Phương pháp giải những dạng toán cơ bản trong các đề thi vào lớp 10 THPT16366

PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHỮNG DẠNG TOÁN CƠ BẢN TRONG Gv soạn: Nguyễn Thị Tú Trường THCS Phú Hòa-Lương Tài - Bắc Ninh ACÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG CĂN THỨC I: DẠNG 1: RÚT GỌN VÀ NHỮNG CÂU

PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHỮNG DẠNG TOÁN CƠ BẢN TRONG

Gv soạn: Nguyễn Thị Tú

Trường THCS Phú Hòa-Lương Tài - Bắc Ninh

ACÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG CĂN THỨC

I: DẠNG 1:

RÚT GỌN VÀ NHỮNG CÂU HỎI KÈM THEO

a)RÚT GỌN

Cách giải

- Sử dụng hằng đẳng thức

-Các phương pháp phân tích thành nhântử

-Cácqui tắc cộng ,trừ ,nhân ,chia đa thức , phân thức

- Các qui tắc cộng, trừ ,nhân, chia căn thức

- Thứ tự thực hiện phép tính trong biểu thức

b)TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Cách giải

- Xác định xem giá trị đã cho của biến có thuộc TXĐ không? Nếu thuộc

- Thay giá trị đã cho của biến vào biểu thức, thực hiện phép tính(có thể phải làm đơn giản giá trị của biến hoặc phải giải phương trình để tìm biến rồi mới thay)

- Kết luận

c)TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC:

* Giả sử biểu thức đã cho kí hiệu là M, biến là x, biết M=a hoặc Ma( a là 1 số hoặc

1biểu thức), yêu cầu tìm x

-Nhắc lại điều kiện

- Giải phương trình :M=a tìm x hoặ giải bất phương trình Mađể tìm x

-Đối chiếu đkxđ và kết luận

*chú ý: trong trường hợp M là đa thứcbậc hai hoặc có dạng phân thức thì khi giải bất phương trinh phải đưa về dạng : A*B  0  A, Bcùng dấu

trương hợp còn lại khi A,B khác dấu hoặc hoặc

cùng dấu trường hợp còn lại khi A,B khác dấu

B

A

B

A

,

0 



d) CHỨNG MINH :M 0 hoặc M>O

*Cách giải:

Nếu M là 1 đa thức

- Viết M = 2hoặc M=A2+B2 thì kết luận M

B

-Nếu viết được M=AB2 mthì kết luận M luôn luôn dương nếu mdương

*chú ý: nếu phải chứng minh Mahoặc M >a thì phải đưa vềdạng trên

e) SO SÁNH M VÀ M

*Cách giải

-So sánh M với 1:nếu

+ M 1  M  1  M  1  0  M M  1 0 M  M  0 M  M

+ Nếu

0M  1  m  1  M  1  0  M M  1 0 M  M  0 M  M

g) TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA M hoặc NHỎ NHẤT CỦA M

*cách giải

1: viết M= AB2 mM mgiá trị nhỏ nhất của Mlà m Dấu bằng xảy ra khi

A+B=0

2:nếu M= -  2+ m thì suy ra: M giá trị lớn nhất của M là m

B

Dấu bằng xảy ra khi A+B=0

3 nếu M có dạng thì sử dụng qui tắc so sánh 2 phân số dương có cùng tử dương

Q P

h )TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦẢ BIẾN ĐỂ M NHẬN GIÁ TRỊNGUYÊN

*cách giải

- Viết M= A+ với A là môt đa thức hệ số nguyên m là một hằng số

B m

M nguyên khi B là ước của m

Phú Hòa, ngày 25-6-2009

B.Bµi tËp luyÖn tËp:

Bài 1 Cho biểu thức : A = 2 với ( x >0 và x ≠ 1)

1





1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị của biểu thức A tại x  3 2 2

Bài 2 Cho biểu thức : P = 4 4 4 ( Với a 0 ; a 4 )



1) Rỳt gọn biểu thức P.

2) Tỡm giỏ trị của a sao cho P = a + 1

Bài 3:Cho biểu thức A = 1 2



1/.Đặt điều kiện để biểu thức A cú nghĩa

2/.Rỳt gọn biểu thức A

3/.Với giỏ trị nào của x thỡ A< -1

Bài 4: Cho biểu thức A = (1 )(1 ) ( Với )

a) Rỳt gọn A

b) Tỡm x để A = - 1

Bài 5: Cho biểu thức : B =

x

x x

x 2 21 

1 2

2 1

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B

b; Tính giá trị của B với x =3

Bài 6: Cho biểu thức : P =

x

x x

x x

x















4

5 2 2

2 2 1

a; Tìm TXĐ

b; Rút gọn P

c; Tìm x để P = 2

1

2 2

1 (

: ) 1 1

1













a a

a a

a

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q

b; Tìm a để Q dơng

c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4 5



































1 1

2

1

a a a

a a a a

a/ Tìm ĐKXĐ của M

b/ Rút gọn M

Bài 9 : Cho biểu thức : K =

3 x

3 x 2 x 1

x 3 3 x 2 x

11 x 15

















a Tìm x để K có nghĩa

b Rút gọn K

c Tìm x khi K=

2 1

Bài 10 : Cho biểu thức: G=

2

1 x 2 x 1 x 2 x

2 x 1

x

2

























1 Xác định x để G tồn tại

2 Rút gọn biểu thức G

3 Tính số trị của G khi x = 0,16

Bài 11 : Cho biểu thức: P= : x2 1 Với x ≥ 0 ; x ≠ 1

x 1

1 1

x x

x 1

x x

2



























a Rút gọn biểu thức trên

b Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1









 























1 1 a 1

1 a a 2 2

1 a

2 2

1

2 2

a Tìm a dể Q tồn tại

b Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a

-B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRèNH

* DẠNG I: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRèNH: bậc nhất hai ẩn (1)















, , ,

c y b x a

c by ax

- C1: dựng phương phỏp cộng

- C2: dựng phương phỏp thế

- C3: dựngphương phỏp đồ thị

- C4: dựng phương phỏp đặt ẩn phụ

* DẠNG II: TèM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ (1)

a: cú nghiệm duy nhất

b: vụ nghiệm

c: vụ số nghiệm

 Cỏch giải:

Biến đổihệ phương trỡnh (1) thỏnh cỏc hệ phương trỡnh tương cuối cựng về hệ trong đú

cú 1 phương trỡnh 1 ẩn cú dạng A x =B hoặc A y =B (*)

Hệ cú nghiệm duy nhất khi pt(*) cú nghiệm duy nhất < => A khỏc 0

Hệ vụ nghiệm khi pt(*) vụ nghiệm < => A = 0 và B khỏc 0

Hệ vụ số nghiệm khi pt(*) vụ số nghiệm < => A = 0 và B = 0

d: Có nghiệm x,y thoả mãn là một số nguyên

y x

*Cách giải:

- Tìm diều kiện để hệ có nghiệm

- Giải hệ tìm x,y theo tham số

- Viết =a+ trong đó a là một đa thức hệ số nguyên,b là một số nguyên rồi tìm giá

y

x

y b

trị nguyên của tham số để y là ước của b

e: hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x*y  0 ;  0

y x

*Cách giải:

Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất

Giải hệ tìm x,y chứa tham số

giải tiếp hệ hoặc hệ để tìm tham sổ:









 0

0

y

x









 0

0

y x

g:Tìm điều kiện của tham số để hai hệ phương trình tương đương

*Cách giải: giải một trong hai hệ phương trình tìm x,y : thay x,y vào hệ phương trình

còn lại tìm tham số

h: Tìm diều kiện của tham số để hệ có nghiệm ( x,y) sao cho x,y là nhữngsố nguyên

- Tìm đk để hệ có nghiệm duy nhất

- Giải hệ tìm x,y

- Tìm tham số để x, y nguyên

* chú ý Xét trường hợp hệ vô số nghiệm nếu có và tìm tham số để x,y nguyên

I, Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn 1 điều kiện

hoặc mà trong 2 phương trình của hệ có 1 phương trình không chứa

k

y

x 

tham số thì

-Ta kết hợp điều kiện với 1 trong 2 phương trình của hệ giải hệ tìm x, y

- Thay x,y vào phương trình còn lại tìm tham số

C¸c bµi tËp tù luyÖn

Bµi 1 Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau :















 4 2

2 2

y x

y x

















20 5 10

1 5 2

y x

y x

















4 3 2

3

y x

y x



















9 7 5

4 3 2

y x

y x



















0 3 8 6

2 4 3

y x

y x





















8 3

2 4

1 3 2

y x y x

Bài 2 : Giải các hệ phơng trình sau :





















8

3

1

1

8

5

1

1

y

x

y

x



























0 1 2 y

1 x 3

2 2 y

2 x 1





























1 2

3 2

20

1 2

1 2

4

y x y x

y x y x

Bài 3 : Cho hệ phơng trình  















 7

5 3

y x

y x m

a) Giải hệ phơng trình khi m = 1

b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm

c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đó

Bài 4 : Cho hệ phơng trình













 3

2

ay x

y ax

a) Giải hệ phơng trình khi a = 1

b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó

c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm

Bài 5 : Cho hệ phơng trình



















1 2

2

a y x

a y ax

a) Giải hệ phơng trình khi a = -2

b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a

c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1

d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên

Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phơng trình: (I)



















80 50 ) 4 (

16 ) 4 ( 2

y x m

y m x

b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1

Bài 7* : Giải phơng trình sau :

a) 8  x  5  x  5 b) 2 x2  x2  8  4

B CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

* DẠNG I: VẼđồ thị hàm số

1: đồ thị hàm số Y=a x a 0

-ta chỉ cần xỏc định điểm A 1 ,a rồi vẽ đương thẳng đi qua A và 0

2: đồ thị hàm số Y= a x +b a 0

-xỏc định 2 điểm: A 0 ,b ,B 









  0 ,

a b

-vẽ đường thẳng qua A và B

3: đồ thị hàm số Y=a x2 a 0

*-xác đinh điểm A x1 ,y1 và điểm Bx2, y2

*xác định điểm A và điểm B lần lượt đối xứng với Avà B qua oy, ,

* vẽ pa-ra bôn đi qua 5 điểm A,B,O,A,,B,

* DẠNG II: XÁC ĐỊNH SỐ GIAO ĐIỂM CỦA

*Đường Thẳng Y= bx +c và pa-ra bôn y= a x2

- nếu phương trình hoành độ điểm chung: a x 2 =b x+c 1 có nghiệm kép thì đường thẳng

và pa-ra bôn tiếp xúc nhau tức là có 1 điểm chung

- Nếu pt: có 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng và pa-ra-bôn cắt nhau 1

tức là có 2 điểm chung là A(x ; y ) B(x ;y ) trong đó x ; x là nghiệm của phương trình 1` 1` 2 2 1` 2

(1`) và y = a x1` 1`2; y = a x

2

-nếu pt vô nghiệm thì đường thẳng và pa-ra- bôn không có điểm chung 1

*DẠNG III: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ để ĐƯỜNG THẲNG VÀ

pa-ra bôn

a; tiếp xúc nhau phương trình     1 ; a x 2 =b x+c có  0tức là có nghiêm kép

b; cắt nhau tại hai điểm phân biệt pt: a x 2 = b x+c có   0 tức là có 2nghiệm phân biệt

c, cắt nhau tại 2 điểm phân biệt nằm về 2 phía của trục tung pt: a x 2 = b x+c có 2

nghiệm trái dấu

d; cắt nhau tại 2 điểm phân biệt nằm về cùng phía của trục tung pt: a x 2 = b x+c có 2 nghiệm cùng dấu

e; cắt nhau tại 2 điểm phân biệt nằm về bên phải của trục tung pt: a x 2 = b x+c có 2 nghiệm cùng dấu dương

g; cắt nhau tại 2 điểm phân biệt nằm về bên trái của trục tung pt: a x 2 = b x+c có 2 nghiệm cùng dấu âm

h; không cắy nhau pt: a x 2 = b x+c có   0tức là vô nghiệm

I; gọi x ; x là hoành độ giao điểm của (p) và d1` 2

*DẠNG IV;TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ

- đường thẳng y = a x+b và đường thẳng y =a,x+b,cắt nhau ,

a

a



song songaa, ;bb,

*DẠNG V: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ:

một đường thẳngchứa tham số y= a x+b đi qua giao điểm của hai dương thẳng y =a’x

+b’ và y =a’’x +b’’

Bước1: giải hệ phương trình để tìm giao điểm của 2 đường thẳng giả sử



















y b x a

y b x a

, ,

, ,

giao điểm đó là A m, n

Bước2 : thay x=m ,y=n vào y=a x+b để tìm tham số

* DẠNG VI:VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

A, đi qua 1 điểm và song song với một đường thẳng cho trước

-cách giải: phương trình đường thẳng có dạng y=a x+b căn cứ vào điềù kiện song

song để tìm a ; thay toạ độ của điểm đã cho vào x,y để tìm b

B,đi qua 2điểm cho trước Avà B

-cách giải: phương trình đường thẳng có dạng: y=a x+b thay toạ độ của điểm A vào x,y

ta được một phương trình ẩn a,b thay toạ độ của điểm B vào x,y ta đượg phương trình thứ hai ẩn a,b Giải hệ gồm 2 phương trình vừa lập tìm a,b

C, Song song với 1 đường thẳng : y =k x + t và tiết xúc với 1 pa ra pôn

Y = c x 2

*Cách giải

-phương trình đường thẳng có dạng: y=a x+b

-Vì đường thẳng y=a x+b song song với đường thẳngy =k x + t =>a =t ta có đường thẳngy

=t x+b

-vì đường thẳng y =t x +b tiếp xúc với pa ra pôn y =c x2 => phương trình

Hoành độ giao điểm c x2 =t x +b có nghiệm kép<=> = 0(1)

-Giải pt(1) tìm tham số

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2

1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau

2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2)trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2)bằng phép tính

Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số

đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao?

Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vỡ sao?

Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m 0 )và y = (2 - m)x + 4 ;(m 2 ) Tỡm điều kiện của

m để hai đường thẳng trờn:

a) Song song

b) Cắt nhau

Bài 5: Với giỏ trị nào của m thỡ hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trờn trục tung Viết phương trỡnh đường thẳng (d) biết (d) song song với

(d’): y = x và cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 10

2 1



Bài 6: Viết phương trỡnh đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm

A(2;7)

Bài 7: Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3)

Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = 1 2 và (d2): y =

a/ Vẽ (d1) và (d2) trờn cựng một hệ trục tọa độ Oxy

b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tớnh chu vi và diện tớch của tam giỏc ABC (đơn vị trờn hệ trục tọa độ là cm)?

Bài 9: Cho các đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m 0

(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)

a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)

b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2

c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố

định B Tính BA ?

Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b

a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)

b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?

d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2

Bài 11Cho hàm số y = x2 cú đồ thị là Parabol (P) và hàm số y = ax + b cú đồ thị là đường

2 1

thẳng (D)

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tỡm a và b, biết rằng đường thẳng (D) song song với đường thẳng y = x + 5 và đi qua điểm A thuộc parabol (P): y = x2 cú hoành độ bằng -2

2 1

c) Với a và b vừa tỡm được ở cõu trờn Hóy tỡm toạ độ cỏc giao điểm của (P) và đường thẳng (D) bằng phộp tớnh

Bài 12 : Cho parabol (P) : y = 1

2x2 và đường thẳng (d) : y = mx 1

2m2 + m +1

a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P)

b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho

1 2

x  x  2.

Bài 13

a) Vẽ đồ thị hàm số 1 2

2

y x

b) Cho hàm số bậc nhất yax 2 (1) Hãy xác định hệ số a, biết rằng a > 0 và đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành Ox, trục tung Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho

OB = 2OA (với O là gốc tọa độ)

Bài 14 (1,5 điểm) Cho hai hàm số bậc nhất y = x – m và y = -2x + m – 1

1/ Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số trên cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành 2/ Với m = -1, Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy

Bài 15

Cho Parabol (P): y = 1 2

x

2 và đường thẳng (d): y = x +m 1\ Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) khi m= - 1 trên cùng một hệ trục tọa độ

2\ Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1;

x2 thỏa mãn x1 + x2 = 5m

Bài 16Cho hàm số y = x2 có đồ thị là Parabol ( P )

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Xác định a , b sao cho đường thẳng y = ax +b song song với đường thẳng y = – x +5 và cắt Parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng 1

Bài17: (2,0 điểm)

Cho đường thẳng d y:  2bx 1 và parabol   2

P y  x .

a) Tìm b để d đi qua  B 1;5 .

b) Tìm b để đường thẳng d cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x1 , 2 thỏa mãn điều kiện 2 2  

1 2 4 1 2 4 0

x x  x x   .

Bài 18

Cho Parabol (P):

2

2

x

y và đường thẳng (d): y = mx + m + 5 (m là tham số)

1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì:

a Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó

b Đường thẳng (d) luôn cắt (P) taioj hai điểm phân biệt

2) Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M(-1; 5)

Bài 19

Chocáchàmsốy = x 2 cóđồ thịlà(P)vày=2x + 3cóđồthịlà (d)

a)Vẽ(P)và(d)trêncùngmộthệtrụctọa độvuônggóc(đơn vịtrêncáctrục bằngnhau)

b)Xácđịnhtọa độcácgiaođiểm của(P)và(d) bằngphéptính

c)TìmcácđiểmIthuộc(P)vàIcáchđềucáctrục tọa độOx,Oy(Ikhácgốctọa độO)

Bài 20

Cho parabol (P) : 2

4

1

x

y và đường thẳng (d) có phương trình: y   m  1  x  m2  3

(với m là tham số)

a) Vẽ parabol (P)

b) Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung

Bài 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng d: y = (k-1)x + 4 (k là tham số)

1 Khi k = -2, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P)

2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt Gọi y1,y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) Tìm k sao cho y1 + y2= y1 y2

Bài 22: (2,0 điểm) Cho hàm số y =

2

1

x2 có đồ thị là Parabol (P) và hàm số y = ax + b có đồ thị

là đường thẳng (D)

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tìm a và b, biết rằng đường thẳng (D) song song với đường thẳng y = x + 5 và đi qua điểm A thuộc parabol (P): y =

2

1

x2 có hoành độ bằng -2 c) Với a và b vừa tìm được ở câu trên Hãy tìm toạ độ các giao điểm của (P) và đường thẳng (D) bằng phép tính