1/ Chứng minh hàm số fx nghịch biến với mọi x thuộc R.. 2/ Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị P với đường thẳng.. Gọi S là diện tích của tam giác ABC và S’ là diện tích của tam giác A’B’C’.
Trang 1UBND tỉnh bắc ninh
Sở giáo dục và đào tạo đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 09 tháng 07 năm 2010
Bài 1 (1,5 điểm):
Cho hàm số có đồ thị là (P).
1/ Chứng minh hàm số f(x) nghịch biến với mọi x thuộc R.
2/ Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (P) với đường thẳng
3/ Vẽ đồ thị (P).
Bài 2 (2,0 điểm):
1/ Giải phương trình khi m = 1.
2/ Tìm m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm.
Bài 3 (2,0 điểm):
1/ Cho hai số dương x, y thỏa mãn: Tính
2/ Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn:
Bài 4 (3,0 điểm):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Kẻ các đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi S là diện tích của tam giác ABC và S’ là diện tích của tam giác A’B’C’
1/ Chứng minh rằng AO vuông góc với B’C’.
2/ Chứng minh , trong đó P là chu vi tam giác A’B’C’
3/ Chứng minh hệ thức:
Bài 5 (1,5 điểm):
1/ Hai số 22010 và 52010 được viết liên tiếp nhau Hỏi có tất cả bao nhiêu chữ số 2/ Cho tam giác ABC có đường phân giác trong BE hợp với cạnh AC một góc
450 (góc ) Vẽ đường cao AD của tam giác ABC Chứng minh góc bằng 450
- Hết
-(Đề này gồm có 01 trang)
Họ và tên thí sinh: ……… ………Số báo danh: ………
yf x x x
y 2x
2
x 2x2 xm 2 0
x y 3 xy x
y
x y 2
1
2
cos A cos B cos C 1
S
Đề chính thức
Trang 2Hướng dẫn chấm thi môn toán
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2010 – 2011
- Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm
- Việc chi tiết hoá điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong hội đồng chấm
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm để lẻ đến 0,25 điểm.
1 + Với x< 0 , ta cú , hàm số nghịch biến khi x < 0
+ Với x 0, ta cú , hàm số nghịch biến khi x 0 Vậy hàm số nghịch biến với mọi x thuộc R
0,25
0,25
2 PT hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng là:
PT cú cỏc nghiệm:
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng là:
0,25
0,25
1
(1,5 điểm)
3 + Đồ thị đi qua cỏc điểm:
x
+ Vẽ đỳng đồ thị cho 0,25 đ
0,25
0,25
1 + Với m = 1, ta cú pt:
+ PT cú nghiệm x = 0 và x = 2
0,25 0,25 0,25 0,25
2
(2 điểm)
2 +
Do 2 vế của phương trỡnh khụng õm nờn:
P trỡnh (*)
Pt (1) cú + Nếu m < 1 thỡ pt (1) cú 2 nghiệm cũn pt (2) vụ nghiệm Nờn pt đó cho
cú đỳng 2 nghiệm
+ Nếu m = 1 thỡ pt cú đỳng 2 nghiệm (phần 1)
+ Nếu m > 1 pt (1) cú nờn vụ nghiệm, cũn pt (2) cú 2 nghiệm đối nhau
Vậy với thỡ pt đó cho cú đỳng 2 nghiệm
0,25
0,25
0,25 0,25
yf x x x x
y 2x x x 2x 0
) 2
y 0; y 4; y 4
y 2x
A 2; 4 ; O 0; 0 ; B 2; 4
y x x
2 1 0 1 2
y x x 4 1 0 1 4
2
x – 2x 2 x 1 2 0
x 1 – 1 0
x 1 1
2
x x x m
(x 2x2) 4(x m ) (x2 2x2)2 (2x2m)2 0
(x2 4x2m2) (x2 22m)0
2
2
) 1 ( 2 2 2 2 2 4
'
m m
0
'
0
'
x y y
Trang 3+ Ta có + Đặt , ta có:
;
và
0,25 0,25
0,25
0,25
3
(2 điểm)
2 + Vì x, y là các số nguyên dương, và vai trò x, y như nhau Không mất tính tổng quát, giả sử
Dễ thấy x >2 (1)
Từ (1) và (2) ta có x = 3 và x = 4 Với x = 3 thay vào pt đã cho ta tìm được y = 6 Với x = 4 thay vào pt đã cho ta tìm được y = 4 Vậy pt đã cho có các nghiệm (x ; y) = (3 ; 6), (6 ; 3) , (4 ;4)
0,25 0,25
0,25 0,25
với AB
Ta có:
+ Mặt khác: (do tứ giác BC’B’C nội tiếp)
B’C’//At + Mà AO At (t.c tiếp tuyến)
AO B’C’
0,25
0,25 0,25 0,25
2 + Tương tự ta có OB A’C’ và OC A’B’
0,25 0,25
0,25 0,25
4
(3 điểm)
3
Ta có:
Mà Tương tự: và:
(đpcm)
0,25 0,25 0,25
0,25
x
t 0
t
t 3t 1 0
t1 3 5
2
2
y
x
1 2
1
1
x y x
2 1 1 2
1
CAtCBA 1sdAC»
2
CBAC ' B ' A
CAt· C ' B ' A·
SOB’AC’ 1OA.B 'C ' 1B 'C '.R
OA’BC’
S OB.A 'C ' A 'C '.R
OB’CA’
S OC.B ' A ' B ' A '.R
SABC 1R(A ' B ' B 'C ' C ' A ') 1P.R
AB'C' BC'A ' CA 'B'
S' 1
2 AB'C' AB'C' AB'B
S S S AC ' AB ' AC ' AB '
S S S AB AC AC AB
2 BC'A ' ABC
S
cos B
ABC
S
cos C
cos A cos B cos C 1
S
Trang 41 Giả sử 22010 có k chữ số và 52010 có p chữ số thì số chữ số phải tìm là k + p
Ta thấy: 10k – 1 < 22010 < 10k
10p-1 < 52010 < 10p
10k + p – 2 < 102010 < 10k+p
k + p – 2 < 2010< k + p k + p – 1 = 2010 k + p = 2011 Vậy hai số 22010 và 52010 viết liên tiếp nhau thì có 2011 chữ số
0,25 0,25 0,25
5
(1,5 điểm)
2
+ Qua E vẽ EM AC (M thuộc BC)
Vì + Dễ thấy ABE = MBE (g-c-g)
EA = EM AEM vuông cân tại E
+ Mặt khác tứ giác ADME nội tiếp đường tròn đường kính AM
(đpcm)
0,25 0,25 0,25
============Hết===========
AEB45 BEM· 45 0