2 điểm Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao.. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp.. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày
Trang 1S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Môn thi: TOÁN
(Đề thi gồm 01 trang) (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (3 điểm)
Cho ba số a, b, c thỏa các điều kiện a − b = 7, b − c = 3
Tính giá trị của biểu thức
2 2
a b c ab bc ca P
a c 2ab 2bc
Bài 2 (3 điểm)
Giải phương trình: 2
(2x 1) x 3 x 3
Bài 3 (3 điểm)
Giải hệ phương trình: x(y 1) y(x 1) 6
(x 1)(y 1) 1
Bài 4 (4 điểm)
1 Cho 2 số thực dương x, y thỏa điều kiện x 2y 1 Tìm giá trị lớn
1 x 1 y nhất của biểu thức P = xy2
2 Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: (x + y)(x + 2y) = x + 5
Bài 5 (5 điểm)
1 Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH Đường phân giác trong góc A cắt MN tại K Chứng minh rằng AK vuông góc với HK
2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường phân giác trong của tam giác ABC (H, D BC) Tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại
F và tia FD cắt (O) tại K Chứng minh rằng AK là đường kính của (O)
Bài 6 (2 điểm)
Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao Nam chạy ba ngày một tuần nhưng không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không bao giờ Nam chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi.Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi?
HẾT
Trang 2GỢI Ý
Bài 1 • Từ a − b = 7, b − c = 3 a − c = 10, ta có:
•
2(a b c ab bc ca) (a b) (b c) (c a) 79
40 2(a c 2ab 2bc) 2[(a b) (b c) ]
Bài 2 • Điều kiên: x –3
• (2x 1) x 3 x 2 3 (1)2x x 3 x 3 x 2 3 x2 3 2x x 3 x 3 0
(x 2x x 3 x 3) (x x 3) 0 (x x 3) (x x 3) 0 (x x 3)(x x 3 1) 0
• Tập nghiệm của (1) là
x x 3 1 0 x 3 x 1
1 13 3 17
Bài 3 x(y 1) y(x 1) 6 xy x xy y 6 3xy 8 3x( 3y) 24 nên 3x và
(x 1)(y 1) 1 xy x y 2 3xy 3x 3y 6 3x ( 3y) 2
– 3y là nghiệm của phương trình X2 + 2X – 24 = 0 …
4 x
y 2 3y 6
X 4
x 2
4
3
Bài 4 1 • Với x, y > 0, ta có: x 2y 1 x xy 2y 2xy 1 xy x y y 2xy 1
1 x 1 y
1 y 2xy 2 y.2xy 2 2xy 1 8xy P xy
8
•
y 2xy
P y 2xy 1 x y
2 • (x + y)(x + 2y) = x + 5 x2 3xy 2y 2 x 5 0 4x212xy 8y 24x 20 0
(2x) 2.2x(3y 1) (3y 1) y 6y 21 0 [2x (3y 1)] (y 3) 12
(2x 2y 2)(2x 4y 4) 12 (x y 1)(x 2y 2) 3
• Với x, y nguyên ta cóbảng sau:
Bài 5 1.Chứng minh rằng AK vuông góc với HK
• Chứng minhtứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
có tâm là M
• Chứng minhtứ giác AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH
có tâm là N Cho đường tròn (N) cắt NM tại K’ 0
AK'H 90
AK’ HK
• NM là đường trung trực của dây chung FE mà K' NM
K’F = K’E K'FE K'EF mà K'FE K'AE và
(do tứ giác AFK’E nội tiếp)
AK’ là phân giác trong góc A mà AK là phân giác trong góc
M
N A
H
D
E
Trang 3A(gt) và K'; K NM K' K AK HK(đpcm)
2 Chứng minh rằng AK là đường kính của (O)
• BHF HBE HEB CAE FAB BAD FAB FAD
tứ giác AFHD nội tiếp 0
AFD AHD 90 0
AFK 90
mà AFK là góc nội tiếp củađường tròn (O) AK là đường kính
của (O)(đpcm)
• Xét tiếp các trường hợp: H B ,H C , H ở ngoài cạnh BC
Bài 6 Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá
• Nếu 0 ngày sau đó anh ta chơi bóng đá thì ngày chơi bóng đá là thứ Hai
• Nếu 1 ngày sau đó anh ta chơi bóng đá thì ngày chơi bóng đá là thứ Ba
• Đề bài cho hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá nên ngày chơi bóng đá là thứ Tư
Suy ra 3 ngày chạy chỉ là: 1) thứ Ba, thứ Năm, thứ Bảy Khi đó ngày chơi cầu lông là thứ Sáu hoặc Chủ Nhật(không xảy ra vì đều sau ngày chạy)
2) thứ Ba, thứ Năm, Chủ Nhật Khi đó ngày chơi cầu lông là thứ Sáu(không xảy ra vì sau ngày chạy thứ Năm) hoặc thứ Bảy (không xảy ra vì khi đó sau ngày bơi thứ Sáu)
Hoặc 3) thứ Ba, thứ Sáu, Chủ Nhật Khi đó ngày chơi cầu lông là thứ Năm và ngày bơi là thứ Bảy(thỏa điều kiện của đề bài) Vậy thứ Bảy trong tuần Nam đi bơi
Có gì sai sót, kính mong Thầy Cô và các bạn thông cảm.
K
F
O
E
D
B
A
