Đường thẳng AH cắt đường tròn C tại điểm thứ hai là D.. Chứng minh rằng: a BA2 = BE.BF và b Ba đường thẳng AF, ED và HK song song với nhau từng đôi một... Nếu người thứ nhất chuyển xong
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP.ĐÀ NẴNG Năm học: 2014 – 2015
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức
2) Rút gọn biểu thức , với x > 0,
Bài 2: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
Bài 3: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và hàm số y = 4x + m có đồ thị (dm)
1)Vẽ đồ thị (P)
2)Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (dm) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, trong đó tung độ của một trong hai giao điểm đó bằng 1
Bài 4: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x – m2 = 0, với m là tham số
1)Giải phương trình khi m = 0
2)Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2với x1 < x2, tìm tất cả các giá trị của m sao
Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC) Vẽ đường tròn (C) có tâm C, bán
kính CA Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là D
1)Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (C)
2)Trên cung nhỏ của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với AB Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F Gọi K là trung điểm của EF Chứng minh rằng:
a) BA2 = BE.BF và
b) Ba đường thẳng AF, ED và HK song song với nhau từng đôi một
2
P
x
x x
»AD
BHEBFC
Trang 2BÀI GIẢI Bài 1:1)A = 3 – 2 = 1
2)Với điều kiện đã cho thì
Bài 2:
Bài 3:
1) Vẽ đồ thị (P)
2) Phương trình hoành độ giao điểm của y = x2 và đường thẳng y = 4x + m là :
x2 = 4x + m x2 – 4x – m = 0 (1)
(1) có
Để (dm) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì
y = 4x + m = 1 => x =
Yêu cầu của bài toán tương đương với
(loại) hay
1
x
P
4 m
1
4
m
hay
4
7
7 4
4
m
m
m m
4 7
m m
5 hay 3
Trang 3Bài 4:
1)Khi m = 0, phương trình thành : x2 – 4x = 0 x = 0 hay x – 4 = 0 x = 0 hay x = 4
2)
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Ta có
Ta có
Vậy m = 5 thỏa yêu cầu bài toán
Bài 5:
1)Ta có nên BA là tiếp tuyến với (C)
BC vuông góc với AD nên
H là trung điểm AD Suy ra
nên BD cũng là tiếp tuyến với (C)
2)
a)
Trong tam giác vuông ABCta có (1)
Xét hai tam giác đồng dạng ABE và FBA
vì có góc B chung
Từ (1) và (2) ta có BH.BC = BE.FB Từ BE.BF= BH.BC
2 tam giác BEH và BCF đồng dạng vì có góc B chung và
2
1 2 6 1 2 1 2 2 36 1 2 2 1 22 1 2 36
4 2m 36 m2 9 m 1haym5
x 3 10, x 3 10 x x 6
x 3 34, x 3 34 x x 6
BAC90
BDCBAC90
2
AB BH.BC
BAEBFA
2
BC BF
Trang 4b) do kết quả trên ta có
, do AB //EH suy ra , 2 góc này chắn các cung nên hai cung này bằng nhau Gọi giao điểm của AF và EH là N Ta có 2 tam giác HED và HNA bằng nhau
(vì góc H đối đỉnh, HD = HA, (do AD // AF)
Suy ra HE = HN, nên H là trung điểm của EN Suy ra HK là đường trung bình của tam giác EAF Vậy HK // AF
Vậy ED // HK // AF
BFABAE
HACEHBBFC DAF· DAC FAC· · DFC CFA· · BFA·
EDHHDN
B
F
C
D
E H
K N
Trang 5SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015
MÔN : TOÁN (không chuyên) Ngày thi: 19/6/2014
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
a/ Tính:
b/ Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(1; 2) và điểm B(3; 4)
Bài 2: (2,0 điểm)
1/ Giải phương trình x4 + 5x2 36 = 0
2/ Cho phương trình x2 (3m + 1)x + 2m2 + m 1 = 0 (1) với m là tham số
a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b/ Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1) Tìm m để biểu thức
B = x1 + x2 3x1x2đạt giá trị lớn nhất
Bài 3: (2,0 điểm)
Để chuẩn bị cho một chuyến đi đánh bắt cá ở Hoàng Sa, hai ngư dân đảo Lý Sơn cần chuyển một số lương thực, thực phẩm lên tàu Nếu người thứ nhất chuyển xong một nửa số lương thực, thực phẩm; sau đó người thứ hai
chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất là 3 giờ Nếu cả hai cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực, thực phẩm lên tàu là giờ Hỏi nếu làm riêng một mình thì mỗi người chuyển hết số lương thực, thực phẩm đó lên tàu trong thời gian bao lâu?
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi M là điểm chính giữa của cung AB; P là điểm thuộc cung
MB (P khác M và P khác B) Đường thẳng AP cắt đường thẳng OM tại C; đường thẳng OM cắt đường thẳng BP tại
D Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở P cắt cắt CD tại I
a/ Chứng minh OADP là tứ giác nội tiếp đường tròn
b/ Chứng minh OB.AC = OC.BD
c/ Tìm vị trí của điểm P trên cung MB để tam giác PIC là tam giác đều Khi đó hãy tính diện tích của tam giác PIC theo R
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho biểu thức A = (4x5 + 4x4 5x3 + 5x 2)2014 + 2015 Tính giá trị của biểu thức A khi x =
- HẾT -GỢI Ý BÀI GIẢI TOÁN VÀO 10 KHÔNG CHUYÊN LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI.
4 3 25
2 x
4 x : 2 x
2 2
x
x
7 20
1 2
1 2 2
1
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 6Bài 1: a/ Tính: = 10 + 6 = 16
b/ Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A(1; 2) nên a + b = 2, và B(3; 4) nên 3a b = 4
Suy ra a = 3, b = 5 Vậy (d): y = 3x + 5
Bài 2:
1/ Giải phương trình x4 + 5x2 36 = 0
Đặt t = x2 ( t 0) ta có phương trình t2 + 5t 36 = 0 t = 25 4.1.(36) = 169
t1 = 4 (tmđk); t2 = 9 (loại) Với t = 4 x2 = 4 x = 2
2/ a/ Với m là tham số, phương trình x2 (3m + 1)x + 2m2 + m 1 = 0 (1)
Có = [(3m + 1)]2 4.1.( 2m2 + m 1) = m2 + 2m + 5 = (m + 1)2 + 4 > 0 m
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b/ Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1) Ta có x1 + x2 = 3m + 1; x1x2 = 2m2 + m 1
B = x1 + x2 3x1x2 = (x1 + x2)2 5x1x2 = (3m + 1)2 5(2m2 + m 1) = (m2 m 6)
B = (m )2 + Dầu “=” xảy ra m = 0 m =
Vậy Bmin = khi m =
Bài 3: Gọi x (giờ) là thời gian người thứ I một mình làm xong cả công việc
và y (giờ) là thời gian người thứ II một mình làm xong cả công việc (Với x, y > )
Ta có hệ phương trình:
Từ (1) và (2) ta có phương trình: Giải phương trình được x1 = 4, x2 =
Chọn x = 4
Vậy thời gian một mình làm xong cả công việc của người thứ I là 4 giờ,
của người thứ II là 10 giờ
Bài 4:
a/ C/minh AOD = APD = 900
O và P cùng nhìn đoạn AD dưới một góc 900
OADP tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AD
b/ C/ minh AOC DOB (g.g)
OB.AC = OC.BD (đpcm)
4 3 25
2 x
4 x : 2 x
2 2 x
x
2 x 2 x
1
2
1
2
13 2
13
2
1
2 1
2
13
2 1
7 20
3 2
x 2 y
20
7 y
1 x 1
) 2 ( 6 x y
) 1 ( 20
7 y
1 x 1
20
7 6 x
1 x
1
7 30
DB
AC OB
OC
P
D
I M
C
A
Trang 7c/ Ta có IPC = PBA (cùng chắn cung AP của (O))
và có ICP = PBA (cùng bù với OCP)
Suy ra IPC = ICP IPC cân tại I
Để IPC là tam giác đều thì IPC = 600PBA = 600
OP = PB = OB = R số đo cung PB bằng 600
C/minh DIP cân tại I ID = IP = IC = CD:2
Do đó SPIC = SDPC = .CP.PD = R = (đvdt)
Bài 5:
x2 = ; x3 = x.x2 = ; x4 = (x2)2 = ; x5 = x.x4 =
Do đó: 4x5 + 4x4 5x3 + 5x 2 =
Vậy A = (4x5 + 4x4 5x3 + 5x 2)2014 + 2015 = (1)2014 + 2015 = 1 + 2015 = 2016
2
1
2
1 2
1
4
1 3
3 R
12
3
R2
1 2
1 2 2
1
2 1 2 1
1 2 2
2
1
2
4
2 2
3
8
7 2
16
2 12
17
32
41 2
1 8
16 20 2 20 35 2 25 2 24 34 41 2 29
Trang 8UBND TỈNH BẮC NINH ĐỂ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn Thi : Toán ( Dành cho tất cả thí sinh )
Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2014
Câu I ( 1, 5 điểm )
Cho phương trình (1) , với ẩn x , tham số m
1) Giải phương trình (1) khi m = 1
2) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho nhỏ nhất
Câu II ( 1,5 điểm )
Trong cùng một hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x2 và (d) là đồ thị của hàm số y = -x + 2
1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) Từ đó , xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị
2) Tìm a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1
Câu III ( 2,0 điểm )
1) Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24 km Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km so với lúc đi , vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B
2 ) Giải phương trình
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt nhau tại H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại M
1) Chứng minh rằng năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc một đường tròn
2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng BM = CD
và góc BAM = góc OAC
3) Gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC
Câu V ( 2, 0 điểm )
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014
2) Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc được với nhau Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau
Hết
(Đề này gồm có 01 trang)
Họ và tên thí sinh : Số báo danh :
ĐỀ CHÍNH THỨC
0 6 2 2
2 mx m
x
2 2 2
1 x
1 1
x
Trang 9Hướng dẫn sơ lược đề thi môn toán dành cho tất cả thí sinh năm học 2014-2015
Thi vào THPT chuyên Tỉnh Bắc Ninh và câu V chuyên toán
Câu I ( 1, 5 điểm )
Cho phương trình (1) , với ẩn x , tham số m
1) Giải phương trình (1) khi m = 1
2) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho nhỏ nhất
HD :
1) GPT khi m =1
+ Thay m =1 v ào (1) ta đ ư ợc x2 + 2x – 8 = 0 ( x + 4 ) ( x – 2 ) = 0 x = { - 4 ; 2 }
KL :
2) x ét PT (1) : (1) , với ẩn x , tham số m
+ Xét PT (1) có
(luôn đúng ) với mọi m => PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2với mọi m
+ Mặt khác áp dụng hệ thức viét vào PT ( 1) ta có : (I)
+ Lại theo đề và (I) có :A = x1 + x2
= ( x1 + x2 )2 – 2 x1x2
= ( - 2m )2 + 2 ( 2m + 6 )
= 4m2 + 4m + 12
= ( 2m + 1)2 + 11 với mọi m => Giá trị nhỏ nhất của A là 11 khi m =
KL :
Câu II ( 1,5 điểm )
Trong cùng một hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x2 và (d) là đồ thị của hàm số
y = -x + 2
1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) Từ đó , xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị
2) Tìm a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1
HD : 1) v ẽ ch ính xác và xác định đ ược giao đi ểm của (P) v à (d) l à M ( 1 ; 1) v à N ( -2 ; 4 )
2)T ìm đ ư ợc a = -1 v à b = 0 =>PT của là y = - x
Câu III ( 2,0 điểm )
1) Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24 km Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km so với lúc đi , vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B
2 ) Giải phương trình
HD :
1) G ọi x ( km /h ) l à v ận t ốc ng ư ời đi xe đ ạp t ừ A -> B ( x > 0 ) L ý luận đ ưa ra PT :
=> x = 12 ( t/m ) KL :
0 6 2 2
2 mx m
x
2 2 2
1 x
0 6 2 2
2 mx m
x
1 2 2 6 12 5 0
6 2
2 2
1
2 1
m x
x
m x
x
11
2
1
1 1
x
2
1 4
24
24
x
x
Trang 102) ĐKXĐ Đ ặt 0 < a =
+ PT m ới l à : a + a2 + 2a – 3 = 0 ( a – 1 )( a + 3 ) = 0 a = { -3 ; 1 } => a = 1 > 0
+ Nếu a = 1 = > x = { 0 ; 1 } ( t/m)
KL : …………
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt nhau tại H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại M
1) Chứng minh rằng năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc một đường tròn
2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng BM = CD
và góc BAM = góc OAC
3) Gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC
HD : HS tự vẽ hình
1) Chứng minh các tứ giác ABMD , AMDC nội tiếp => A, B ,C,D , M nằm trên cùng một đường tròn
2) Xét (O) có dây MD//BC => sđ cung MB = sđ cung CD => dây MB = dây CD hay BM = CD
+ Theo phần 1) và BC//MD => góc BAM =góc OAC
3)Chứng minh OK là đường trung bình của tam giác AHD => OK//AH và OK =
+ Chứng minh tam giác OGK đồng dạng với tam giác HGA => , từ đó suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC
Câu V ( 2, 0 điểm )
1)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014
2)Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc được với nhau Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau.
HD :
1) Giá trị nhỏ nhất của P là 2011 khi a =b = 1
2) Gọi 6 th ành phố đã cho l à A,B,C,D,E,F
+ X ét thành phố A theo nguyên l í Dirichlet ,trong 5 thành phố còn lại thì có ít nhất 3 thành phố
liên lạc được với A hoặc có ít nhất 3 thành phố không liên lạc được với A ( v ì nếu số thành phố liên lạc được với A cũng không vượt quá 2 và số thành phố không liên lạc được với A cũng không vượt quá 2 thì ngoài A , số thành phố còn lại cũng không vượt quá 4 ) Do đó chỉ xảy ra các khả năng sau :
Khả năng 1 :
1
0 x x x a x1x
2
1 1
2
1 2
1 2
a
x
AH
2 1
2
1
AH
OK
GK AG
AG
GK AH
OK
2 2
1
Trang 11số thành phố liên lạc được với A không ít hơn 3 , giả sử B,C,D liên lạc được với A Theo đề bài trong 3 thành phố B,C,D có 2 thành phố liên lạc được với nhau Khi đó 2 thành phố này cùng với A tạo thành 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau
Khả năng 2 :
số thành phố không liên lạc được với A , không ít hơn ,giả sử 3 thành phố không liên lạc được với A là D,E,F Khi đó trong bộ 3 thành phố ( A,D,E) thì D và E liên lạc được với nhau ( v ì D,E không
liên lạc được với A )
Tương tự trong bộ 3 ( A,E,F) v à ( A,F,D) th ì E,F liên lạc được với nhau , F và D liên lạc
được với nhau và như vậy D,E,F l à 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau Vậy ta
có ĐPCM
C âu V : đ ề chuyên toán ng ày thi 20-6-2014
Cho tập A = { 1 ; 2 ; 3 ; ….; 16 } Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a, b mà a 2 + b 2 là một số nguyên tố.
HD :
Nếu a , b chẵn thì a2 + b2 là hợp số Do đó nếu tập con X của A có 2 phần tử phân biệt a,b m à
a2 + b2 là số nguyên tố thì X không thể chỉ chứa các số chẵn => K
Bây giờ ta đi chứng minh K = 9 là giá trị nhỏ nhất cần tìm của bài toán
Thật vậy với tập con X gồm 9 phần tử bất kì của A luôn tồn tại 2 phần tử phân biệt a,b m à
a2 + b2 l à số nguyên tố Thật vậy : ta chia tập hợp A thành các cặp 2 phần tử
phân biệt a , b mà a2 + b2 là số nguyên tố ,ta có tất cả 8 cặp l à : ( 1;4) , ( 2;3) , ( 5;8) , ( 6;11) , ( 7; 10) , ( 9 ;16 ) , ( 12 ;13) , ( 14 ; 15 ) Theo nguyên lí Dirichlet thì 9 phần tử của X có 2
phần tử cùng thuộc một cặp => ĐPCM
9
