Ứng dụng của định lý Viét trong giải toán về phương trình bậc hai

Đâycũng là một nội dung thường xuyên có trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10,các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi vào các trường chuyên … mà đặc biệt là cácbài toán về ứng dụng của định lý

I PHẦN MỞ ĐẦU :

I.1 Lý do chọn đề tài :

Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xâydựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, cóđầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tếhiện nay

Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng

ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinhcũng như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môntoán nói riêng

Trong chương trình toán học lớp 9 thì phương trình bậc hai là một nộidung rất quan trọng, bài tập về chương này rất phong phú và đa dạng Đâycũng là một nội dung thường xuyên có trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10,các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi vào các trường chuyên … mà đặc biệt là cácbài toán về ứng dụng của định lý Viét

Trước thực tế đó nhằm giúp học sinh nắm được một cách hệ thống và

có kĩ năng giải các dạng toán này một cách thành thạo nhằm phát huy khảnăng suy luận sáng tạo và linh hoạt của học sinh, từ đó tôi viết chuyên đề về

“ Ứng dụng của định lý Viét trong giải toán về phương trình bậc hai ”

I.2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài :

Giúp học sinh nắm vững nội dung định lý Viét, ứng dụng của định lýviét trong việc giải các dạng toán có nội dung liên quan, từ đó dần hình thànhkhả năng phân tích, tổng hợp, khái quát và các ứng dụng khác cho học sinh

Rèn luyện cho học sinh tính độc lập, sáng tạo vận dụng kiến thức đãhọc vào giải bài tập và phát hiện nội dung kiến thức mới

Giúp cho các giáo viên có thể tham khảo nghiên cứu và áp dụng trongtừng trường hợp cụ thể phụ thuộc vào từng đối tượng học sinh

I.3 Đối tượng nghiên cứu :

Do đặc điểm học sinh ở các lớp không đồng đều về nhận thức cũng như học lực nên tôi đã áp dụng phương pháp này ở lớp 9A2 Là lớp mà tôi

đang trực tiếp giảng dạy

I.4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu :

Tổ chức nghiên cứu chuyên đề này áp dụng tốt cho cả học sinh trung bình- yếu; học sinh khá giỏi trong việc hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức chuẩn bị cho kiểm tra 45 phút, học kỳ II, ôn luyện học sinh giỏi, ôn thi vào THPT

I.5 Phương pháp nghiên cứu :

- Qua tài liệu tham khảo, chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

- Qua thực tế giảng dạy

- Qua trao đổi học hỏi đồng nghiệp

II PHẦN NỘI DUNG :

II.1 Cơ sở lý luận :

Toán học là một ngành khoa học cơ bản và giữ một vai trò vô cùng quantrọng trong đời sống kinh tế, xã hội Toán học là cơ sở, là phương tiện đểnghiên cứu các ngành khoa học khác Với mục tiêu giáo dục phổ thông làgiúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các

kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo củahọc sinh, nhằm nâng cao năng lực phát triển và giải quyết vấn đề rèn luyệnthực hiện kĩ năng vào thực tế tạo hứng thú học tập cho học sinh

Dựa trên cơ sở đó giáo viên cần kết hợp giữa phương pháp dạy họctruyền thống với các phương pháp dạy học hiện đại như dạy học phát hiện vàgiải quyết vấn đề dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ Hạn chế tối đa việc áp đặtkiến thức, giáo viên chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn, gợi mở giúp họcsinh tự khám phá kiến thức mới, học sinh cần thấy được việc áp dụng kiếnthức mới trong cuộc sống như thế nào

Trong môn Đại số lớp 9 ở THCS có một định lý đã nói rõ mối quan hệgiữa các nghiệm số của một phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0) vớicác hệ số của nó Đó là định lý do nhà toán học nổi tiếng người Pháp Prăngxoa Vi-ét (F Viete) (1540- 1603) tìm ra được mang tên ông: Định lý Vi-ét.

Có thể nói định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó là một chìa khoá quan trọng

mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài toán có liên quan đến nghiệm củaphương trình bậc hai Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đã gây đượchứng thú giải bài tập cho học sinh, hình thành cho học sinh những ý tưởngphong phú, trau dồi tư duy và óc sáng tạo cho các em khi giải các bài toán cóliên quan đến phương trình bậc hai

Có tập thể học sinh đoàn kết, ngoan ngoãn và say mê học tập

Bản thân tôi thực sự cố gắng, nỗ lực phấn đấu và học hỏi thêm cácđồng nghiệp trong quá trình giảng dạy

có những học sinh thực sự ham học, dẫn đến sự cách biệt về kiến thức trongcùng một lớp, gây khó khăn trong việc truyền thụ kiến thức của giáo viên

b Thành công - hạn chế :

Việc giúp học sinh hiểu và biết vận dụng định lý viét vào giải các dạngtoán liên quan, góp một phần không nhỏ cho các em khi bước vào các kì kiểmtra, kì thi đặc biệt là kì thi vào THPT sắp tới Tuy nhiên do phạm vi nghiêncứu chỉ trong một nội dung nhỏ nên chưa bao quát được tổng thể tất cả cácnội dung, nhưng đó cũng là nền móng vững chắc để tiếp tục nghiên cứu cácdạng toán cao hơn sau này

c Mặt mạnh - mặt yếu :

* Mặt mạnh : Qua đề tài giúp học sinh

+ Tạo động cơ học tập định lý + Phát biểu định nghĩa định lý + Bước đầu vận dụng định lý trong bài tập đơn giản + Vận dụng định lý trong bài tập tổng hợp

* Mặt yếu : Chưa đưa ra giải pháp khắc phục đối với những học sinh lười

học, ham chơi, học sinh có ý thức học kém

d Các nguyên nhân, các yếu tố tác động :

Do thời gian có hạn nên tôi chỉ nêu ra một số dạng toán về phương trìnhbậc hai và phương pháp giải các dạng toán đó, đặc biệt là việc ứng dụng của

hệ thức viét trong giải toán, để từ đó có thể giúp học sinh hiểu kĩ và sâu hơncác kiến thức về hệ thức viét và ứng dụng của định lý viét trong giải toán,giúp các em đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra 15 phút, kiểm tra một tiết,kiểm tra học kì và các kì thi học sinh giỏi, kì thi vào THPT

Do chất lượng đầu vào của học sinh còn thấp nên ảnh hưởng một phầnkhông nhỏ đến kết quả học tập của học sinh

Do một số học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việchọc

Do địa bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình không ổn định, cònkhó khăn nên ít nhiều cũng ảnh hưởng đến việc học của các em.

Do cơ sở vật chất của trường còn thiếu sách, báo, tài liệu tham khảo chogiáo viên và học sinh…

II.3 Giải pháp, biện pháp :

II.3.1 Tìm hiểu nội dung sách giáo khoa và phát hiện kiến thức mới:

a Định lý Viét.

Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2+ bx + c=0 (a ≠ 0) thì

x1+ x2 =  a b

x1 x2 = a c

b Tìm hai số biết tổng và biết tích của chúng.

Nếu 2 số có tổng bằng S, tích bằng P thì 2 số đó là nghiệm của phương trình :

X2 – SX + P = 0

điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0

c Một số ứng dụng cơ bản của định lý viét :

1 Kiểm tra nghiệm phương trình bậc 2

2 Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2

3 Biết 1 nghiệm suy ra nghiệm kia

4 Tìm 2 số biết tổng và tích

5 Lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm

d Phát hiện nội dung kiến thức mới :

xxx)xx(xaa

cxa

bx

 KL: Hai số có tổng không đổi tích lớn nhất  2 số bằng nhau.

- Nếu x1 > 0; x2 > 0 và x1 x2 = P (Không đổi)

Còn S = x1 + x2 (thay đổi)

Do: S2 - 4P  0  S  2 PS 2 P0

 S - 2 P  0 ; S = 2 P  x1 = x2 = P

 KL: 2 số dương có tích không đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau.

3) Xét dấu các nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (*) (a  0)

;a

bS

- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm trái dấu là P < 0

- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm cùng dấu là

0Δ

- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng dương là:

0P

0Δ

- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng âm là:

0P0Δ

- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép dương là:









 0 S

0 Δ

- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép âm là:









 0 S

0 Δ

4) Điều kiện của tham số để hệ phương trình:















) m (

) m (

g y x

f y x

có 1

nghiệm duy nhất là: f 2 (m) - 4g(m) = 0

(Chính là điều kiện để phương trình bậc 2 t2 - f(m)t + g(m)) = 0 có nghiệm kép)

II.3.2 Xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải :

Dạng 1 : Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm

Phương pháp giải:

* Tính Δ, chứng tỏ Δ ≥ 0 để phương trình có nghiệm x1, x2

* áp dụng định lý Viét

Ví dụ 1: Đối với mỗi phương trình ký hiệu x1,x2 là 2 nghiệm (nếu có)

Không giải phương trình, hãy điền vào chỗ trống

a 4x2 - 13x + 5 = 0 Δ = x1 + x2 = x1.x2 =

b x2 - x – 5 = 0 Δ = x1 + x2 = x1.x2 =

c 6x2 – x + 8 = 0 Δ = x1 + x2 = x1.x2 =

d 10x2 + 15x + 1 =0 Δ = x1 + x2 = x1.x2 =

Hướng dẫn: Yêu cầu học sinh xác định hệ số a, b, c, tính Δ= b2 – 4ac Sau đó tiếp tục tính (x1+ x2) ; (x1.x2) (nếu có) Ví dụ 2 : Không giải phương trình hãy tính tổng và tích các nghiệm nếu có của mỗi phương trình a/ - x2 + 5x + 3 = 0 b/ 3x2 - 8x + 4 = 0

c/ 5x2 + x + 2 = 0

d/ 9x2 - 12x + 4 = 0

Giải: a/ Phương trình - x2 + 5x + 3 = 0 có nghiệm vì a,c trái dấu

Kết luận: Qua dạng toán này:

– Củng cố điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2

– áp dụng hệ thức Viét cho phương trình bậc 2 cụ thể

*Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm.

Phương pháp giải:

áp dụng định lý Viét x1 + x2= -b/a ; x1.x2 = a c

Nhẩm x1 + x2 = m + n; x1x2 = m.n thì phương trình có nghiệm x1 = m; x2 = n Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = a c

Nếu a - b+ c = 0 thì x1 = -1; x2 = - a c

Ví dụ 1 : Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm

nghiệm mỗi phương trình sau:

a 23x2 – 27x + 4 = 0 (1)

b 14x2 – 40x – 54 = 0 (2)

Giải: a Ta có a + b + c = 23 – 27 + 4 = 0 => phương trình (1)

có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 234 b Ta có a - b + c= 14- (- 40) + (- 54) = 14 + 40 - 54= 0 => phương trình (2) có 2 nghiệm x1 = -1; x2 = 1454 Ví dụ 2:

Dùng hệ thức Viét tính nhẩm nghiệm phương trình a x2 – 8x + 12 = 0 (1)

b x2 + 8x + 12 = 0 (2)

Giải: a Ta có 2 + 6 = 8 và 2.6 = 12 nên phương trình có nghiệm x1=2; x2=6 b Ta có (-2) + (-6) = -8 và (-2).(-6) = 12 nên phương trình có nghiệm x1 = -2; x2 = -6 * Bài tập tương tự : 1 Tính nhẩm nghiệm các phương trình a, 1,5x2 – 1,6x + 0,1= 0 (1)

b, 3x2 – (1- 3)x – 1= 0 (2)

c, (2- 3)x2 + 2 3x – (2+ 3) = 0 (3)

d, (m-1)x2 – (2m+3)x + m +4 = 0 m≠ 1 (4)

e, x2 - 10x + 16 = 0 (5)

f, x2 - 7x + 10 = 0 (6)

g, (m+1)x2 + 3mx +2m - 1 = 0 m≠ -1 (7)

Xác định số m và tìm nghiệm còn lại

Giải:

Phương trình 3x2 + 7x + m = 0 có nghiệm x1=1 nên thay x1 vào phươngtrình có 3.12 + 7.1 + m = 0 <=> m = -10

- Từ hệ thức cho trước của x, y tìm tổng S = x + y; P = x.y

- x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0

Ví dụ : Tìm 2 số u,v trong mỗi trường hợp sau:

b/ u, v là nghiệm của phương trình X2 – 2X+ 9 = 0 (2)

Δ = (-2)2 – 4.9 = -32 < 0 phương trình (2) vô nghiệm nên không có giá trịnào của u, v thoả mãn điều kiện đã cho

c/ Đặt t = -v ta có u + t = 5; u.t = -24

u, t là nghiệm phương trình X2 – 5X – 24 = 0 (3)

Biến đổi vế phải:

a(x-x1)(x-x2) = ax2- a(x1 + x2) + a.x1.x2

Vậy 1 + 3 và 1 - 3 là nghiệm phương trình bậc hai X2 – 2X- 2 = 0

2/ Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có 1 nghiệm là

3 5

3 5

3 5

Vậy x1, x2 là nghiệm phương trình X2 – 8X+ 1 = 0

Dạng 6 : Dấu nghiệm số của phương trình bậc 2

Ví dụ: Cho phương trình x2 – 2(m-1)x + m +1= 0

Xác định m để:

a Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b Có 2 nghiệm dương phân biệt

a/ Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b / Phương trình có 1 nghiệm âm

c/ Phương trình có 1 nghiệm bằng 0 Tìm nghiệm còn lại

Dạng 7 : Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thoả điều kiện cho trước.

*Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Δ ≥ 0

- Lập hệ phương trình từ hệ thức Viét và biểu thức của x1; x2 đã cho rồithay vào phương trình thứ 3 của hệ để tìm tham số m

- Kiểm tra lại m có thoả điều kiện có nghiệm không rồi kết luận

Ví dụ 1 : Xác định m để phương trình x2 + 2x + m = 0 có nghiệm x1; x2 thoảđiều kiện 3x1 + 2x 2 = 1

Giải: Phương trình có nghiệm <=> Δ’ = 1 - m ≥ 0 <=> m ≤ 1 (*)

Thay vào (3) ta được m = -35 thoả điều kiện (*)

Vậy với m = -35 thì phương trình có nghiệm thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1

Ví dụ 2: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 – 2(m-1)x + m2 - 1 = 0 Tìm hệ thức giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m

b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đều âm

c/ Tìm 1 hệ thức giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m

2/ Xác định k để phương trình x2 + 2x + k = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả mộttrong các điều kiện

a/ x12 – x22 = 12

b/ x12 + x22 = 1

3/ Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - (m-3)x + 2m + 1 = 0

Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Dạng 8: Biểu thức đối xứng của x 1 , x 2 của phương trình bậc 2

Phương pháp giải:

- Biểu thức giữa x1, x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1thì biểu thức không đổi

- Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S = x1 + x2 và P = x1.x2

- Từ hệ thức Viét tính S và P rồi thay vào biểu thức đối xứng

Ví dụ:

Giả sử x1, x2 là nghiệm phương trình x2 + mx + 1 = 0 tính giá trị các biểuthức sau:

1

2 2

x

x x

x x

x x x

2

2 2

2 2 2

- Điều kiện của phương trình bậc 2 có nghiệm Δ ≥ 0

- Từ hệ thức Viét tìm S, P theo tham số m

- Khử tham số m từ S và P để có hệ giữa S và P không phụ thuộc tham

số m

Trong giờ học chính khoá tôi lồng ghép các bài tập cùng lời giải mẫu,

cơ sở giải theo từng phương pháp để học sinh hình thành kỹ năng giải từngloại toán này Cho học sinh thực hành bài tập tương tự ngay tại lớp Đặc biệttrong các giờ luyện tập, các tiết học tự chọn, ôn tập chương giáo viên tiếp tụccho học sinh giải các bài tập nâng cao, làm thử các đề thi tuyển sinh chuyênchọn Qua đó học sinh thấy được tầm quan trọng của loại toán này, tự rènluyện tạo kỹ năng cho mình và rút ra cách giải các bài tập phức tạp hơn

Qua thực tế giảng dạy môn đại số 9 năm học 2011-2012 này Sau khixây dựng đề cương chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm được rút ra từ năm học2010-2011 tôi đã vận dụng vào các giờ dạy ở lớp 9A2 ( chủ yếu vào các tiếtluyện tập, tiết dạy tự chọn, tiết ôn tập Qua việc khảo sát chấm chữa các bàikiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ lệ bài tập học sinh giải đúng tăng lên

Cụ thể như sau :

Bài kiểm tra Tổng số

Qua bài kiểm tra 15 phút :

Học sinh giỏi tăng 8em (20%) so với bài khảo sát chất lượng đầu năm

Học sinh khá tăng 6em (15%) so với bài khảo sát chất lượng đầu năm

Học sinh yếu kém giảm xuống 5em (12%) so với bài KSCL đầu năm

Qua bài kiểm tra 1tiết :

Học sinh giỏi tăng 6em (15%) so với bài khảo sát chất lượng đầu năm

Học sinh khá tăng 5em (13%) so với bài khảo sát chất lượng đầu năm

Học sinh yếu kém giảm xuống 4em (10%) so với bài KSCL đầu năm

Như vậy sau khi tôi phân tích và đưa ra các dạng toán cùng phương pháp giảitừng dạng toán về ứng dụng của định lý viét và phương trình bậc hai, kết quảthu được là học sinh đã hình thành, định hướng được cách giải loại toán này.Bằng phương pháp gợi mở nêu vấn đề, các câu hỏi dẫn dắt, các em tự pháthiện ra hướng giải cho từng bài tập tạo hứng thú, phát triển trí thông minhsáng tạo cho học sinh Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng vàmôn Toán nói chung được nâng lên

III PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ :

III.1 Kết luận :

Phần kiến thức về định lý viét trong chương trình Đại số 9 rất rộng vàsâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tínhlôgíc toán học cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều Qua việc giảng dạy thực

tế tôi nhận thấy để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thúhọc tập môn Toán nói chung và phần Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phảitích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức

cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt có hồn giữa kiến thức và học sinh

Với sáng kiến “ Ứng dụng của định lý viét trong giải toán về phương trình bậc hai ” tôi đã cố gắng trình bày tương đối đầy đủ các dạng toán và

phương pháp giải các dạng toán đó, đặc biệt là việc ứng dụng của hệ thức viéttrong giải toán, để từ đó có thể giúp học sinh hiểu kĩ và sâu hơn các kiến thức

về hệ thức viét và ứng dụng của định lý viét trong giải toán Bên cạnh đó tôiluôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các phương pháp khắc phục

và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận củahọc sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải mộtcách dễ hiểu Ngoài ra tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví

dụ để các em có thể thực hành kỹ năng của mình

III.2 Kiến nghị :

Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tôi chỉ nghiên cứu ở một phạm

vi Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong nămhọc này qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy Tôi xin được đề xuấtmột số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của giáo viên vàhọc sinh :