Nội dung ôn tập chương IV Đại số 916439

a Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.. a Chứng tỏ rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.. a Chứng minh rằng phương trình 1 luôn c

Trang 1

NỘI DUNG ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ 9

-*** -Dạng 1: Hàm số và đồ thị của hàm số:

Bài 1:

Bài 2: Cho hai hàm số (P): y = x2 và (d): y = 2x -

2

1

2 3

a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính

Bài 3 :

a) Vẽ đồ thị hàm số (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = -x + 2 trên cùng hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính

Bài 4 : Cho hàm số (P) : y = -x2 và (d) y = 3x + 2

Bài 5 : Cho hàm số (P) : y = -x2 và (d) y = x – 2

y = -x2 -4 -1 0 -1 -2

* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) : -x2 = x – 2 x 2 + x - 2 = 0

Phương trình (5) có a + b + c = 1 + 1 + (-2) = 0

Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: x1 = 1 và x2 = = -2

a c

+ Thay x1 = 1 vào (P) ta được: y1 = -1 + Thay x2 = -2 vào (P) ta được: y2 = -4

Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là : (1; -1) và (-2; -4) Bài 6 : Cho hàm số (P) : y = x2 và (D) y = x + 2

4

1

2

1



a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (D) trên cùng mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính

Bài 7 : Cho hàm số (P) : y = x2 và (d) y = x +

3

1

3

1 3 2

y = x2

3

* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) :

x2 = x + x2 – x - = 0 x2 – x – 2 = 0

y = x – 2 -2 -1

y = x +

3

1 3

Trang 2

(a = 1; b = 1; c = -8) Phương trình (7) có a – b + c = 1 + 1 + (-2) = 0

Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: x1 = -1 và x2 = = 2

a

c



+ Thay x1 = -1 vào (P) ta được: y1 = + Thay x2 = 2 vào (P) ta được: y2 =

3

1

3 4

Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là : (-1; ) và (2; )

3

1

3 4

Bài 8 : Cho hàm số (P) : y = x2 và (d) y = x + 1

2

1



2

3



* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) :

x2 = x + 1 x2 x – 1 = 0 x2 – 3x + 2 = 0 (8)

2

1



2

3

2

1



2

3

(a = 1; b = -3; c = 2) Phương trình (8) có a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0

Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: x1 = 1 và x2 = = 2

a c

+ Thay x1 = -1 vào (P) ta được: y1 = + Thay x2 = -2 vào (P) ta được: y2 = -2

2

1



Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là : (-1; ) và (-2; -2)

2

1



Dạng 2 : Giải phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

a/ 5x2 – 3x = 0  x(5x – 3) = 0  Vậy tập nghiệm của phương trình là S =









 5 3

0

x











 5

3

; 0

b/ 36x2 – 4 = 0  36x2 = 4  x2 =  x = Vậy S =

9

1

3

1















3

1

; 3 1

c/ 3m2 – 8m + 5 = 0 ©

(a = 3; b = -8; c = 5)

* Phương trình © có: a + b + c = 3 + (-8) + 5 = 0

Nên 2 nghiệm của phương trình © sẽ là: x1 = 1 và x2 = Vậy S =

3

5











 3

5

; 1

a/ 7x2 – 5x = 0  x(7x – 5) = 0   Vậy tập nghiệm của phương trình là S =







 7 5

0

x











 7

5

; 0

Y = x2

2

1

y = x + 1

2 3

Trang 3

b/ 2x2 – 7x + 3 = 0 (a = 2 ; b = -7 ; c = 3) ∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 > 0

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :

x1 = = 3 ; x2 = = Vậy tập nghiệm của phương trình là S =

2 2

25

7 

2 2

25

7 

2

1











 2

1

; 3

a/ x2 – 9 = 0  x2 = 9  x = 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =    3 ; 3

b/ 5x2 + 5x = 0  x(5x + 5) = 0  Vậy S =











 5 5

0

x











  5

5

; 0

c/ x2 – 4x + 4 = 0 (a = 1; b’ = -2; c = 4)

∆’ = b’2 – ac = (-2)2 – 1.4 = 0 Do ∆’ = 0 nên phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = = 2

a b'



Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  2

a/ 3x2 – 27 = 0  3x2 = 27  x2 = 9  x = 3 Vậy S =    3 ; 3

b/ 2x2 + 5x = 0  x(2x + 5) = 0   Vậy S =









 2 5

0

x











  2

5

; 0

c/ 2x2 – 7x + 3 = 0 (a = 2 ; b = -7 ; c = 3) ∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 > 0

