a Vẽ hai đồ thị P và d trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.. a Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp... a Vẽ hai đồ thị P và d trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.. Tính lãi suất kỳ hạn một năm của
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
(Đề gồm có 01 trang) (Không kể thời gian phát đề)
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Câu 1 (3,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) { 5𝑥 + 7𝑦 = 13
3𝑥 − 2𝑦 = −17 b) −3𝑥2+ 4𝑥 + 4 = 0
c) 𝑥4− 𝑥2− 12 = 0
d) 1
𝑥 2 − 9=4
5
2𝑥2 có đồ thị là (P) và đường thẳng (d): 𝑦 =5
2𝑥 − 2
a) Vẽ hai đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 𝑥1 , 𝑥2 với mọi giá trị của m b) Đặt 𝑀 = 𝑥12+ 𝑥22+ 3𝑥1𝑥2 Tìm m sao cho M = 45
Câu 4 (0,5 điểm) Theo số liệu thống kê của Liên Hợp Quốc, dân số Việt Nam tính đến cuối năm 2018
là khoảng 97 triệu người Dự đoán đến cuối năm 2020, dân số Việt Nam khoảng 98,9497 triệu người Tính tốc độ gia tăng dân số của Việt Nam trong các năm 2019 và 2020, biết rằng tốc độ gia tăng dân số trong các năm 2019 và 2020 coi như bằng nhau
Câu 5 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và một điểm M nằm bên ngoài đường tròn Qua M vẽ các
tiếp tuyến MA, MB của đường tròn (A, B là các tiếp điểm)
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp
b) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O; R) Chứng minh AD // OM
c) Kẻ dây AN của đường tròn (O; R) sao cho AN // MB Đường thẳng MN cắt đường tròn (O; R) tại I Chứng minh 𝐼𝐵2 = 𝐼𝐴 𝐼𝑀
-HẾT -
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
(Đề gồm có 01 trang) (Không kể thời gian phát đề)
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Câu 1 (3,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) { 4𝑥 − 3𝑦 = 1
𝑥 − 2𝑦 = −1 b) 3𝑥2− 5𝑥 − 2 = 0
c) 2𝑥4− 𝑥2− 1 = 0
d) 1
𝑥 + 2+ 1
𝑥 + 3= 1
2𝑥2 có đồ thị là (P) và đường thẳng (d): 𝑦 = 2𝑥 − 2
a) Vẽ hai đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm 𝑥1 , 𝑥2 với mọi giá trị của m
b) Đặt 𝑀 = 2(𝑥12+ 𝑥22) − 5𝑥1𝑥2 Tìm m sao cho M = 0
Câu 4 (0,5 điểm) Ngày 10/04/2019, Anh A gửi tiết kiệm 1 tỷ đồng kỳ hạn một năm tại một ngân hàng
với hình thức lãi kép (nghĩa là số tiền lãi sau mỗi năm gửi tiết kiệm sẽ được cộng vào tiền gốc để tính lãi cho năm tiếp theo) Anh A dự định đến ngày 10/04/2021 sẽ rút toàn bộ tiền khỏi ngân hàng để lo công việc Số tiền cả gốc và lãi anh nhận được khi đó là 1,1449 tỷ đồng Tính lãi suất kỳ hạn một năm của ngân hàng, biết rằng ngân hàng không điều chỉnh lãi suất trong thời gian anh A gửi tiền
Câu 5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E,
D Hai đoạn thẳng CE và BD cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
b) Kéo dài AH cắt BC tại F Chứng minh FA là tia phân giác của góc 𝐷𝐹𝐸 ̂
c) Kéo dài EF cắt đường tròn (O) tại K (K khác E) Chứng minh DK // AF
-HẾT -
Trang 3ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
3𝑥 − 2𝑦 = −17
