Giải bài tập ngân hàng câu hỏi toán A2 IUH14367

Ma trận bậc thang Là ma trận có tính chất sau:  Các hàng khác không đều ở trên hàng bằng không  Phần tử cơ sở của một hàng nằm ở cột bên phải so với phần tử cơ sở của hàng trên phần tử

GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH

CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Phần 1: Tóm tắt lý thuyết – công thức

A MA TRẬN

1 Định nghĩa

Cho m và n là hai số nguyên dương một ma trận A cấp m x n là một bảng gồm

m x n số được xếp thành m hàng và n cột Kí hiệu: A = [aij]mxn

2 Các phép toán trên ma trận

2.1 Các phép toán

Cho 3 ma trận A, B, C thuộc Mmxn ta có

 Hai ma trận bằng nhau: A = B nếu (A)ij = (B)ij, i = , j =

_

,

1 m

_

,

1 n

 Phép nhân một số với ma trận: (KA)ij = k(A)ij, i = , j = , k R

,

1 m

,

 Phép cộng ma trận: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij, i = , j =

_

,

1 m

,

1 n

 Hiệu hai ma trận: A – B = A + (- B)

 Phép nhân hai ma trận: (AB)ij = KJ, i = , j =

n

k

ik B

A) ( ) (

1





_

,

1 m

,

1 n

2.2 Tính chất

Tương tự như trong các phép tính đại số ma trận cũng có các tính chất như giao hoán, kết hợp …

2.3 Phép chuyển vị ma trận

AT là ma trận chuyển vị của ma trận A nhận được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột

(AT)ij = (A)ji , i = , j =

_

,

1 m

,

1 n

 Tính chất:

(A + B)T = AT + BT

(aA)T = aAT

(A ) =A (AB)T=BTAT

*Tổng quát:

(A1,A2,…An)T=AnT…A2TA1T

Lũy thừa của ma trận: AP = AP-1A

2.4 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận bậc thang

2.4.1 Ma trận bậc thang

Là ma trận có tính chất sau:

 Các hàng khác không đều ở trên hàng bằng không

 Phần tử cơ sở của một hàng nằm ở cột bên phải so với phần tử cơ sở của hàng trên (phần tử cơ sở của hàng là phần tử khác không dầu tiên từ bên trái qua)

2.4.2 Các phép biến đổi sơ cấp

Mọi ma trận đều đưa về được dạng ma trận bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng như sau:

 Nhân các phần tử của một hàng với một số khác không: hi   h i( 0)

 Cộng vào các phần tử của hàng các phần tử tương ứng của hàng khác đã nhân với một số hih i  h i(0).

 Đổi chỗ hai hàng cho nhau: hihj.

 Các hàng tỉ lệ với nhau hay giống nhau thì có thể bỏ đi chỉ trừ lại một hàng

* Chú ý: Nếu các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên cột thì gọi là phép biến

đổi sơ cấp đối với cột

B ĐỊNH THỨC

1 Định nghĩa

Cho ma trận vuông cấp n: A=[aij]mxn Định thức A kí hiệu là detA hay là A

n

a a a a

n

n

) 1 (

2 1 2

1

1

2 1 )

(











 

2 Tính chất

* Tính chất 1: detA = detAT

* Tính chất 2: Nếu A có một hàng các phần tử đều bằng 0 thì detA = 0.

* Tính chất 3: Nếu đỏi chỗ hai hàng cho nhau thì detA đổi dấu

* Tính chất 4: Nếu A có hai hàng giống nhau thì detA = 0.

* Tính chất 5: Nếu nhân mọi phần tử trong một hàng của A với một số khác 0

thì detA cũng được nhân lên với số đó

* Tính chất 6: Nếu A có hai hàng tỉ lệ thì detA =0.

* Tính chất 7: Nếu mọi phần tử trong hàng của A có dạng tổng của hai số hạng

thì định thức có thể tách thành tổng hai định thức

* Tính chất 8: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A bội của dòng khác thì

định thức không thay đổi

* Tính chất 9: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A tổ hợp tuyến tính của của

các dòng còn lại thì detA không đổi

3 Một số phương pháp tính định thức

3.1 Phương pháp khai triển theo một hàng hay một cột

Cho A = (aij)n, A bỏ đi hàng i cột j phần còn lại tạo một ma trận vuông cấp n-1 định thức đó được gọi là định thức con bù của aij kí hiệu là ij : Aij = (-1)i+j ij gọi là phần bù đại số của aij.

3.2 Phương pháp Gauss

Sử dụng phép biến đổi trên hàng để đưa định thức về dạng tam giác khi đó định thức sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

3.3 Khai triển Laplace

 Mở rộng công thức khai triển theo một hàng hay một cột thành công thức khai triển trên k hàng k cột

 Định lý Laplace: Chọn k hàng bất kì trong detA, gọi M1, M2,…,Ms là tất cả các định thức con cấp k do k hàng vừa chọn kết hợp với k cột trong n cột của A và

A1,A2,…,AS là phần bù đại số tương ứng ta có detA = M1A1 + M2A2 + ….+

MSAS







 ) (n k k n

3.4 Phương pháp truy toán

Biến đổi định thức cùng dạng nhưng cấp thấp hơn để tính

4 Ứng dụng của định thức

 Hạng ma trận: Hạng của A là cấp cao nhất của các định thức con khác không

của A Kí hiệu r(A)

 Tìm hạng ma trận: Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng ma trận

bậc thang khi đó hạng ma trận bằng số các hàng khác không

5 Ma trận nghịch đảo

5.1 Các định nghĩa

a) Ma trận phụ hợp

Cho ma trận vuông cấp n: A=(aij)và A ij là phần bù đại số của aij ta lập ma

trận

gọi là ma trận phụ hợp của A



























nn n

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A

A

~

2

1

2 22

21

1 21

11

A~

b) Ma trận không suy biến

Ma trận vuông A gọi là không suy biến nếu detA 0 

c) Ma trận nghịch đảo

Cho A M n Nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = In thì B gọi gọi là ma

trận nghịch đảo của A, kí hiệu B = A-1

5.2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

Phương pháp dùng định thức: A-1 =

A

1

A~

Phương pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng : (A/In) IBiến đổi trên hàng n//A-1

PhÇn 2 Bµi tËp tr¾c nghiÖm

Câu 1:1.31 denta1 – 46

Tính định thức

 

Giải

= (-1)3+4

0 4 4|= ‒ 8

Câu 2: 1.31 denta 2 – 46

Tính định thức

 

Giải

0 4 4|= ‒ 8

Câu 3:1.31 denta3

Tính định thức

 

Giải

= 4

  = (‒ 1)2 + 4|01 12 27

0 4 4|

Câu 4:

Tính định thức

 

Giải

=(-1)2+2

0 4 4|= 4

Câu 5:

Tính định thức

 

Giải

=(-1)1+2

0 4 4|= ‒ 4

Câu 6:

Tính định thức Tìm m để .

m

Giải

∆ = ( ‒ 1)2 + 1

3|m 4

1 2|= 3(‒ 2m + 4)

Để ∆ ≤ 0⟺3( ‒ 2m + 4) ≤ 0

⟺m ≥ 2

Câu 7:1.39c – 47

m m

m

Giải

∆ = ( ‒ 1)2 + 1

m|m 4

1 m|= ‒ m(m2‒ 4)

Để ∆ = 0⟺m(m2‒ 4)= 0

⟺[ m = 0m = 2

m = ‒ 2

Câu 8:

m m



Giải

∆ = ( ‒ 1)2 + 2

m|2 ‒ 4

1 m |= m(2m + 4)

Để ∆ = 0⟺m(2m + 4) = 0

⟺[ m = 0

m = ‒ 2

Câu 9: 1.39b – 47

Tính định thức Tìm m để

1 2

1 1

m m

Giải

∆ =|1 1 3

1 1 m|=|0 ‒ 1 3 ‒ m

= (‒ 1)2 + 1|‒ 1 3 ‒ m‒ 1 0 |= ‒ 3 + m

Để ∆ ≥ 0⟺ ‒ 3 + m ≥ 0⟺m ≥ 3

Câu 10:

1 1

m

Giải

=

1 1

m

 

|01 ‒ 1 m2 0

0 ‒ 1 2|= (‒ 1)2 + 1|‒ 1 m‒ 1 2|= 2‒ m

Để ∆ < 0⟺m > 2

Câu 11:

m m

Giải

=

m m

   (‒ 1)2 + 1|1 m

1 2|= 2‒ m

Để ∆ > 0⟺m < 2

Câu 12:

m

Giải

∆ =|10 m2 11

1 0 1|=|10 m2 11

0 ‒ 2 0|= (‒ 1)3 + 1| m 1

‒ 2 0|= 2

Để ∆ > 0⟺m ∈ R

Câu 13: 1.40a – 47

m m m



0

 

Giải

m m m



=|10 21 1m‒ m

0 1 2‒ 2m|= (‒ 1)1 + 1|1 1‒ m

1 2‒ 2m|= 1‒ m

Để ∆ > 0⟺m < 1

Câu 14:

0

m

m



Giải

0

m

m



  =|00 m‒ m‒ 2 4 ‒ 2m‒ m2

= (‒ 1)3 + 1|m‒ 2 4 ‒ 2m

‒ m ‒ m2 |= m(4‒ m2)

Để ∆ = 0⟺m(4‒ m2)

⟺[ m = 0m = 2

m = ‒ 2

Câu 15:

m

m



Giải

m

m



    =|00 2m‒ 1‒ 2 2‒ 2m ‒ 2m4‒ 4m 2

1 2 2m |= (‒ 1)3 + 1

‒ 1 2‒ 2m ‒ 2m2|

= ‒ 4m(m2‒ 1)

Để ∆ = 0⟺ ‒ 4m(m2‒ 1)= 0

⟺[ m = 0m = 1

m = ‒ 1

Câu 16:

m m

 

0

 

Giải

m m

 

= (‒ 1)2 + 1m| m 4

m + 1 4 + m|

= ‒ m(m2‒ 4)

Để ∆ = 0⟺ ‒ m(m2‒ 4)= 0

⟺[ m = 0m = 2

m = ‒ 2

Câu 17:

m

m





0

 

Giải

m

m





=|2 + 2mm 10 40

m + 3 1 m|= (‒ 1)2 + 1

m|1 4

1 m|= ‒ m(m ‒ 4)

Để ∆ > o⟺ ‒ m(m ‒ 4) > 0

⟺0 < m < 4

Câu 18: 1.40c – 47

m

0

 

Giải

m

=|2 + 2m2m ‒ 50 120

m + 3 ‒ m ‒ 1 3m|

= (‒ 1)2 + 1

‒ m ‒ 1 3m|= ‒ 2m( ‒ 3m + 12)

Để ∆ > 0⟺ ‒ 2m( ‒ 3m + 12) > 0

⟺[m < 0

m > 4

Câu 19:

m

m



Giải

2 2 1 4

m

m



= (‒ 1)3 + 1

(‒ m)|0 4‒ m

1 m |= (‒ m)(m ‒ 4)

Để ∆ > 0⟺( ‒ m)(m ‒ 4) > 0

⟺0 < m < 4

Câu 20:

m



Giải

m



    =|m + 2m‒ 1 m ‒ 1 02 0

= (‒ 1)3 + 3|m + 2 2

m‒ 1 m ‒ 1|= m(m‒ 1)

Để ∆ = 0⟺[m = 0

m = 1

Câu 21:1.40d – 47

m



Giải

m



m 0|(‒ 1)3 + 4 + 1 + 2|2m m

m 0|= ‒ m ‒ m2

= m3

Để ∆ > 0⟺m > 0

Câu 22:

m m

m



Giải

m

m

m



1 m‒ 1|(‒ 1)1 + 2 + 1 + 2|m 0

0 1|

= m2(m‒ 1)

Để ∆ > 0⟺m2

(m‒ 1) > 0

⇔m > 1

Câu 23:

3

m m

Giải

3

m m

   =|m + 37 m + 32 m + 3m + 7

= (m + 3)|17 12 m + 71

0 m‒ 3 0 |= (m + 3)(‒ 1)3 + 2(m‒ 3)|1 1

7 m + 7|

= ‒ m(m + 3)(m ‒ 3)

Để ∆ = 0⟺[ m = 0

m = ‒ 3

m = 3

Câu 24:

Tính định thức Tìm m để .

m



0

 

Giải

m



= (m‒ 1)|m + 8m + 1 m7 2m6‒ 1

| 11 10 m1‒ 1

m + 1 0 ‒ 1 |

= (m‒ 1)( ‒ 1)3 + 2|m + 1 ‒ 1

1 m‒ 1|= ‒ m2

(m‒ 1)

Để ∆ = 0⟺ ‒ m2

(m‒ 1) = 0

⇔[m = 0

m = 1

Câu 25:

m

m



 

0

 

Giải

m

m



 

=|m + 44 mm‒ 1 31

m + 4 m‒ 1 5|=| 04 m0 31

m + 4 m‒ 1 5|

= (‒ 1)1 + 3

m + 4 m‒ 1|= ‒ 3(m2+ 4)

m2 + 4 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

Để ∆ = 0⟺

⟺không có m thỏa

Câu 26:

Tính định thức Tìm m để .

m



0

 

Giải

m



= (m + 1)|m + 8m + 1 m7 2m6‒ 1

= (m + 1)|m + 11 00 m‒ 1‒ 1

1 1 1 |= (m + 1)(‒ 1)3 + 2|m + 1 ‒ 1

1 m‒ 1|

= ‒ m2

(m + 1)

Để ∆ ≤ 0⟺ ‒ m2

(m + 1)≤ 0

⟺m ≥‒ 1

Câu 27:

m



0

 

Giải

m



= (m + 1)|m + 8m + 1 m7 2m6‒ 1

= (m + 1)|m + 11 00 m‒ 1‒ 1

1 1 1 |= (m + 1)(‒ 1)3 + 2|m + 1 ‒ 1

1 m‒ 1|

= ‒ m2(m + 1)

Để ∆ < 0⟺ ‒ m2

(m + 1) < 0⟺{m > ‒ 1

m≠ 0

Câu 28:1.59 – 51

Cho hai định thức: 1 2

;

Khẳng định nào sau đây đúng?

Giải

Chọn đáp án (a) vì hàng 1 cua đổi thành hàng 2 của ∆1 ∆2

Câu 29:

;

Khẳng định nào sau đây đúng?

Giải

Ta có: ∆2= 2.2| 1 2 3 4

4 7 12 17|= 4∆1 Chọn đáp án (d)

Câu 30:

;

Khẳng định nào sau đây đúng?

Giải

Ta có: ∆2=2.2.2|1a

3 4

8 ‒ 12 17|= 8∆1 Chọn đáp án (b)

Câu 31:

;

Khẳng định nào sau đây đúng?

Giải

Ta có: ∆2= 2.2.2.2|1a

3

2 b 6

‒ 3 4

‒ c d

‒ 8 4

4 8 ‒ 12 17|= 16∆1 Chọn đáp án (a)

Câu 32:

;

Khẳng định nào sau đây đúng?

a)   1 2 b)   2 2 1 c)   2 4 1 d) Các kết qủa trên đều sai

Giải

Ta có: ∆2= 2.2|1 2 3 2 =

3 4

6 8

8

12 ‒ 4

17| 4|1 2 3 2

3 4

6 8

8

12 ‒ 4

17|

Chọn đáp án (d)

Câu 33:

;









Khẳng định nào sau đây đúng?

Giải

∆2= (‒ 2)|1 2 3 x‒ 3

3 4

6 8

8 12

z‒ 8

t‒ 12|cột4 + cột 3

→ (‒ 2)∆1

Chọn đáp án (c)

Câu 34:

Tính định thức:

 

Giải

0 2

0 2

5 2

0

1|= (‒ 1)3 + 3

5|12 13 01

2 2 1|

=5

= 5|10 11 00

2 2 1|= 5(‒ 1)3 + 3|1 1

0 1|

Câu 35:

Tính định thức:

 

Giải

  = (‒ 1)1 + 2 + 1 + 2

.50 = 50

Câu 36:

Tính định thức:

 

Giải

(-1)3+4+3+4.(-2)

Câu 37:

Tính định thức:

 

Giải

  = (‒ 1)1 + 2 + 3 + 4

.(‒ 2).( ‒ 1) = 2

Câu 38:

Tính định thức:

 

Giải

1 1

1 2

2 2

4

4|= 2.2|1 1 1 1

1 1

1 2

2 2

2

2|

= 4|10 ‒ 2 1 ‒ 11 1 1

0 0

0 1

1 1

1

1 |= 4|‒ 2 1 ‒ 1‒ 1 0 0

Câu 39:

Tính định thức:

 

Giải

1 1

1 1

4 1

2

1|= 2.(‒ 1)2 + 2

(‒ 1)|11 04 02

1 1 1|= ‒ 4

Câu 40:

Tính định thức:

