Bài giảng toán a2 chương 4 ths huỳnh văn kha

Nội dung1 Chéo hóa ma trận Đa thức đặc trưng Trị riêng, vector riêng Chéo hóa ma trận 2 Dạng toàn phương Dạng toàn phương Dạng chính tắc của dạng toàn phương Đưa dạng toàn phương về dạng

Chương 4 TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG &

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Huỳnh Văn Kha

Đại Học Tôn Đức Thắng

Toán A2 - MS: 501002

Nội dung

1 Chéo hóa ma trận

Đa thức đặc trưng

Trị riêng, vector riêng

Chéo hóa ma trận

2 Dạng toàn phương

Dạng toàn phương

Dạng chính tắc của dạng toàn phương

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Đa thức đặc trưng

Ví dụ:





3 1 −1

2 2 −1





Tìm đa thức đặc trưng của A

cùng đa thức đặc trưng

Trị riêng, vector riêng

vector riêng ứng với trị riêng λ

thức đặc trưng pA(x )

Ví dụ: Tìm các trị riêng của ma trận A trong ví dụ trên

Không gian con riêng

gian vector con của Rn Ký hiệu: E (λ)

con riêng ứng với trị riêng λ

Ví dụ:

của A trong ví dụ trên

của B =





2 −1 −1





Chéo hóa ma trận vuông

đường chéo

toàn các vector riêng của A

Thuật toán chéo hóa ma trận

1 Tìm đa thức đặc trưng, xác định các trị riêng λi

chéo hóa được

2 Tìm các cơ sở Bi cho các không gian con riêng

E (λi) tương ứng

hơn n thì không chéo hóa được

3 Đặt B = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bk, và đặt

P = P(B0 → B)

đường chéo là các trị riêng của A

Ví dụ: Các ma trận sau có chéo được không? Nếu có, hãy chéo hóa nó



2 3



3









4









Dạng toàn phương

Một dạng toàn phương trên Rn là một ánh xạ

Q (x1, x2, , xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + + 2a1nx1xn

+a22x22 + 2a23x2x3 + + annxn2

Đặt: X =









x1

x2

xn







 , và A =









· · · ·









Thì Q (x1, x2, , xn) = X>AX

Chú ý: A là ma trận đối xứng

Ví dụ: Cho dạng toàn phương

Q (x1, x2, x3) = 3x12 + 4x22 + 5x32 + 4x1x2 − 4x2x3

Xác định ma trận của dạng toàn phương Q

Dạng chính tắc dạng toàn phương

Q(X ) = [X ]>BD[X ]B Với D là ma trận chéo:

D =

















Thì Q (X ) = a1y12 + a2y22 + + anyn2, với

Đưa về dạng chính tắc

Dùng ma trận trực giao

Nếu A đối xứng thì luôn tồn tại ma trận trực giao P

Chú ý: Để tìm P thỏa yêu cầu trên, ta tiến hành chéo hóa A (như phần trên)

Sau khi có cơ sở B gồm toàn các vector riêng của

A, ta tiếp tục trực chuẩn hóa (bằng Gram-Schmidt)

để biến B thành cơ sở trực chuẩn C

Ví dụ: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc

1 Q = 3x12 + 4x22 + 5x32 + 4x1x2 − 4x2x3

Dùng phương pháp Lagrange

1 Gom các số hạng chứa x1 lại với nhau:

a11x12 + 2a12x1x2 + + 2a1nx1xn



x12 + 2a12

a11x1x2 + + 2

a1n

a11x1xn





x1 + a12

a11x2 + +

a1n

a11xn

2

−a11 a12

a11x2 + +

a1n

a11xn

2 Đặt y1 = x1 + a12

a11x2 + +

a1n

a11xn, thì

Q = a11y12 + Q1 với Q1 chỉ có n − 1 biến

Chú ý:

nào đó

x2 = y1 − y2 Thì: x1x2 = y12 − y22

Ví dụ: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc

1 + x22 + 17x32 − 4x1x2 + 12x1x3 − 16x2x3

2 Q = x1x2 − 2x1x3 + 2x1x4 − x2x4 − 4x3x4