Luận án phó tiến sỹ Về một số bài toán ngược trong phương pháp trọng lực

Luận án phó tiến sỹ Về một số bài toán ngược trong phương pháp trọng lực Tài liệu tham khảo Luận án phó tiến sỹ khoa học toán lý " Về một số bài toán ngược trong phương...

vO VAN THANH

TRONG PHUONG PHAp TRQNG Lt)'C

CHUYEN NGANH : E)!A VAT LY

Cong trlnh duQc haan thanh t~i

TRUONG BAI HQC TONG H<;jP THANH PHO HO CHI MINH

N guoi huang d§.n khoa h9C :

Giao Su Tie'n SI BANG BINH ANG

B~i H9CT6ng HQpTp H6 Chi Minh

D!C DIEM CHUNG CUA LU~ AN

1 M-q.eweh nghien euu

B~ tai "V~ mQt s6 bai tmin nguqe trbng phuang phaptrc;mgItJe"duqe thtJe hi~n nhAm :

(i) V~ n4t h<;>ethu~t, ehlnh h6a mQt s6 bai toannguqe tuye'n tinh khong chlnh thuCmg g~p trongphuang phap tr<;>ngItJc trong V~t Ij dia c~u U'ngd\illg

(ii) V~ n4t U'ngd1:mg,tren ca sO'cae m~ hinh toanda

khao sat, dua ra mQt s6 phuang phap x1i Ij s6li~u trong phuang phap tr<;>ngItJe

2 Phtidng phap nghien euu

Cae bai roan duqe dua v~ phuang trlnh tieh phan lo~i I

Av=Ftrong do A la roan t1i tuye'n tinh lien t'.1egiiJa cae khonggian ham, F duqe tinh tU cae diJ ki~n cho va v la ham c~ntime

Hai phuang phap chlnh h6a duqc dung la phuang phapTikhonov va phuang phap bai roan moment Cong c'.1toanh9C duge s1i d'.1ng la Iy thuye't giai tieh va giai tieh ham,giai tich s6 Cae thu~t roan dua ra duqe I~p trlnh d~ eh~ytren may tinh ea nhan

3 Nhung dong gap moi eua lu;J.nan.

(i) Tim duqe nghi~m chlnh h6a cua mQt s6 bai toannguqe tuye'n tinh; uae luqng duqe SID s6 giiJanghi~m chlnh h6a va nghi~m chinh xac duaianh hudng eua nhi~u do d~e;

-'

(ii) Bua ra phuang phap tinh cac s6 li~u do tr(;mg h,ic trong nhUng vung khong co s61i~u do.

(iii) Bua ra mQt cacn tie'p t\lc giai tlch trt1dng di thudng tr~mg h,ic v~ phia di vl}t.

(iv) x8.c dinh hi~u 86 ml%t dQ di Vl}t va moi trudng xung quanh tU 86 do di thudng tr<;mg h,ic vagradient cua no iran mQt mi~n hUll h~n .

Bong gap mai 180dua bai toan Cauchy vao mo hinh xtYly s6 li~u tr<;mg h,ic.

4.Ynghiathl1c ti~n cua lu~n an

Ke't qua nghien coo cua d~ tai 113.CC1sa khoa h<;>ctrong giai toan dinh lugngs61i~u tr<;>ngIvc trong V~t ly dia Call ling d\lng B6ng thai d~ tai con dugc stYd\;mg trong nghien coo khoa h<;>cva giao d\lc dilO ~o ng8onh Vl}t ly dia Call.

5 ca'u trUc lu~n an

NQi dung lul}n an dugc trlnh bay trong6 chuang, ma

dan, ke't lul}n va thu m\lc tai li~u tham khao; g6m 99trang danh may

6 Gid'i thi~u cac bai baa va baa cao khoa hQclien quaD de'n lu~n an

NQi dung cua lul}n an da dugc cong b6 trong 7 congtrinh trong nuac va nuac ngoai MQt phan ke't qua cualu~n an da dugc baa CaDtham gia hQi nghi khoa h<;>ctrongnuac

Tac gia xin bay to long bie'tan san siic v~ Thay huangd~n GSTS B~ng Binh Ang, nglidi da he't long diu diit vahuang dAn thvchi~n lul}nan nay

Trong qua trinh hoan thanh lul%n an, tac gia da nhl%ndl1gc nhi~u y kie'n quy bau cua PGS La Quang To~i,BHTH Tp HCM, PGS Trlin V1nh Twin, Trung Tam H9CLi~u Tp HCM, GST8 La Minh Trie't, Vi~n Khoa H9CGong Ngh~ va Moi TrliCmg,PT8 Nguy~n Bt1c Tie'n, BHBK

Tp HCM, PT8 La Quang Quye't, Phan vi~n Dliu Khi.Lul%nan nay khong th~ hoan thanh ne'u thie'u slJ giup dO'v~ vl%tcha't ding nhl1 tinh thlin cua PG8 Nguy~n VanBe'n, PGS Nguy~n Nhl%tKhanh, Th~c 81 Trlin Ta'n My~.Giang Viall B~ng Van Li~t, Khoa Vl%t Ly BHTH Tp.HCM; Giang Viall Binh Ng9c Thanh, Khoa Toan BHTH

Tp HCM, Giang Vian Chu Bt1c Khanh, TrliCmg DlJ Bi B~i

H9C Tp HCM

Tac gia xin bay to long bie't an chan thanh d6i v6'i ta't

ca cac ca nhan va cctquan n6i trail

~

./

T Blli toaD thu~n, hili toaD ngdqc.

Trong V4tly,khi me}t nh6m slf ki~n nha't dinh nao dodugc hQi du thi sinh ra mQt nh6m slf ki~n nha't dinh khac.Hai nh6m slf ki~n nay d\1gc baa la co lien h~ nhan - qua d6i v6i nhau Nh6m trtiac g<;>ila nhan, nh6m sau g<;>ila qua Thi d\l trong Tr<;>ngI1JC,ph an b6 IIU%tde} kh6i lugng cua mQt vl%tla nhan con the' tr<;>ngllfC do vl%t nay sinh ra

la qua Biii toan cho ml%t de} kh6i lugng (nhan), tim the" tr<;>ng 11JC(qua) dugc g<;>iIii bai toan thul%n; con bai toan bie"t the' tr<;>ngllfC tim phan b6 ml%t dQ kh6i lugng la bai toan ngugc.

ll Bi(;u di~n toaD h9C.

. Me}t qua trinh Vl%tly thucmg dugc bi~u di~n bang mahinh roan g6m : dliu vila, h~ th6ng, dliu ra (hlnh 1)

1 1

-Hinh 1 Mo hinh toan cua mQt qua trinh V~t 1y.

Vi~c nghien cllu qua trinh V~t 1y thong qua mo hinh

toan co thg chia thanh ba 1o~ibai toan sau day:

(A) Bai toan thu~n : Cho d~u vaG va h~ th6ng (thamso), till d~u ra

(B) Bai toan khoi ph\lc : Cho d~u ra va h~ th6ng(tham so) till d~u vaG

"(C) Bai toan xac dinh h~ th6ng : Cho d~u vaG va d~u

ra, xac dinh h~ th6ng (tham so)

Bai toan" thuQc lo~i (A) duqc baa 1a thu~n vi no theechi~u tli nhan tai qua Theo y nghla nay thi cac bai toanthuQc lo~i (B) va (C) duqc gQi1a bai toan nguqc

Bai toan (B) thuC1ngxua't hi~n trong phuemg phap tlitrQng llfC;bai toan (C) trong tham do di~n va dia cha'n

ill Bai toaD khong chinh.

Nam 1902, nha toan hQc Phap J.Hadamard dua ra caetieu chmln dg mQt bai toan duqc gQi 1a d~t dung (chinh)nhu sau

1.- Nghi~m phai t6n t~i (slf t6n taD.

2.- Nghi~m phai duqc xac dinh mqt cach duy nha't

bi1icac dli ki~n cho (SIf duy nha't).

3.- Nghi~m phai tuy thuQc mQt cach lien t\lc va cac

dli ki~n cho (slf 6n dinh).

Ne'u mQt (ho~c nhi~u hem) trong ba tieu chmln noi trankhong duqc thoa thi bai toan duqc gQi 1a khong chinh

./

IV Chinh hoa

Chinh hoam(>t -bai toan khong ehinh la tim nghi~mxS:p xi 6n dinh eua bai toan, g9i la nghi~m ehinh boa.Trong lul%nan nay me gill dunghai phl1cmg phap :ph\1C1IlgphIlp Tikhonov va phl1cmg phap dung hai toan

-1 Phudng phap chinhhoa Tikhonov

V6'i U vaF la cae khong gian ham, xet anh x~

Av =q> (3)Gia sa phti<1llgtrinh (3), vai ~n ham v, ne'u co nghi~mthi se co vo s6 nghi~m B!iy gid ta co bai toan khongchinh theo Hadamard (di~u ki~n 2 bi vi ph~m).

Chinh hoa (3) biing each thay (3) bai cae bai toanmoment hfiu h~n

CI,l th~ 1a v6i (3) co d~ng

i = 1, ,n (4)

J v(l;)g(x, I;)d~= q>(x).a

(5)

thi (4) co d~ng

J v(l;)g(xbl;)d~ =q>(xi),

a

trong do ~n ham v trong phti<1llgtrinh (6) (ma chung toi

ky hi~u 1a vn) dtiqc tim trong khong gian hfiu h~n chi~usinh bai cae gi vai

gi (~= g(xi,1;)

V Me}t 86 bili to an ngUQc trong 'fr9ng I1fc

Trong phti<1llgphap tr~mg hie thudng g~p cae bai toannguqe tuye'n tfnh sail day:

ale Bili tmin tim phan b6 m~t de} p(x)

Trong bai toan nay nguC1ita eho hinh dang va kfehthtiae eua di v~t 0, di thtidng ilg do di v~t gay ra Tim

ph an b6 m~t de:?p

!

Bay la bai toan khong chinh thee nghla co vo so

nghi~m ho~c khong co nghi~m

hi Bai toan chuy~n tniong xu6ng duOi

Trong bai roan nay nguai ta cho di thuang tr«;mgl,!c U;li

~t co dQ caoh, bell tren ~t d6t, tim di thuang trc;mgl,!c U;li~t d6t

Bai roan nay thuQc lo~i khong chinh thee nghla khong

co nghi~m ho~c ne'u co nghi~m thi nghi~m la duy nh6tnhu'ng khong tuy thuQc mQt cach lien t\lc vao cac dii' ki~n. .choo

c/ Bai toan ngol1-i 8UY86li~u do

Trong bai roan nay nguai ta chi cho di thuang trgng l,!c Uo

va gradient ul cua no trong mQt wng hOO h~n tren ~td6t, tim v la gradient cua di thuang tren ~t d6t bellngoai mi~n do d~c

Bay la bai roan khong chinh thee nghla nghi~m khongtuy thuQc mQt cach lien t\lc vao di~u ki~n chao

d! Bai toan tim hinh d~ng D

Trong bai toan nay nguai ta cho p tim hinh d~ng D tU

di thuang tr«;mgl,!c do tren m~t d6t Bay la bID toan phituyen Bai roan nay dii du<JcRA Smith (1960) chUngminh co nghi~m duy nhB:t

Laplace) i1bell tren m~t da't, do cac di v~t i1bell dtiO'i~t

da't gay nell, tit cac s6 li~u do d~c th\;fChi~n tren mQttuye'n ho~c mQt viIng.VO'imo hinh la bai toan Cauchy chophtic:mgtrlnh Laplace tren mla ~t phiing tren ho~c mlakhong gian tren nguai ta chi c:in dii ki~n do tren mQt

tuye'n co de} dai hoo h~n, ho~c mQt ph:in ~t phiing co

di~n tich hOOh~n; di~u nay co dtigc la do cac dinh If v~

duy nha't nghi~m cua bai toan Cauchy cho phtic:mgtrlnhLaplace

Trong tinh toan th\;fCd\lng, cac bai toan khong chinhc:in phai dtigc chinh boa Nghi~m chinh hoa la me}tnghi~m xa'p xi 5n dinh Va'n d~ chinh hoa bai toanCauchy cho phtic:mgtrlnh Laplace trong trtiemg hgp t5ngquat dB.dtigc Lattes S va Lions J.L xet nam 1967.Cac tacgia nay dung phtic:mg phap quasi-reversibilite d~ chinh-boa bai tolin, nhu'ng khong dtia ra tiO'cltigng v~ sill s6.Chung toi dung phtic:mgphap chinh hoa Tikhonov va tiO'cltigng dtigc sill s6 giiia nghi~m chinh hoa va nghi~m chinh

xac trong truC1nghgp cae di~u ki~n bien bi anh hudng bdi

sai so do d/ilc.

H Bai toaD Cauchy chophudng trinh Laplace trenn~a m~t phalng tran

H.I Bai toaD

Bai roan dugc xet Ia : Tim mQt ham u(x,y) v6'i(x,y) E D trong do D= { (x, y) 1-00 < x <00 ,y > 0 }thoa

1

l

v2u = 0 , tren D, .

u(x,O)= Uo(x) ,- 1 < x < 1 ,Uy(x,O)= Ul(x) , -1 < x < 1,

(1)(2)(3)

x e J Ia !in ham Khi do ne'u urn dugc vex), x E J thi sexac dinh dugc u(x,y), (x,y) e D Nhu v~y chung ta co bairoan Cauchy ngugc Chung t6i thie't I~p dugc phucmg trinhtich phan tinh v ([3])

J In Ix - ~ Iv(~)d~=q>(x)

J

(4)

trong do

q>(x)= 1tUo(x) - J In Ix- ~~1(~d~

I(4) La phtiang trlnh tich ph an tfnh v

Chinh hoa (4) bAng cae bai toan moment hoo h~n

q>i=CP(xi)

Chung t6i thu dtigc ke't qua ([6])

(i) Nghi~m chinh hoa : V6'i cP={cpJ ,1 ~ i ~ n chotrti6'c, tim dtigc ~b '~n E R d~ cho

n

i=l

(6)

la nghi~m chinh hoa cua (4)

(ii) U6'c ltigng sai s6: V6'i nhi~u dil ki~n 0 > 0 thoa

II~-q> IL ~ 0thi 8ai 86 giila nghi~m chinh hoa va nghi~m chinh xac Vola

IIVn«»(/-l)- Vo 11<E

(V n , gJ =q>i , _l_n1<'< (5)trong do

gi=lnlxi-1 ,1 i n, xi E I

m Bai Toan Cauchy ChoPhtidng Trinh Laplace

Tren Nua Khong Gian

IV Bai tmin Cauchy cho phudng trinh Laplace

trong mQt dai khong d~u

IV.I Bai toaD

Bai toan dl1gcxet la :

TimmQt ham u(x,y) vai (x,y) E D trong do D la mQtmi~n phling dl1gcd~nh nghia bd'i

Vai F(x) la ham tfnh dl1gctU cae dii'ki~n chao

Dung phl1ang phap chinh hoa Tikhonov, chung wi thudl1gcke't qua: ([1])

(ii) Uae h1gng SIDs6: Vai nhi~u dit ki~n 8 > 0 thoa

IIF-Fo 11<8thl sai s6 giila nghi~m chinh hoa Vg(13=8)va nghi~m chinhxac cho bi!Ji

do di thl1ang tr9ng h!c i!JdQ cao k d6i vai ~t dlit Trttang

di thl1ang nay phan anh cac c4u trUc dia chlit d g~n mat

dlit -di thttemg dia phl1ang-cimg vai cac cliu trUc dia chlit

d san dl1ai m4t dlit - di thttemg khu V1f.c- B~ 19Cdi di

thuCrng khu v,!c, nghla lam n6i b~t cae di thuCrng diaphuang, ngliCrita phai xac dinh di thuCrngtr<;mgl,!c (; ngaytren m~tda't Trong truCrng hgp nay, cae tri gia di thuCrngtr<;mghjc do 0 dq caD k so vai m~t da't du d€ xac dinh dithuCrngtren ~t da't.

