b Gọi I là giao điểm của AN và BM, K là giao điểm của AM và BN.. Chứng minh bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn.. Tính bán kính của đường tròn đó theo R.. c Tìm giá tri lớn
Trang 1UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ DỰ BỊ
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0điểm).
a) Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a ab 6b0
Tính giá trị của biểu thức: A a b
a ab b
b) Cho xy0 và x y 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3
1
P
x y xy
Câu 2 (2,5 điểm).
a) Giải phương trình 2 2
x x x x
b) Giải hệ phương trình
3
xy x y
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 1 a b c, , 2 và a b c 0
Chứng minh:abbcca 3
b) Tìm tất cả các cặp hai số nguyên x y; thỏa mãn: 4 3 2
1
x x y
Câu 4.(3,5 điểm) Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R (R là độ dài cho
trước) lấy hai điểm M N (M N khác A và B) sao cho M thuộc cung AN và tổng các
khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng R 3
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R
b) Gọi I là giao điểm của AN và BM, K là giao điểm của AM và BN Chứng
minh bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn Tính bán kính của
đường tròn đó theo R
c) Tìm giá tri lớn nhất của diện tich tam giác KAB theo R khi M, N thay đổi trên
nửa đường tròn (O) nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán
-HẾT -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1: Giám thị 2:
Trang 2UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ DỰ BỊ
HƯỚNG DẪN
CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin)
( Bản Hướng dẫn chấm thi gồm có 04 trang )
Câu 1
a ab 6b 0 a 3 ab 2 ab 6b 0 0.25
a a 3 b 2 b a 3 b 0 a 2 b a 3 b 0
Vì a, b dương nên a 2 b 0 a 3 b a 9b 0.25
a)
1,0
Điểm
Thay a 9bvào P ta được P 10
13
Ta có x + y = 1 suy ra x3 + y3 + xy = (x+y)(x2 + y2 –xy) + xy = x2 +
2
3 3
2
x y xy x
0.25
Đẳng thức xảy ra 1 Vậy nhỏ nhất bằng
2
x y
2 1
2
x y
b)
1,0
điểm
Suy ra 3 13 lớn nhất bằng 2
P
x y xy
1 2
x y
Câu 2
Đặt y = 2 Phương trình trở thành y(y-5) = 24
2 3
x x
2
5 24 0
y y
8
y y
0.5
a)
1,25
điểm
0; 2
1 2 3
x x
x
Trang 3, ĐK : (*)
4
uv
1 1
u v
2 2 2 2 2 2
4
uv
4 8
uv
u v
4 4
uv
u v
2 ( TM(*)Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là:
2
u v
u v
;
0.25
Câu 3
Từ giả thiết a, b, c 1; 2 ta có a 1 0;a 2 0 0.25
(a 1)(a 2) 0 a a 2 0
a b c a b c a b c a b c 0.25
a)
1,0
điểm
2 2 2
2
a b c ab bc ca ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca
+) Nếu x 0 thay vào phương trình ta được y 1
+) Nếu 2 vô nghiệm
x y
x y y
0.25
+) Nếu x 2 ta có
4y 4x 4x 4 2x x 1 2y 2x x 1
(do )
2 2 2 4 3 2 4 3
2y 2x x 4x 4x x 4x 4x 4 x 2
3
y
0.25
+) Nếu x 2, đặt t x 2 Khi đó ta có 2 4 3
1
y t t
4y 4t 4t 4 2t t 1 2y 2t t 1
(do )
2 2 2 4 3 4 3 2
2y 2t t 4t 4t 4 4t 4t t t 2
5
y
0.25
b)
1,0
điểm
Kết luận ( ; )x y (0;1); (0; 1); (1;1); (1; 1); (2;3); (2; 3); ( 2;5); ( 2 ; 5 ) 0.25
Câu 4
Trang 4H O'
I
B'
A'
N
B M
Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên đường
thẳng MN Gọi H là trung điểm đoạn thẳng MN thì OH MN 0.5
a)
1,0
điểm Xét hình thang AA’B’B có OH là đường trung bình nên
' '
R
OH AABB
2
2
R R
MH OM OH R MN MH R
0.5
Suy ra bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn đường
Vì MN = R nên tam giác OMN đều
2
KAN MAN MON AKN
Gọi O’ là trung điểm của IK thì O’ là tâm của đường tròn đi qua
bốn điểm M, N, I, K
và R’ = O’M là bán kính của đường tròn này
0.5
b)
1,25
điểm
3
R
MO N MKN AKN MN R R 0.25 Gọi P là giao điểm của IK và AB, do I là trực tâm của tam giác
KAB nên KI AB, nên KP là đường cao tam giác KAB hạ từ K
nằm trên trung trực đoạn MN, nên O, O’, H thẳng hàng
Trang 5Ta có ' ' 2 3
3 3
R R
Đẳng thức xảy ra khi P O OO' ABMN//AB KABcân tại
K KABđều (do 0)
60
2
KAB
S AB KPR KP R
Kết luận diện tích tam giác KAB lớn nhất bằng 2 khi và chỉ khi
3R
MN//AB (hay KABđều)
0.5
Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương