Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC.. Xác định vị trí của M để tam giác MDE có chu vi nhỏ nhất.. Gọi H là giao điểm của AB và OM; I là trung điểm của MH.. b Tính
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHO Å THÔNG
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC: 2014-2015
Môn Thi : TOÁN CHUYÊN
Ngày thi: 22-6- 2014
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1: (2 điểm)
a) Giải phương trình: x 2x 3 3x 4
b) Cho ba số thực x, y, z thỏa điều kiện x y z 0 ; xyz 0
Tính giá trị của biểu thức P 2 x 2 2 2 2 y 2 2 2 2 z 2 2 2
y z x z x y x y z
Câu 2: (1.5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
1 9
x y
y x
4 4y
x y
x x
Câu 3: (1.5 điểm)
Cho tam giác ABC đều và M là điểm bất kỳ trên cạnh BC Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC Xác định vị trí của M để tam giác MDE có chu vi nhỏ nhất
Câu 4: (2 điểm)
a) Cho x, y là hai số thực khác 0 Chứng minh rằng : x 2 2 y 2 2 x y y x
b) Cho a, b là hai số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a 3ab b P
ab a b
Câu 5: (2 điểm)
Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của AB và OM; I là trung điểm của MH Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm K (K khác A)
a) Chứng minh HK vuông góc AI
b) Tính số đo góc MKB
Câu 6 (1điểm)
Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình: 2015 x 2y 22014 2xy 1 25
HẾT
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1:
a) x 2x 3 3x 4
Điều kiện :x 3
2
Với điều kiện trên, phương trình trở thành:
2 2 3 2 2
x 2x 3 3x 4 2x 3x 9x 24x 16
2x 12x 24x 16 0 x 6x 12x 8 0
3
Vậy S 2
b) Cho ba số thực x, y, z thỏa điều kiện x y z 0 ; xyz 0
Tính giá trị của biểu thức P 2 x 2 2 2 2 y 2 2 2 2 z 2 2 2
y z x z x y x y z
x y z 0 y z x y z x
Chứng minh tương tự : z 2x 2y 2 2zx; x 2y 2z 2 2xy
P
y z x z x y x y z
2yz 2zx 2xy 2xyz
x 3 y 3 z 3 3xyz 3xyz 3xyz 3
(Áp dụng bài toán phụ: x y z 0 x 3y 3 z 3xyz 0 3 )
Bài 2:
2
1 9
x y
y x
4 4y
x y
x x
ĐK: x 0; y 0
1 4 9 4y 4y 5 1 0
y x x x x x y
2
x x y x
Trang 3 2
1 9
x y
y x
x 4y
x y
x 4y
y x
2
x x
x 4y x 2
x 4y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x;y 2;2 , 2; 2 , 2; 1 , 2; 1
Bài 3:
D
E
H
A
M Xác định vị trí của M để MDE có chu vi nhỏ nhất
Dễ thấy tứ giác ADME nội tiếp đường tròn đường kính AM ADE nội tiếp đường tròn đường kính AM DE AM.sinBAC (địnhlýhàmsin)
DE AM.sin60 AM.
2
Mặt khác:
DM BM.sinABC BM.sin60 BM
2 3
Trang 4Gọi H là hình chiếu của A lên BC H cố định AH không đổi
Chu viADE= MD + ME + DE = 3 BM 3 CM 3 AM
3 BM MC AM 3 BC AM 3 BC AH
Dấu “=” xảy ra M H M là hình chiếu của A lên BC
Bài 4:
a) x 2 2 y 2 2 x y
y x
x y x y 0 x y x y xy 0
y x
2 2
0(luônđúng, x 0; y 0)
x y
b) Tìm Min
a 3ab b
ab a b
2
P
2
1 a b ab 3 a b 2 a b ab 3 .2 ab
3 5 4
2 2
Dấu “=” xảy ra 1a b2 ab
a b 4
a b
Vậy Min P 5 a b
2
* Cách làm khác:
2
P
a b
ab a b ab a b ab
3 a b 1 a b . ab 3 .2 2. 1 5
Bài 5:
Trang 5I H
B
a) Chứng minh HK AI
Dễ thấy OM là trung trực của AB OM AB tại H
Áp dụng phương tích của điểm I với (O) ta được: IK.IA IO 2R R: bánkính(O) 2
IH IO OH IO 2IO.OH OH
IO OH 2.IO OH IO OH 2IH 2OH OH
IO OH.OM IO R
Nên: IH 2 IK.IA IH IA
IK IH
; I chung IHA IKH(c.g.c)
0
IKH IHA 90 HK AItạiK.
a) Tính MKB
Ta có: IM 2 IH 2 IK.IA ; I chung IMK IAM(c.g.c)
IMK IAM HBK
Bài 6: 2015 x 2y 22014 2xy 1 25 (1)
Nếu x y 0 x y thì pt(1)2x 2039 (2) Tacó: 2x 2; 2039 2 2 pt(2)vô nghiệm
Nếu x y 2thì VT(1) 2014.2 x y 2014.2 4028 2039 VP(1)
2 (1) 2 2
Dođó x y 1 x y 25
2
x y 1
x y 1
x y 1
x y 25
x y 1
x y 1
Vậy cặp nghiệm nguyên của phương trình là: x;y 3;4 , 4;3 , 3; 4 , 4; 3