ll Bai toan Dirichletngtigc cho phudng trinh

Laplace tren nua ml}t phAng

ll.l Bai toan

Bai toan dugc xet la cho ham u(x, y) veti (x, y) e Dtrong do

D = {(x, y) 1- 00< x < 00,y > 0 }thoa

Chung toi thie't l~p dugc phuang t,rinh tich phan

(15)

Dung phuang phap chinh hoa Tikhonov chung toi thudugc ke't qua gi6ng IV.2 Chuang 2 ([4])

m Bai tmin Dirichlet ng\tqc cho ph1idng trinh

Laplace tren nua khong gian

Ta tim v(x,y) = u(x,y,O)

m.2 Thie't l;)p ph1idngtrlnh dch phan va chinhhoa

Chung t6i thie't 1~p dugc phU<1Ilgtrinh tich phan

trong do f 1a ham cho trtiac va v 180<in ham.

BAng phuang phap chinh hoa Tikhonov, chung tOi nh~n dugc ke't qua ttiang t1J nhti 11.2 trong chuang nay

(17)

([5]).

(i)Lo~i bai toaD thli nha't la chobie't hinh d~ng cua

di v~t, xac dinh ham ph an b6 ~t dQ kh6i lugng

W cac di thucrng tr~mg ItJc do dugc tren ~t da't.(ii) Lo~i bai toaD thli nhi lacho bie't ham ph an b6m~t dQ kh6i lugng cua di v~t, xac dinh hinh

d~ng W cac di thucmg tr<;mgItJc do dugc tren m~t

da't

Trong chuang nay chung t6i xet bai toan tim ham hi~llso' ~t dQ v cua di v~tD W cac so' do di thucrng ilg va

gradient cua ilg trong mQt mi~n hUll h~n tren m~t da't

H BAI TOAN HAl CHrEU

H.! Thie't L~p Bid Toan

Bai toaD dugc d~t du6'i d~ng h~ th6ng phuang trinhtich phan

Chinh hoa (2) b~ng cae bai toan moment hoo h~n duqc

ke't qua tucmg t1!nhu a Chuang 2 ([2],[6])

III HAl TOAN HA CHIEU

Ke't qua t1iang t1!nhu Bai toan hID chi~u

M6 hinh 1 : Cho la hinh chu nh~t, B la hinh chu nh~t; vO

= 1,32 Ke't qua cho 0 hinh 4.

MOT PHUONG PHAp TINH cAe TRI GIA DO

TRONG Lue (j cAe MIEN KHONG eo

I GiOi thit$u

Gia 811tr€m mQt tuye'n do co chi~u dai hUll h9-n 1=(-1,1),

chung ta do du<;1cdi thucmg tr<;mg hfC ilg =Uova gradient

cua no Ul Vi di thuang tr9ng hfC th6a phuC1ng trinh Laplace; do do Unva Ul la di~u ki~n Cauchy tren I cua bai toan Cauchy cho phucmg trinh Laplace tren mla m~t ph~ng Dung ke't qua trong 11.2 chuC1ng2, tinh

'"

Vn(q»= L~igi

i=ltrong do gi (~= In IXi- ~I ,~ e J. Vn cho bdi (1) chinh

la gradient cua ilg tren J la rni~n bell ngoai I ([7])

ll.Tfnh So'.

'~l>""~n e R (1)

Trong Ph~n nay, chung ta tinh toan ct.!th4 v6'i ma hinh

hID hinh t1"\ln~m ngang Ke't qua d Hinh 2.

Trong Chuang nay chung toi xet mQt phuang phap tinh

di thuCrngtr<.mgl\iC agAndi v~t Trong ~t ph~ng qui v~h~ ~a dQ vuong g6c (Oxy) vai tr\lc y th~ng dUng huang tUduai len tren; gC?icj>(x,k)la di t~U(1ng quan trAc dugc t~ituye'n y =k Tuye'nnay c6 thg tren ~t da't ho~c a dQcao.

nao d6 tren ~t da't Chung ta c6 cj>(x,y)thoa phuang trinh.6.[cj>(x,y)]=0 Bai toan la di tim cj>(x,O)a bell duai tuye'n

quan trAc (y =k) tU cac da ki~n cj>(x,k).Tinh toan dugcth\iC hi~n tren mo hinh 2 chi~u va 3 chi~u

Mo hinh roan dugc dung la bai roan Dirichlet ngl1gccho phuang trinh Laplace trong Chuang III

ll.Tinh 86

Ba mo hinh dugc dung la :

(i) Mo hinh ba hinh tr\l niim ngang cung dQ sau

(ii) Mo hinh ba hinh tr\l niim ngang khong cung dQ sau(iii) Mo hinh baqua cAll

X1 0 '2 X)

" -h

. Chc;m d<1Ilvi buCtc chuy~n tntemg Iii hllO, ke't qua 6n

dinh vCtik = O,7h cho (1Hinh 3 ([4],[5])

CHUnN TRU<JNG XU6NG

k=7 140

KET LU~

M\lc dich cua lu~n an nay la nghien coo mqt 86 baitoan thuang g~p trong xli ly 86 li~u giai doan tr<;mgIvctrong Bia V~t Ly Cac bai toan dugc xet thuqc loq.i baitoan ngugc tuye'n tint khong chinh Tren ca 8a cac

nghi~m chinh hoa tlm dugc xay dvng thu~t toan ap d\lngcho cac 86 li~u rai rq.c trong tint toan giai doan tr~mg Ivc.Ca~ bai toan dugc xet la

(i) Bai toan Cauchy cho phuang trinh Laplace tren mqt

86 mi~n khac nhau

(ii) Bai toan Dirichlet ngugc cho phuang trinh Laplacetren mqt 86 mi~n khac nhau

(iii) Bai toan xac dinh ~t dq trong tr<;mgIvc

Vai m\lc dich tren, lu~n an d~t ten la: "V~ mqt 86 baitoan ngugc trong phuang phIlp tr<;mgIvc"

Lu~n an giai quye't cac va'n d~ 8au :

1 TIm nghi~m chinh hoa cua cac bai toan

(i) Duai dq.ng tuang minh va danh gill 8ai 86giuanghi~m chinh hoa va nghi~m chinh xac duai anh huangcua nhi~u do dq.cdu ki~n Ke't qua dugc trinh bay a

chuang 2 ([3],[7],[1])

2 TIm nghi~m chinh hoa cua cac bai toan

(ii) Duai dq.ng tuang minh va danh gill 8ai 86 giuanghi~m chinh hoa va nghi~m chinh xac duai anh huangcua nhi~u do dq.c du ki~n Ke't qua dugc trinh bay' a

chuang 3 ([4],[5])

3 Tim nghi~m chinh hoa cua cae bai toan.

.(iii) Dtiai d~ng ttiC1ng minh va danh gill sai s6 gifianghi~m chinh hoa va nghi~m chinh xac dtim anh htiang etia nhi~u do d~c dli ki~n Tfnh s6 tren' mo hinh.

Ke't qua dtiqc trinh bay a chticmg 4 ([2],[6])

4 Tli ke't qua 1 dtia ra mqt phticmg phIlp tinh s6 1i~utrc;mg 1,!c tren tuye'n ho~c trong viIng khong co s6 do(phep ngo~i suy) Thu~t toan ap d1}ng tren mo hinh 1ythuye't co ke't qua t6t

Ke't qud trinh bay a chticmg 5 ([7])

5 Tli ke't qua 2 dtia ra mqt each tie'p h;lc giai tichtrtiemg di thtiang tr<.mg 1,!c v~ phia di v~t bfulg phticmgphap chinh boa Tinh toan cho th:1y 6n dinh vai btiacO,Th, h 1a dq sau cua di v~t Tai G,8h thi co d:1u hi~unhi~u Co th~ dung da'u hi~u nhi~u d~ tiac 1tiqng dq sailcua di v~t~

Ke't qua trinh bay a chticmg6 ([4],[5])