Tài liệu Giáo trình hình học: Mặt cầu doc

Do I là tam mặt cầu đi qua A, B, C, D nên K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. 2 Ta lại có thể giải như sau : Gọi I Z4 là tâm của hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABCD, thì I là gi

_« Phương trình mặt cầu tổng quát có dạng

x°+yˆ+z? + 2ax + 2by + 2cz + d=0, với a4 +b’ +c°-d>0 ()

Dưới dạng này thì tâm hình cầu là I(—a ; —b ; —c) va bán kính hình cầu

~ Nếu h >R : thì (P) và (⁄) không cắt nhau

~ Nếu h =R : thì (P) và (⁄) tiếp xúc với nhau Lúc đó nếu gọi M là tiếp

điểm của (P) với (Z), thì IM = R và IM L (P)

— Nếu h <R : thì (P) và (Z) cắt nhau theo một giao tuyến là đường tròn 90

Tâm K của đường tròn giao tuyến chính là hình chiếu của tâm I trên (P), còn bán kính r của đường tròn giao tuyến được xác định như sau :

r= \Rˆ -hZ

2 CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Loại 1 Các bài toán viết phương trình mặt cầu

Thi du 1 (Dé thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D - 2004)

Cho ba điểm A(2 ;0; 1), B(I;0;0);C(I; 1; l) và mặt phẳng (P) :

x+y+z—2=0 Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm thuộc (P)

Giải

Phương trình tổng quát của mặt cầu qua A, B, C1à

Khi d6 (7) c6 tam 1a I(—a ; —b ; -c)

Từ đó ta đi đến hệ phương trình sau để xác định a, b, c, d:

((2),(3),(4) c6 dugc do (Y) qua A, B, C; con (5) cé duge do tam I(—a ; —b ; —c) € (P))

Dễ thấy hệ (2), (3), (4), (5) cho nghiém a = —-1,b=0,c =—1,d=1

Vậy mặt cầu (Z) cần tìm có phương trình

ety tz 4+ 1=0

© (x-1)? + y? + (x1) = 1

Đó là mặt cầu tâm tại I(1 ; 0; 1) và bán kính R = 1

9]

Ta thu lai két qua trén !

2) Xét một cách giải "cực doan" sau day :

Tacó AB =(-1;0;-l); AC=(-1;1;0)

0 -1| |1 -1{ 1 0 (et: D

Vậy |AB, AC] = [ L0

Đó chính là vectơ pháp của mặt phẳng (ABC) Vậy (ABC) là mặt phẳng

(x -2)+(y —0)-(z- 1) =0

> x+ty-z-1=0

>

Gọi K(xọ ; Yọ ; Zạ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có

Vậy dø (P) =I(I ; 0; 1) và I chính là tâm của hình cau qua A, B, C Ta có

R =IA = 1 Do đó (Z2) là hình cầu với phương trình

(x-1)° + y* + (2-1) =1

Ta thu lai két qua trén

Dĩ nhiên cách "cực đoan” này chỉ là để tham khảo mà thôi !

Thi dụ 2 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Khối B —- 2005)

Trong không gian cho hình lăng trụ đứng ABCD.A¡B¡C¡D¡ với A(0; —3 ; 0), B(4 ; 0; 0); C(O; 3; 0); By(4; 0; 4)

1) Tim toa độ các đỉnh A¡, C¡

2) Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng BCC;B;¡

93

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(3 ; 3; 0); B(3 ; 0; 3);

C(O; 3; 3); D3; 3; 3)

1) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D

2) Tim toa do tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải

1) Xét hình lập phương BOC'A.BO'CD (xem hình vẽ) Dễ thấy mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D chính là mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

94

N

Gọi HH' là trục của hình lập phương, thì

trén I cua mat cầu ngoại tiếp lập phương © tạ)

Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình „

(3) x=—| ea) +ly-—| +/z-=] ea) 7 =—

2 "2 2 4

2

= x+y? +z — 3x — 3y — 3z = 0

2) ABC là tam giác đều cạnh bằng 3/2 Do đó tâm K đường tròn ngoại

tiếp AABC cũng chính là trọng tâm của tam giác ABC Áp dụng công thức tìm toa độ trọng tâm tam giác, ta có

Chú ý - Câu 1) có thể giải bằng phương pháp truyền thống như sau :

Gọi phương trình mặt cầu phải tìm là

[cac

28+ 18a+d=0

3 : a=_——

=> 2

d=0

Thay lai vào (*) và có x? + y- +77 —3x- 3y —-3z =0

Ta thu lai két qua trén

Câu 2) có thể giải như sau :

AB =(0;-3; 3) cùng phương với vectơ cé toa dé (0; —1 ; 1)

AC =(-3; 0; 3) cùng phương với vectơ có toạ độ (—1 ; 0; 1) Vậy (ABC) nhận ñ = [ AB, AC | là vectơ pháp tuyến

„ -Ì I fl 0 |0 -1

O i jl -l} j-1 0

= (-1; —1 ; —-lL) cùng phương với vectơ (1 ; 1; 1)

Kẻ IK 1 (ABC) (K e (ABC)) Do I là tam mặt cầu đi qua A, B, C, D nên K

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vay K =(2; 2; 2) Ta thu lai két qua trén

Bình luận : Rõ rang cách giai | hay hon nhiéu (tuy nhiên cách giải 2 là

cách giải "truyền thống”)

96

Thí dụ 4 Cho hai đường thẳng dị, d; có phương trình _

1) Chimg minh d, va d, chéo nhau

2) Lap phương trình mặt cầu (7) nhận đoạn vuông góc chung của d¡ va d;

Vậy hệ vô nghiệm, do đó dị va dạ chéo nhau (đpcm)

Nhận xét : Dĩ nhiên chúng ta có thể thấy [ủ,,ú;]M,M; # 0, ở đây

Mi =(0;0; 4) e dị ; còn Mạ = (3; 0; 0) e dạ

1 0

4 3

Từ đó suy ra d; và d; chéo nhau

2) Trước hết xác định chân hai đường vuông góc chung cua dj, dy 1a MN, voi

Vay M=(23;1; 4) vaN(2; 1; 0)

Hình cầu (Z) cân tìm có tam I = (2, 1, 2) là trung điểm của MN và bán

Vậy (Z) có phương trình :

(Z2): &- 2) +(y- DĐŸ+(z- 2)” =4

Thí dụ 5

1) Viết phương trình mặt cầu (Z) có tâm nằm trên đường thẳng

tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) : 3x + 4y + 3 = Ö và -

Vì thế do hình cầu (Z) cần tìm tiếp xúc với cả (P) và (Q) nên bán kính R

của nó được xác định như sau :

Vì (Z) tiếp xúc với (P) và có bán kính R = I, nên ta có

[21 + 3ty) + (-2 + ty) - 2ty + 2) _ I

R = d(I,(P)) =

= [Sty + 21 =3 Sty +2=3 ty =~

Giải

Giả sử mặt câu (Z) có phương trình

x? +yˆ + z + 2ax + 2by + 2cz + d =0 (1)

Vì mặt cau qua O, A, B, C, nên ta có d = 0 (do qua O nen thay x = y =z=0

vao (1))

1+44+9+2a+4b+6c =0 b= -2 4+1+4a+2b=0 c© a=-+

2) Ta lại có thể giải như sau : Gọi I Z4

là tâm của hình cầu ngoại tiếp tứ diện

OABCD, thì I là giao của ba mặt phẳng

trung trực của các cạnh OA, OB, OC

Trung điểm I của OA là I = (š:1:))}

Ta có OA = (1 ; 2; 3) chính là vectơ

pháp tuyến của mặt phẳng trung trực

cạnh OA, nên mặt phẳng trung trực của

Từ (1), (2), (3) suy ra hệ phương trình sau để xác định tọa độ tâm OI(%x;y;:Z)

của hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

28 -1)+[y-3] =O 4x + 2y-5=0

1

x+2y+3z~— 7 =0 kh, 4x+2y-5=0 ‡$y=2

Thí dụ 8 Lập phương trình mặt cầu có tâm tai diém I(2 ; 3 ; —1) va cắt

Ở đây IH chính là khoảng cách từ ï tới d A

dé vecto chi phuong 1a U, véi

4 17H 31713 -4 Ngoài ra dé thay d con di qua diém M(11 ; 0 ; —25) Tir dé

nên H=(11+2tạ; tạ; 25 — 2tạ) > IH = (9 + 2te ; tạ — 3 ; —24 — 2ty)

Tacó IHL ũ ©IH.ũ=0

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(0; 0; 4); B2; 0; 0)

Viết phương trình mặt cầu qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :

2x+y-z-5=0 Gidi

Gọi mặt cau (/) phải tìm là :

Mặt khác OAB là tam giác vuông đỉnh O, nên tâm đường tròn ngoại tiếp K

của tam giác này chính là trung điểm của AB, nên K = (1 ; 0; 2)

Vậy đường thẳng d vuông góc với (OAB) tại K có dạng

xe=l

d:4y =t

z= 2

Tam I hình cầu qua O, A, B phải nằm

trên d, nên I = (1 ; tọ ; 2) Vì hình cầu tâm I

tiếp xúc với (P) : 2x + y — z — 5 =0, nên ta

` Vạyl=(1;-—L; 2) và R = 46

Ta thu lại kết quả trên

Thí dụ 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có ba

Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm 1 thuộc mặt phẳng (P)

có phương trình 18x —- 35y — I7z— 2 =0

zeR (z tuỳ ý)

Thay vào phương trình (AB) ta có 8 + t + 5t—2=0 ©t=—1 Vậy A =(7; 1;0) Tương tự có B = BA ¬ BC > B = (—3 ;—1; 0); C=CA ¬ŒCB >C=(3;5;0) Gọi (Z) là mặt cầu : X + +Z” + 2ax + 2by + 2cz + d =0 (a? +b? +07 >d)

Do (Z7) qua A, B, C nên có

50 + 14a + 2b + d=0 (1) 10—6a -2b+d =0 (2)

Loại 2 Các bài toán về lập phương trình đường thẳng và mặt phẳng

tiếp xúc với mặt cầu

Thí dụ 1 (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2004)

Trong không gian cho bốn điểm A(I ; —I ; 2); B(1 ; 3 ; 2) ; C(4 ; 3 ; 2) và

1) Rõ ràng A' = (I ; —l ; 0) Gọi phương trình mặt cầu (Z) qua A', B, C, D là

x°+yˆ+zˆ + 2ax + 2by + 2cz + d= 0, với a” +bˆ +c >đ

Khi đó ta có hệ phương trình sau để xác định a, b, c, d :

Vậy (Z2): x” + yˆ + z ~5x — 2y — 2z + 1 = 0 là mặt cầu cần tìm

2) Viết lại () dưới dạng

Ta có IA' = L ;—2ï— | chính là vectơ pháp tuyến của tiếp diện (P) cần tìm

Vì (P) qua A'(1 ; —1 ; 0) nên (P) có dạng

107

-3œ=1)=20 +1)=z =0 ©> 3x + 4y +2z+ I =0

Vậy (P) : 3x + 4y + 2z + l =0 là tiếp diện với mặt cầu (Z) tại A'

Thí dụ 2 (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2005)

Trong không gian cho mặt cầu (2) : x’ + vĩ +Z—2x+ 2y +4z~- 3= 0 và

hai đường thẳng

.|x+2y-2=0 |

(a0: | 7 » t—=#

x—=2z=0 ~ 7 =] 1 Viết phương trình tiếp điện với mặt cầu (⁄⁄), biết nó song song với Ai và Áa

Giải

Viết lại (Z) dưới đạng : (x — 1)” + (y + 1)? + (z+ 2)” =9, đo đó (Z) là hình

cầu tâm I(1 ; —1 ; —2) và bán kính R = 3

Gọi (P) là tiếp diện cần tìm Vì (P) song song véi A, va A>, nén vectơ pháp

tuyến ñ của nó xác định như sau :

Vậy tiếp diện ®Đ có dang: :y+Z+ De =0

Vì khoảng cách từ tâm I(1 ; —1 ; —-2) tới nó bằng 3, nên ta có

Do đó có hai tiếp diện cần tìm :

a) Viết phương trình mặt cầu (Z) qua bởi điểm A, B, C, D

b) Viết phương trình tiếp diện của (Z), biết tiếp diện này song song với (ABD) Giải

a) Dễ thấy B = (1 ; 4; —-1) và D= (2; 2; —l)

Mặt cầu (Z) qua A, B, C, D có phương trình x’ + y +2 +2ax + 2by + 2cz+d=0,

(a2 +b? +c?> d), trong đó a, b, c, d được xác định qua hệ phương trình sau : _

109

Vậy (0; 0; 1) là vectơ pháp tuyến của (ABD) Mặt khác vì tiếp diện (P) song song với (ABD), nên (0 ; 0 ; 1) cũng chính là vectơ pháp tuyến của nó, vậy (P) có dạng (P):z+D=0

Khoảng cách từ tâm (3 + xuống (P) bằng at nên ta có phương

„21-2 _ọ

2

_M21+2 To

5

Thí dụ 4 Cho mặt cầu (Pix ty? 427 + 2x - 4y - 6+ 5 =0

Viết phương trình tiếp diện của (Z), biết rằng tiếp diện chứa đường thẳng d :

`

Vì tiếp diện chứa d, nên nó thuộc chùm mặt phẳng sau :

o(2x -y-1)+B(z-1)=0 (a? +87>0)

& 4B + 25a” — 2008 = 45a” + 98”

Vay (7) 1a hinh cau c6 tâm tại I(—l'; 3 ; -2) và bán kính R = 429

Do tiếp diện (P) cha (7) chứa d, nên nó thuộc chùm mặt phẳng sau :

Khoảng cách từ I xuống mặt phẳng (2) bằng R = v29, nên ta có phương trình

—8 - - 33 - 3B - l6 + 4B — 30

|-8- B B + 4P - 30| _ J29 V8 +B)? + (11 +B)? + 8 - 28)?

Nhận xét :

1) Ta đã sử dụng phương pháp "chùm mặt phẳng" để giải bài toán Tuy nhiên lưu ý rằng với bài toán có sử dụng "chùm mặt phẳng" có hai tham số a, B

(tức là gặp một phương trình mà có hai ẩn số)

Trong thí dụ trên để tránh phức tạp ta đã quy về một ẩn B (muốn vậy cần chứng

minh œ #0 Khi œ # 0 có thể cho œ = 1)

Ta thu lại kết quả trên !

Bình luận : Chúng tôi đã trình bày hai cách để xử lí với việc sử dụng phương

pháp "chùm mặt phẳng" để giải toán :

~ Hoặc là để nguyên cả hai tham số œ, B

— Hoặc là quy về một tham số hoặc œ, hoặc B (tuy nhiên trước đó phải khảo sát

kĩ xem œ hoặc B có thể bang O hay không ? Nếu tuy tién bỏ có thể phạm sai lầm

như trong thí dụ sau)

Thí dụ minh hoa : Xét bài toán sau :

Cho mat cdu (7) : (x +1)” + (y — 3)” + (z + 2)” = 29 và đường thẳng

8-HHKG-A ~ , 113

i Ôn ca 10-0 2x— 3y +4z-—10= 0

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tiếp xúc với (Z)

1) Đấy là cách giải chung dùng cả hai tham số ơ, B

2) Nếu giải bằng cách chỉ dùng một tham số :`

— Nếu tuỳ tiện coi œ # 0 — ao = 1 Khi đó ta có chùm

29+ 298) _ _ Joo

vJ29B2 + 52B + 29

©> 29(1 +)” =29B” + 52B +29

<=> =0

Vậy có tiếp diện (P) : 3x — 4y + 2z — I0=01

Ta mất đi một nghiệm (Do đã tự ý coi œ # 0)

Muốn làm theo kiểu này phải làm đúng như sau :

s Nếu œ =0, thì B z 0 do đó ta có (P¡) : 2x — 3y + 4z — 10 =0

Vay (P,) tiép xtic voi (7) = (P,) 1a mot tiép dién phai tim

Nếu œ # 0 — a = 1 Bay gid 1am nhu trén va thu thêm tiếp điện thứ hai

ŒP¿): 3x — 4y + 2z — 10=0 Như thế có hai tiếp diện (P\), (P¿) cần tìm Ta thu lại kết quả trên

— Tương tự nếu coi tuỳ tiện z 0, ta cũng thu được có một tiếp diện

| 2x —3y —4z—-10=0

(va mat nghiém 3x — 4y + 2z- 10 =0)

Ta cũng phải làm như trên :

® Xét khi j3 = 0 thu được tiếp điện 3x — 4y + 2z ~ 10 = 0

® Xét khi B z 0 (lúc đó B = 1) thu được tiếp điện 2x — 3y —- 4z — 10 =0 Bình luận chung

Qua thí dụ trên, chúng tôi đã để xuất phương pháp sử dụng "chùm mặt _ phăng”" (cũng như "chùm đường thẳng", "chùm đường tròn", ) Nói chủng có hai cách xử lí

- Giải một bài toán có hai tham số œ, B (Cách này có phức tạp đôi chút về mặt tính toán nhưng không phải xét các trường hợp riêng)

ˆ= Giải một bài toán có một tham số (hoặc œ, hoặc B) Tuy nhiên nếu sử

dụng cách này thì phải xét hai khả năng :

115

°® Nếu ơ =0 : Xem có trường hợp này xảy ra hay không ?

° Nếu œ # 0 (khi đó cho œ = 1), lúc đó bài toán sẽ quy về một tham số ÿ (tương tự nếu muốn xét j = 0 và B z 0)

Thí dụ 5 Cho điểm ï (1 ; 2 ; —2), đường thẳng d:

2 Lập phương trình mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với (Z)

3 Chứng minh rằng d tiếp xúc với (7)

Giải

1 Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến Ta có 2tr = 87t = r = 4

Khoảng cách từ I tới (P) là h, với

Rõ ràng a # 0, nén co thé viét lại chùm mặt phẳng dưới dạng

2x y— 5 + m(y —z + 3) =0, hay 2x + (m- 1)y - mz + 3m - 5 =0

Như vậy d tiếp xúc với (Z) tại điểm (5/3 ; —5/3 ; 4/3)

(Cách giải này cho phép ta tìm được tiếp điểm của đường thẳng với mặt cầu) Loại 3 Các bài toán về vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng với hình cầu

Thí dụ 1 Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d

x+z-1=0 d:

hình cầu (S) cũng bằng 4 Do giao tuyến

(#2 là đường tròn lớn nên tâm I của hình

cầu nằm trên (P) Mặt khác I e d, vậy toạ độ

(x ; y ; Z) của tâm I là nghiệm của hệ