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :

x1 = = 3 ; x2 = = Vậy tập nghiệm của phương trình là S =

2 2

25

7 

2 2

25

7 

2

1











 2

1

; 3

d/ x2 - 4 3x + 12 = 0 (a = 1 ; b’ = -2 3 ; c = 12) ∆’ = b’2 – ac = (-2 3)2 – 1.12 = 0

Do ∆’ = 0 nên phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = = 2 Vậy S =

a

b'

a/ x2 – 25 = 0  x2 = 25  x = 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =   - 5;5

b/ 4x2 + 5x = 0  x(4x + 5) = 0  Vậy S =











 4 5 0

x











  4

5

; 0

c/ 4y2 + 12y + 9 = 0 (a = 4; b’ = 6; c = 9)

∆’ = b’2 – ac = 36 – 4.9 = 0 Do ∆’ = 0 nên phương trình có nghiệm kép:

y1 = y2 = = -1,5 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =

a

b'

d/ 5t2 – 3t – 8 = 0 (a = 5; b = -3; c = -8)

Phương trình đã cho có: a – b + c = 5 – (-3) + (-8) = 0

Nên 2 nghiệm của phương trình sẽ là: t1 = -1 và t2 = Vậy S =

5

8













5

8

; 1

a/ 3x2 – 27 = 0  3x2 = 27  x2 = 9  x = 3 Vậy S =    3 ; 3

Trang 4

b/ 7x2 – 5x = 0  x(7x – 5) = 0   Vậy tập nghiệm của phương trình là S =







 7 5

0

x











 7

5

; 0

c/ 5x2 – 4x – 9 = 0 (*)

(a = 5; b = -4; c = -9) Phương trình (*) có: a – b + c = 5 – (-4) + (-9) = 0

Nên 2 nghiệm của phương trình (*) sẽ là: x1 = -1 và x2 = Vậy S =

5

9













5

9

; 1

a/ 4x2 + 2x – 6 = 0 (**) (a = 4; b = 2; c = -6) Phương trình (**) có: a + b + c = 4 + 2 + (-6) = 0 Nên 2 nghiệm của phương trình (**) sẽ là: x1 = 1 và x2 = -1,5 Vậy S = 1 ;  1 , 5

b/ 2x2 – 8 = 0  x = 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =   2 ; 2

c/ 3x2 – 6x = 0   Vậy tập nghiệm của phương trình là S =







 2

0

x

a/ 4x2 – 16 = 0  x = 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =   2 ; 2

b/ 2x2 + 3x = 0  Vậy tập nghiệm của phương trình là S =











 2 3

0

x











  2

3

; 0

c/ 2x2 – 7x – 4 = 0 (a = 2; b = -7; c = -4) ∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.(-4) = 49 + 32 = 81 > 0

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = = 4 ; x2 = =

2 2

81

7 

2 2

81

7 

2

1



Vậy tập nghiệm của phương trình là S =











  2

1

; 4

a/ 7x2 – 12x + 5 = 0 (a) Phương trình (a) có: a + b + c = 7 + (-12) + 5 = 0

Nên 2 nghiệm của phương trình (a) sẽ là: x1 = 1 và x2 = Vậy S =

7

5











 7

5

; 1

b/ 9x2 – 1 = 0  x = Vậy tập nghiệm của phương trình là S =

3

1















3

1

; 3 1

c/ 3x2 – 6x = 0   Vậy tập nghiệm của phương trình là S =







 2

0

x

Dạng 3: Biện luận về nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, tham số m

Bài 1: Cho phương trình ẩn x, tham số m: x2 – 2(m + 1)x + m2 = 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm

x2 – 2(m + 1)x + m2 = 0 (1) (a = 1; b’ = -(m + 1); c = m2)

∆’ = b’2 – ac = [-(m + 1)]2 – 1.m2 = m2 + 2m + 1 – m2 = 2m + 1

* Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0 => 2m + 1 > 0  m >

2

1



* Để phương trình (1) có nghiệm kép thì ∆’ = 0 => 2m + 1 = 0  m =

2

1



* Để phương trình (1) vô nghiệm thì ∆’ < 0 => 2m + 1 < 0  m <

2 1



Trang 5

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 + x2 = 14.