Hệ phương trình đã cho ⇔ { 10𝑥 + 14𝑦 = 26
21𝑥 − 14𝑦 = −119 ⇔ { 3𝑥 − 2𝑦 = −17 31𝑥 = −93
⇔ { 𝑥 = −3 𝑦 = 4
0.25
0.25 1b Giải phương trình: −𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟎
Ta có: ∆ = 𝑏2− 4𝑎𝑐 = 16 + 48 = 64 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
𝑥1 = −𝑏 + √∆
−4 + 8
2 3
𝑥2 = −𝑏 − √∆
−4 − 8
−6 = 2
0.25
0.25 1c Giải phương trình: 𝒙𝟒− 𝒙𝟐− 𝟏𝟐 = 𝟎 (1)
Đặt 𝑥2 = 𝑡 (𝑡 ≥ 0), phương trình đã cho trở thành: 𝑡2− 𝑡 − 12 = 0 (2)
Ta có ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 1 + 48 = 49 > 0
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:
𝑡1 = −𝑏 + √∆
1 + 7
2 = 4 (𝑛ℎậ𝑛)
𝑡2 = −𝑏 − √∆
1 − 7
2 = −3 (𝑙𝑜ạ𝑖)
Do đó ta có 𝑥2 = 4 ⇒ 𝑥 = ±2 Vậy nghiệm của PT (1) là 𝑥 = ±2
0.25 0.25
0.25 0.25 1d Giải phương trình: 𝟏
𝒙 𝟐 − 𝟗= 𝟒
𝟓 ĐKXĐ: 𝑥2− 9 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠ ±3
Phương trình đã cho ⇔ 5 [(𝑥 − 3) − 3] = 4 (𝑥2− 4) ⇔ 𝑥 − 4 = 𝑥2− 4
⇔ 4𝑥2− 5𝑥 − 6 = 0 ⇔ 𝑥 = 2 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = −3
4 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của PT là x = 2, x = −3
4
0.25 0.25 0.25 0.25
𝟐𝒙 − 𝟐
Vẽ hai đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
Vẽ chính xác (P)
Vẽ chính xác (d)
0.5 0.5
Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình:
Trang 4𝑦 = 1
2 𝑥
2 1
2 𝑥
2 𝑥 − 2 (1)
PT (1) ⇔ 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0 Ta có: ∆ = 9 > 0 ⇒ PT (1) có hai nghiệm:
𝑥 = 1, 𝑥 = 4 Vậy (P) và (d) cắt nhau tại các điểm (1; 1
2) và (4; 8)
0.25
0.5 0.25
m
8𝑚 = 16𝑚2+ 1 > 0, ∀𝑚 ⇒ PT có hai nghiệm phân biệt 𝑥1, 𝑥2 với mọi giá trị của m 0.5
Biến đổi 𝑀 = [(𝑥1+ 𝑥2)2− 2𝑥1𝑥2] + 3𝑥1𝑥2 = (𝑥1+ 𝑥2)2+ 𝑥1𝑥2 = (4𝑚 − 1)2− 2𝑚 = (16𝑚2− 8𝑚 + 1) − 2𝑚 = 16𝑚2− 10𝑚 + 1
Ta có: M = 45 ⇔ 16𝑚2− 10𝑚 + 1 = 45 ⇔ 16𝑚2− 10𝑚 − 44 = 0 ⇔ 𝑚 =
2 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑚 = −11
8
0.5 0.5
là khoảng 97 triệu người Dự đoán đến cuối năm 2020, dân số Việt Nam khoảng
98,9497 triệu người Tính tốc độ gia tăng dân số của Việt Nam trong các năm 2019
và 2020, biết rằng tốc độ gia tăng dân số trong các năm 2019 và 2020 coi như bằng
nhau
Gọi tốc độ gia tăng dân số của Việt Nam trong các năm 2019 và 2020 là x
(𝑥 > 0)
Vì cuối năm 2018, dân số Việt Nam là 97 triệu người nên đến cuối năm 2019,
dân số Việt Nam sẽ là: (97 + 97x) triệu người
Đến cuối năm 2020, dân số Việt Nam sẽ là: [(97 + 97x) + (97 + 97x)x] triệu
người
Vậy ta có: (97 + 97x) + (97 + 97x)x = 98,9497
Hay: 97𝑥2+ 194𝑥 − 1,9497 = 0 → 𝑥 = 0.01 = 1% (𝑛ℎậ𝑛) ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 =
−194,97
97 (𝑙𝑜ạ𝑖)
Vậy tốc độ gia tăng dân số của Việt Nam trong các năm 2019 và 2020 là 1%
0.5
tiếp tuyến MA, MB của đường tròn (A, B là các tiếp điểm) Chứng minh tứ giác
MAOB nội tiếp
- Vẽ hình chính xác
- Tứ giác MAOB có tổng hai góc đối diện (góc A và góc B) bằng 180° nên nội tiếp
0.5 0.5
Kẻ đường kính AC của (O; R) Ta có: 𝐷𝐴𝑂 ̂ =1
2𝐷𝑂𝐶 ̂ =1
0.5
Trang 5Hai góc 𝐷𝐴𝑂 ̂ và 𝐴𝑂𝑀 ̂ ở vị trí so le trong Do đó AD // OM
- Chứng minh 𝐴𝐵𝐼 ̂ = 𝐼𝑀𝐵 ̂ (1)
- Chứng minh 𝐼𝐴𝐵 ̂ = 𝐼𝐵𝑀 ̂ (2)
- Từ (1) và (2) suy ra ∆𝐴𝐵𝐼 đồng dạng với ∆𝐵𝑀𝐼 ⇒ 𝐵𝐼
𝑀𝐼= 𝐴𝐼
𝐵𝐼 ⇒ 𝐼𝐵2 = 𝐼𝐴 𝐼𝑀
0.5 0.5
Trang 6ĐÁP ÁN ĐỀ DỰ BỊ
𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏
Hệ phương trình đã cho ⇔ { 4𝑥 − 3𝑦 = 1
4𝑥 − 8𝑦 = −4 ⇔ { 5𝑦 = 5
𝑥 − 2𝑦 = −1
⇔ { 𝑥 = 1
𝑦 = 1
0.25
0.25
Ta có: ∆ = 𝑏2− 4𝑎𝑐 = 25 + 24 = 49 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
𝑥1 = −𝑏 + √∆
5 + 7
6 = 2
𝑥2 = −𝑏 − √∆
5 − 7
1
3
0.25
0.25
Đặt 𝑥2 = 𝑡 (𝑡 ≥ 0), phương trình đã cho trở thành 𝑡2 − 2𝑡 − 8 = 0 (2)
Ta có ∆′ = 𝑏′2− 𝑎𝑐 = 1 + 8 = 9 > 0
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:
𝑡1 = −𝑏
′+ √∆′
1 + 3
1 = 4 (𝑛ℎậ𝑛)
𝑡2 = −𝑏
′− √∆′
1 − 3
1 = −2 (𝑙𝑜ạ𝑖)
Do đó ta có 𝑥2 = 4 ⇒ 𝑥 = ±2 Vậy nghiệm của PT (1) là 𝑥 = ±2
0.25 0.25
0.25 0.25
𝒙 + 𝟐+ 𝟏
𝒙 + 𝟑= 𝟏
ĐKXĐ: 𝑥 ≠ −2 và 𝑥 ≠ −3
Phương trình đã cho ⇔ (𝑥 + 3) + (𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) ⇔ 2𝑥 + 5 =
𝑥2+ 5𝑥 + 6 ⇔ 𝑥2+ 3𝑥 + 1 = 0 ⇔ 𝑥 =−3+√5
2 hoặc 𝑥 =−3−√5
2 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm của PT là 𝑥 =−3+√5
2 , 𝑥 =−3−√5
2
0.25 0.25 0.25
0.25
(P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
Vẽ chính xác (P)
Vẽ chính xác (d)
0.5 0.5
Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình:
Trang 7𝑦 = 1
2 𝑥
2 1
2 𝑥
2 = 2𝑥 − 2 (1)
PT (1) ⇔ 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 Ta có: ∆′= 0 ⇒ PT (1) có nghiệm kép:
𝑥 = 2 Vậy (P) và (d) tiếp xúc nhau tại điểm (2; 2)
0.25 0.5 0.25 3a Cho phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): 𝒙𝟐− (𝒎 + 𝟏)𝒙 + 𝒎 = 𝟎 (𝟏)
𝑚2− 2𝑚 + 1 = (𝑚 − 1)2 ≥ 0, ∀𝑚 ⇒ PT có hai nghiệm 𝑥1, 𝑥2 với mọi giá trị
Biến đổi: 𝑀 = 2[(𝑥1+ 𝑥2)2− 2𝑥1𝑥2] − 5𝑥1𝑥2 = 2(𝑥1+ 𝑥2)2− 9𝑥1𝑥2 = 2(𝑚 + 1)2− 9𝑚 = 2(𝑚2+ 2𝑚 + 1) − 9𝑚 = 2𝑚2− 5𝑚 + 2
Ta có: M = 0 ⇔ 2𝑚2− 5𝑚 + 2 = 0 ⇔ 𝑚 = 2 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑚 =1
2
0.5 0.5
với hình thức lãi kép (nghĩa là số tiền lãi sau mỗi năm gửi tiết kiệm sẽ được cộng
vào tiền gốc để tính lãi cho năm tiếp theo) Anh A dự định đến ngày 10/04/2021 sẽ
rút tiền khỏi ngân hàng để lo công việc Số tiền cả gốc và lãi anh nhận được khi đó
là 1,1449 tỷ đồng Tính lãi suất ngân hàng, biết rằng ngân hàng không điều chỉnh
lãi suất trong thời gian anh A gửi tiền
Gọi lãi suất ngân hàng là x (x > 0)
0.5
Hai đoạn thẳng CE và BD cắt nhau tại H Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
- Vẽ hình chính xác
- Tứ giác ADHE có tổng hai góc đối diện (góc D và góc E) bằng 180° nên là tứ giác
nội tiếp
0.5 0.5
5b Kéo dài AH cắt BC tại F Chứng minh FA là tia phân giác của góc 𝑫𝑭𝑬 ̂
- Chứng minh 𝐴𝐹𝐷 ̂ = 𝐷𝐶𝐸 ̂ (1)
- Chứng minh 𝐴𝐹𝐸 ̂ = 𝐷𝐵𝐸 ̂ (2)
- Chứng minh 𝐷𝐵𝐸 ̂ = 𝐷𝐶𝐸 ̂ (3)
- Từ (1), (2), (3) suy ra 𝐴𝐹𝐷 ̂ = 𝐴𝐹𝐸 ̂ ⇒ FA là tia phân giác của góc 𝐷𝐹𝐸 ̂
0.25 0.25 0.25 0.25
- Chứng minh 𝐸𝐾𝐷 ̂ = 𝐷𝐵𝐸 ̂ (1)
- 𝐷𝐵𝐸 ̂ = 𝐴𝐹𝐸 ̂ (CM trên) (2)
- Từ (1), (2) suy ra 𝐸𝐾𝐷 ̂ = 𝐴𝐹𝐸 ̂ (ở vị trí đồngvị) ⇒ AF // DK
0.5 0.5
