Đề thi chọn HSG lớp 9 vòng huyện Phú Quốc năm học: 20132014 môn: Toán15051

Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên.. Chứng minh rằng IDE là tam giác cân. Bài 5: 4 điểm Cho đường tròn O đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax.. Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ ha

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG HUYỆN HUYỆN PHÚ QUỐC NĂM HỌC: 2013-2014

MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4 điểm)

3

1 2 2

2 6

5

13 2





















x

x x

x x

x

x

0



x

a Rút gọn biểu thức A

b Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên

Bài 2: (5 điểm)

Ta đã biết: "- Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8

- Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48."

Chứng minh rằng với mọi số n lẻ thì:

a/ A = n2 + 4n + 3 chia hết cho 8

b/ B = 3n3 + 9n2 - 3n - 9 chia hết cho 144

c/ C = n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8

Bài 3: (4 điểm)

1/ Tìm số nguyên dương để n 1 là số nguyên tố

2

) 1 (





 n n

p

2/ Cho a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a3 + b3

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A = 600, các phân giác BD và CE cắt nhau ở I Chứng minh rằng IDE là tam giác cân.

Bài 5: (4 điểm)

Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) với C là tiếp điểm Đường vuông góc với

AB tại O cắt BC ở N

a/ Chứng minh tứ giác OMNB là hình bình hành

b/ Trực tâm H của tam giác MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên Ax

……….Hết…………

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9

Năm học 2013-2014

điểm Bài 1

(4điểm) a A  x25xx136 x x222 x x31 với x 0

3

1 2 2

2 )

3 )(

2 (

13 2





















x

x x

x x

x x

2

3 ) 3 )(

2 (

) 3 )(

3 (

) 3 )(

2 ( 9

) 3 )(

2 (

) 2 )(

1 2 ( ) 3 )(

2 ( ) 13 2

(













































x

x x

x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x









2

5 2

3

x x





2

5

x

2

5 2

5 2

5 0 0 2



















x x

2

5





x

Từ đó tính được: x1 = 9; x2 =

4 1

0,5

0,5 0,5 0,5

0,5 1 0,5

Bài 2

(5điểm) a) Đặt A = n

2 + 4n + 3 = (n2 + n) + (3n + 3) = n(n + 1) + 3(n + 1) = (n + 1)(n + 3)

Vì n lẻ nên (n + 1)(n + 3) là tích của 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8

Suy ra A chia hết cho 8

b) B = 3n3 + 9n2 - 3n - 9 = 3(n3 + 3n2 - n - 3) = 3[(n3 - n) + (3n2 -3)]

= 3[n(n2 - 1) + 3(n2 - 1)] = 3(n2 - 1)(n + 3)

= 3(n - 1)(n + 1)(n + 3)

Vì n lẻ nên (n - 1)(n + 1)(n + 3) là tích của 3 số chẵn liên tiếp

nên chia hết cho 48 Suy ra B 3.48 = 144.

c) C = n2 + 4n + 5 = (n2 + 4n + 3) + 2

Do n2 + 4n + 3 8 (theo câu a) và 2 8 nên C 8  

0,75 0,5 0,75

0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5

Bài 3

) 2 )(

1 ( 1

2

) 1

p

Với n = 2k (ĐK: k>0) p = (k+1)(2k-1) nguyên tố mà k+1>1 

2k-1=1 k = 1 n = 2; p = 2 (thỏa mãn)

Với n = 2k+1 (ĐK: k 0)  p = 2(2k +3) nguyên tố mà 2k+3>1

k = 1 n = 3; p = 5 (thỏa mãn)

2) Ta có b = 1 –a, do đó M = a3 + (1 – a)3

0,5

0,5 0,25 0,5 0,25 0,5

= 3a2 – 3a + 1 = 3a2 – 3a + = 3(a )2 +

4

1 4

3 

2

1



4

1  4 1

Dấu bằng xẩy ra khi a Vậy minM

2

1



2

1 4

1







1 0,5

Bài 4

(3 điểm)

Do  = 600 nên B + Ĉ = 1200

B1 + C1 = 600



BIC = 1200



I1 + I2 = 600



Vẽ phân giác IK của góc BIC

I3 = I4 = 600



Khi đó: BIE = BIK (g-c-g) 

CID = CIK (g-c-g) 

IE = ID (cùng bằng IK)



IDE cân tại I (đpcm)

 

0,5

0,5

0,5 0,5

0,5

Bài 5

(4 điểm)

a) Ta có OMAC; BCAC

 OM//BC hay OM//BN (1)

Lại có: ∆ AOM=∆ OBN (g-c-g)

 OM=BN (2)

Từ (1) và (2)  OMNB là hình bình hành

b)Gọi H là trực tâm của ∆MAC nên AHMC

Lại có: OCMC (MC là tiếp tuyến của (O)

Suy ra: AH//OC (3)

Tương tự: OA//CH (4)

Từ (3) và (4)  AHCO là hình bình hành

 AH=OC

Mà OC=R nên AH=R

Ngoài ra: A cố định Do đó: H di động trên đường tròn cố định

tâm A, bán kính R

0,5

0,5 0,5

0,5

0,25 0,25 0,5 0,5

Hình bài 4 (0,5 điểm) A

E D

I

1 2

3 4

B C

K Hình vẽ bài 5: 0,5 điểm

N

C H

M

O

x