* Điều kiện: * Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có:















 2

1 m

) 0 1 ( 0

a















2 2 1

2

1 2 ( 1 )

m x x

m x

x

* x12 + x22 = 14  (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 14  [2(m + 1)]2 – 2m2 = 14  4m2 + 8m + 4 – 2m2 = 14

 2m2 + 8m – 10 = 0 (t) Phương trình (t) có : a + b + c = 2 + 8 + (-10) = 0 nên 2 nghiệm của phương trình (t) sẽ là : m1 = 1 và m2 = -5 (loại)

Vậy khi m = 1 thì phương trình (1) sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 14

Bài 2 : Cho phương trình : x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

(a = 1 ; b’ = -(m + 1) ; c = m – 4) ∆’ = b’2 – ac = [-(m + 1)]2 – 1.(m – 4)

= m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 – m + 5 = m2 – 2m + ( )2 + 5 = (m - )2 + 5 0 với mọi m

2

1 2

1

2

b) Tính tổng và tích các nghiệm theo m

* Điều kiện:





a 0 ( 1  0 )

* Aùp dụng định lý Vi-ét ta có:

















4

) 1 ( 2

2 1

m x x

m x

x

Bài 3 : Cho phương trình : x2 + 4x + m + 1 = 0 (1)

x2 + 4x + m + 1 = 0 (1) (a = 1; b’ = 2; c = m + 1) ∆’ = b’2 – ac = 22 – 1.(m + 1) = 3 – m

* Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0 => 3 – m > 0  m < 3

* Để phương trình (1) có nghiệm kép thì ∆’ = 0 => 3 – m = 0  m = 3

* Để phương trình (1) vô nghiệm thì ∆’ < 0 => 3 – m < 0  m > 3

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 + x2 = 10











 3 m

) 0 1 ( 0

a

















1

4

2 1

m x x

x x

* x1 + x2 = 10  (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10  (-4)2 – 2(m + 1) = 10  m =

2

5 (nhận) Vậy khi m = thì phương trình (1) sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 10

2 5

Bài 4: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 – 2(m + 1)x + m2 + m – 1 = 0 (1)

x2 – 2(m + 1)x + m2 + m – 1 = 0 (1) (a = 1; b’ = -(m + 1); c = m2 + m – 1)

∆’ = b’2 – ac = [-(m + 1)]2 – 1.( m2 + m – 1) = m2 + 2m + 1 – m2 – m + 1 = m + 2

* Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0 => m + 2 > 0  m > -2

* Để phương trình (1) có nghiệm kép thì ∆’ = 0 => m + 2 = 0  m = -2

* Để phương trình (1) vô nghiệm thì ∆’ < 0 => m + 2 < 0  m > -2



















1

) 1 ( 2

2 2 1

2 1

m m x x

m x

x













 2 m

) 0 1 ( 0

a

Phương trình có nghiệm (câu a)

Trang 6

* x1 + x2 = 14  (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 14  [-2(m + 1)]2 – 2m2 – 2m + 2 = 14

 4m2 + 8m + 4 – 2m2 – 2m + 2 – 14 = 0  2m2 + 6m – 8 = 0 (L)

* Phương trình (L) có: a + b + c = 2 + 6 + (-8) = 0

Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: m1 = 1; m1 = -4 (loại)

Vậy khi m = 1 thì phương trình (1) sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 14

Bài 5: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2x – m2 – 4 = 0 (m là tham số)

a) Chứng tỏ rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

(a = 1 ; b = -2; c = -(m2 + 4))

* Phương trình đã cho có: a = 1; c = -(m2 + 4), tức là a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho Tìm m để x1 + x2 = 20

* Điều kiện:





a 0 ( 1  0 )

* Aùp dụng định lý Vi-ét ta có:













4

2

2 2 1

2 1

m x x

x x

* x1 + x2 = 20  (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 20  4 – 2(-m2 – 4) = 20  4 + 2m2 + 4 = 20

 2m2 – 12 = 0  m =  6

Vậy khi m =  6 thì phương trình đã cho sẽ thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = 20

Bài 6: Cho phương trình: x2 – 4x + m + 1 = 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

∆ = b’2 – ac = (-2)2 – 1.(m + 1) = 4 – m – 1 = 3 – m

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0  3 – m > 0 => m < 3

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 26











 3 m

) 0 1 ( 0

a













1

4

2 1

m x x

x x

* x1 + x2 = 26  (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 26  42 – 2(m + 1) = 26

 16 – 2m – 1 = 26  m = (nhận)

2 11

Vậy khi m = thì phương trình (1) sẽ thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = 26

2 11

Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 – 2x + m + 2 = 0

a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 + x2 = 10

Bài 8: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham so thực: x2 – 10x – m2 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

∆’ = b’2 – ac = (-5)2 – 1.(-m)2 = 25 – m2

Ta có: m2  0 với mọi m => 25 – m2 0 với mọi m.

Từ đó phương trình (1) sẽ có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 + x2 = 100

Trang 7

* Điều kiện:





a 0 ( 1  0 )

* Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có:













2 2 1

2

1 10

m x x

x x

* x1 + x2 = 100  (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 100  102 – 2[(-m)2] = 100  100 – 2m = 100

 m = 0 (nhận)

Vậy khi m = 0 thì phương trình đã cho sẽ thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = 100

Bài 9: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 – 4x + m = 0 (1)

*MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO.

ĐỀ 1

Bài I (2,5 điểm)

1) Cho biểu thức x 4 Tính giá trị của A khi x = 36

A







2) Rút gọn biểu thức B x 4 : x 16 (với )

  

3) Với các của biểu thức A và B nĩi trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên

Bài II (2,0 điểm) Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai người cùng làm chung một cơng việc trong giờ thì xong Nếu mỗi người làm một mình 12

5

thì người thứ nhất hồn thành cơng việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong cơng việc?

Bài III (1,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2 1

2

x y

6 2

1

x y

  





  



2) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn điều kiện : 2 2

1 2

x  x  7

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường trịn (O; R) cĩ đường kính AB Bán kính CO vuơng gĩc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H Gọi K là hình chiếu của H trên AB

1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh ACM฀ ACK฀

3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuơng cân tại C

4) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và AP.MB Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung

R

MA 

điểm của đoạn thẳng HK

Trang 8

Bài V (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x  2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 y2

M

xy





ĐỀ 2:

Câu 1: (2,0 điểm).



x P

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.

b) Rút gọn P.

Câu 2: (2,0 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền dài 24cm và chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng hơn kém nhau 14cm Tính độ dài cạnh huyền và diện tích của tam giác vuông đó

Câu 3: (2,0 điểm).

Cho phương trình: 2 2 (1) (trong đó x là ẩn, m là tham số).

a) Giải phương trình (1) với m 3

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm và thỏa mãn x1 x2

2

x x 

Câu 4: (3,0 điểm).

Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M không trùng với B

và C) Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC, O là trung điểm của AM Chứng minh rằng:

a) Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn

b) Tứ giác OPHQ là hình gì ? vì sao ?

c) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để đoạn thẳng PQ có độ dài nhỏ nhất

Câu 5: (1,0 điểm).

Cho các số thực a, b, c không âm thỏa mãn: a b c  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 2 2 2 2 2 2

Q a ab b b bc c c ca a

ĐỀ 3:

Câu 1: (2,0 điểm)

x  x  a 1;b 2; c  3

a Tính tổng: S  a b c

b Giải phương trình trên

Trang 9

2 Giải hệ phương trình 3 2

x y



  



Câu 2: (2,0 điểm)

:

y Q

a) Rút gọn biểu thức Q

b) Tính giá trị của khi Q y  3 2 2

Câu 3: (2,0 điểm)

Cho đường thẳng d y:  2bx 1 và parabol   2

P y  x

a) Tìm b để đi qua d B 1;5

b) Tìm b để đường thẳng cắt parabol d  P tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x1, 2

thỏa mãn điều kiện 2 2  

1 2 4 1 2 4 0

x x  x x  

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O;R) đường kính EF Bán kính IO vuông góc với EF, gọi J là điểm bất kỳ trên cung nhỏ EI (J khác E và I), FJ cắt EI tại L, kẻ LS vuông góc với EF (S thuộc EF)

a) Chứng minh tứ giác IFSL nội tiếp

b) Trên đoạn thẳng FJ lấy điểm N sao cho FN=EJ Chứng minh rằng, tam giác IJN vuông cân c) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại E Lấy D là điểm nằm trên d sao cho hai điểm D và I nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng EF và ED JF JE OF. Chứng minh rằng đường thẳng

FD đi qua trung điểm của đoạn thẳng LS

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho a b c, ,  0 thỏa mãn ab bc ca   3 CMR: 4 4 4 3

b cc aa b

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	177,92 KB