Chứng minh rằng:.. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF... Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.. Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai c
Trang 1
(Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức: 2 1 1 Với x > 0, x 1
: 2
P
a Rút gọn biểu thức P
b Tìm x để 2
7
P
c So sánh: P2 và 2P
Bài 2: (4,0 điểm)
a Tính giá trị biểu thức: A 7 4 3 4 2 3
b Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2013
và 1 1 1 1 thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2013
2013
a b c
Bài 3: (4,0 điểm)
a Giải phương trình: x2 7x 6 x 5 30
b Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
ab bc ca a b c P
abc
a b c
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, AH BC, HE AB, HF AC ( H BC,
E AB, F AC).
a Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B
b Chứng minh rằng:
3 3
AB BE
CF AC
c Chứng minh rằng: 3BC2 3CF2 3BE2
d Cho BC = 2a Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF
Bài 5: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên
Hết
Họ tên thí sinh: Chữ kí của giám thị:1:
Số báo danh: Chữ kí của giám thị 2:
Giám thị không giải thích gì thêm
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 28/10/2013
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013-2014 MÔN : TOÁN
Hướng dẫn chấm này có 03 trang
I Yêu cầu chung:
1 Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng
2 Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm
II Yêu cầu cụ thể:
a (2,0đ)Ta có:
: 2
P
x x x
x x
1,0đ 1,0đ b.(1,5đ)
6 0
2 ( 3) 0
x x
( vì )
2
x
x = 4 ( Thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 4
0,5đ 0,25đ 0.25đ 0,25đ 0.25đ
1
(4điểm)
c (0,5đ)
* Do x x 1 = 1 2 3 0 nên P > 0
x
* Với x > 0 thì x x 0nên x x 1 > 1
Do đó: 0 < P < 2 nên P.(P – 2) < 0 P 2 < 2P
0,25đ
0,25đ a.(2,0đ) A (2 3) 2 (1 3) 2
2 3 1 3
(2 3) ( 3 1)
= 1
1.0 đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ
2
(4điểm)
b (2,0đ)Từ giả thiết suy ra:
a b c a b c ab ca b c
0
a b a b
ab c a b c
0,5đ
0,25đ
Trang 3( )( )( ) 0
0 0 0
a b b c c a
a b
b c
c a
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
0.5đ 0,5đ 0.25đ
3
(4điểm)
a.(2,0đ)
Đk: x 5
(x2 – 8x + 16) + (x + 5 - 6 + 9) = 0
( x – 4)2 + ( - 3)2 = 0
5 3 0
x
x x
Vậy x = 4
0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ b.(2,0đ)
Với x, y, z > 0 Ta có:
+) x y 2 (1)
y x
+) 1 1 1 9 (2)
x y z x y z
+) x2 + y2 + z2 xy + yz + zx x2 y2 z2 1 (3)
xy yz zx
Xảy ra đẳng thức ở (1), (2), (3) x = y = z.Ta có:
2
abc
abc
Áp dụng các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:
9
2 8 18 28
ab bc ca
ab bc ca
a b c
ab bc ca a b c a b c
ab bc ca ab bc ca
a b c
Dấu “ =” xảy ra a2 b2 c2 a b c.
ab bc ca
ab bc ca
Vậy Min P = 28 khi và chỉ khi a = b = c
0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,5đ
0,5đ 0,25đ
0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ
Trang 4B E
H F
C A
O B
E
H F
C A
Cho tam giác ABC vuông ở A, AH BC, HE AB, HF AC (
H BC,
E AB, F AC).
e Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B
f Chứng minh rằng:
3 3
AB BE
CF AC
g Chứng minh rằng: 3BC2 3CF2 3BE2
h Cho BC = 2a Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF
a.(2,0đ)
* AHB vuông tại H, có HE AB nên
AH2 = AB.AE (1)
Tương tự: AH2 = AC.AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AB.AE = AC.AF
* BH = AB.cosB; AB = BC.cosB
Suy ra BH = BC.cos2B
b.(1,5đ)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
AB2 = BC.BH; AC2 = BC.CH;
BH2 = AB.BE; CH2 = AC.CF
nên
3 3
.
.
AB BH AB BH AB BE
AB BE
CF AC
0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ
c (1,5đ)
Ta có BE = BH.cosB; BH = AB.cosB; AB = BC.cosB;
Do đó: BE = AB.cos2B = BC.cos3B BE2 = BC2.cos6B
3BE2 3BC2 cos 2B.
Tương tự ta có: 3CF2 3BC2 sin 2B.
3BE2 3CF2 3BC2 (cos 2 B sin 2B) 3BC2
0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ
4
(6điểm)
d (1,0đ)
Ta có: SAEHF = AE.AF Lại có: AH2
AE
AB
Tương tự: AH2
AF
0,25đ
0,25đ
Trang 5Do đó: 4 4 3 3 3 2.
AEHF
S
AB AC BC AH BC BC a
Max SAEHF = 2 vuông cân tại A
2
a ABC
0,25đ 0,25đ
5
(2điểm)
Giả sử 2016k + 3 = a3với k và a là số nguyên
Suy ra: 2016k = a3 - 3
Ta chứng minh a3 – 3 không chia hết cho 7
Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r 0;1; 1; 2; 2;3; 3 Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3 – 3 không chia hết cho 7
Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên a3 – 3 2016k.
Bài toán được chứng minh
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ
0,25đ 0,25đ Hết
Người làm đáp án: Người thẩm định:
1
2 Người duyệt: