta có :

2

a

SO= SA −OA =

3 2

AMNP ABSP S ABCD

a

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i A-2008:

Cho lăng tr tam giác ABC.A’B’C’ có ñ dài c nh bên b ng 2a, ñáy ABC là tam giác vuông t i

A, AB=a AC, =a 3 và hình chi u vuông góc c a ñ nh A’ lên m t ph ng (ABC) là trung ñi m

c a c nh BC Tính theo a th tích c a kh i chóp A’.ABC và tính cosin c a góc gi a hai ñư ng

th ng AA’, B’C’

Hư ng d n gi i

G i H là trung ñi m c a c nh BC Suy ra

'

3

A H ABC

⊥











A H =A A −AH = a = a ⇒A H =a

V y

3 '.

1 '

a

V = A H×S∆ = (ñơn v" th tích) Trong tam giác vuông A’B’H có:

HB = A B +A H = a nên tam giác B’BH cân t i B’

ð t ϕ là góc gi a hai ñư ng th ng AA’ và B’C’ thì ϕ =B BH' V y cos 1

a a

ϕ= =

Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i B-2008:

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông c nh 2a, SA=a, SB=a 3 và m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng ñáy G i M, N l n lư t là trung ñi m c a các c nh AB, BC Tính theo a th tích c a kh i chóp S.BMDN và tính cosin c a góc gi a hai ñư ng th ng SM và

DN

Hư ng d n gi i

G i H là hình chi u vuông góc c a S lên AB, suy ra SH ⊥(ABCD) Do ñó, SH là ñư ng cao

c a hình chóp S.BMDN

3

SA +SB =a + a =AB nên tam giác SAB là tam giác vuông t i S Suy ra

2

AB

2

a

SH =

2 2

BMDN ABCD

Th tích c a kh i chóp S.BMDN là

3

a