Giáo án chương 1: Dao động điều hòa13149

Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều có li độ bằng A/2 nhưng vật thứ nhất đi theo chiều dương trục tọa độ, vật thứ hai đi theo chiều âm trục tọa độ..  n m n min t min .T  s Câu 10: Hai

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Câu 1. Hai điểm sáng 1 và 2 cùng dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình dao động là : x1

= A1 cos(ω1t + φ) cm, x2 = A2 cos( ω2t + φ) cm ( với A1 < A2 , ω1< ω2 và 0< < /2) Tại thời điểm ban đầu t = 0 khoảng cách giữa hai điểm sáng là a 3 Tại thời điểm t = Δt hai điểm sáng cách nhau

là 2a, đồng thời chúng vuông pha Đến thời điểm t = 2Δt thì điểm sáng 1 trở lại vị trí đầu tiên và khi

đó hai điểm sáng cách nhau 3 3 Tỉ số ω1/ω2bằng:

Giả sử ban đầu, A1(véctơ màu đỏ) và A2(véctơ màu xanh) (t = 0) biểu diễn như hình vẽ Chọn a = 1 (cm) cho đơn giản Ta có: x1 = A2cos - A1cos

= (A2 – A1)cos = a 3= 3(cm) (1)

Do sau t = 2t điểm sáng 1 quay về vị trí ban đầu lần 1 nên (tại

t = 2t và tại t = 0) hai thời điểm đối xứng nhau qua trục Ox

Suy ra tại t = t, điểm sáng 1 ở vị trí biên âm và do 2 chất

điểm vuông pha nên điểm sáng 2 ở vị trí cân bằng Suy ra: x2 = A1 =

2a = 2 (cm) (2)

Tại t = 2t thì điểm sáng 2 có (t = 2t và t = 0) hai thời điểm

đối xứng nhau qua trục Oy (hình vẽ)

Suy ra: x3 = A2cos + A1cos = (A2 + A1)cos = 3a 3 = 3

(cm) (3)

3

Từ (1), (2) và (3)  12 Từ đó suy ra: t =

0









t = 1 2 2 1

2,5



 C2 : Vì sau thời gian 2t chất điểm 1 về lại vị trí ban

đầu nên xảy ra 2 trường hợp sau:

TH 1: Sau thời gian 2t Vector quay A 1 về vị trí

ban đầu.

Khi đó tại thời điểm t A1 quay được nửa vòng mà ở thời điểm t A2 vuông góc với A1 nên nó quay được ¼ vòng Vậy ko có đáp án hoặc tính toán góc phi để loại

TH 2: Sau thời gian 2t Vector quay A 1 đến vị trí đối xứng với vị trí ban đầu qua trục ox.

Khi đó ta có giản đồ vector quay như sau:

Từ giản đồ ta có:

từ trên giải được

Do đó sau thời gian t quay được góc

1500 còn quay được góc 600

vậy

Δt

Δt

2Δt

2Δt

t = 0

t = 0

α

A 2 A 1 A 1 A 2

x

60 0

A 2 (t 2 )

A 2 (t 1 )

A 1 (t 2 )

A 1 (t 1 )

1

6 3

6 A 2 A 1 = 12

x1; x2 (cm)

Câu 2: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ bằng trung bình cộng của hai biên độ thành phần; có góc lệch pha so với dao động thành phần thứ nhất là

900 Góc lệch pha của hai dao động thành phần đó là

Ta có: A1 + A2 = 2A, dựa vào giản đồ:

A

2

Từ đó  A2 = 5A/4  cos = A/A2   = 36,90  độ lệch

pha của 2 dao động là: 900 + 36,90 = 126,90

Câu 3: Hai vật dao động điều hòa có cùng tần số góc là(rad s/ ) Tổng biên độ dao động của hai vật là 10 cm Trong quá trình dao động vật một có biên độ A1 qua vị trí x1 ( cm ) với vận tốc v1 ( cm/s ), vật hai có biên độ A2 qua vị trí x2 ( cm ) với vận tốc v2 ( cm/s ) Biết 2

1 2 2 1 9( / )

x v x v  cm s

Giá trị của có thể là:

A 0,1 rad/s B 0,4 rad/s C 0,2 rad/s D 0,3 rad/s

9

x A x x A x

x A x x A x  [x ( A x ) ].[x ( A x ) ]

(A A )

4



0,36

4

Câu 4: Một vật thực hiện một dao động điêu hòa x = Acos(2πt + φ) là kết quả tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình dao động x1 = 12cos(2πt + φ1) cm và x2 = A2cos(2πt +

φ2) cm Khi x1 = - 6 cm thì x = - 5 cm; khi x2 = 0 thìx6 3 cm Giá trị của A có thể là :

Ta có: x = x1 + x2

Tại thời điểm t1: x2 = x – x1 = 1 (cm) và x1 = A1/2

Trên vòng tròn có 2 vị trí có li độ x1 = -6, chọn 1 vị trí cố định

Tại thời điểm t2 : x1 = x – x2 = 6 3 (cm) = A 1 3

2

Trên vòng vòng có 2 vị trí có li độ x1 = 6 3 (chọn 1 vị trí để

giải, nếu có đáp án thì chọn, không có giải trường hợp còn lại là

đúng)

Cung màu đỏ biểu diễn véctơ quay của A1 từ t1 đến t2 là 1500

Từ đó suy ra véctơ quay của A2cũng quay 1500từ t1 đến t2như hình vẽ

α

A

A 2

A 1

Dễ dàng suy ra A2 = 2 (cm), tại thời điểm t1, A1 và A2 lệch nhau 600 (độ lệch pha không đổi theo thời gian)

Suy ra : A A12A22 2A A cos601 2 0  172 13,11 (cm)

Câu 5: Khi đưa một vật lên một hành tinh, vật ấy chỉ chịu một lực hấp dẫn bằng 0,25 lực hấp dẫn

mà nó chịu trên trái đất Giả sử một đồng hồ quả lắc chạy rất chính xác trên bề mặt Trái đất được đưa lên hành tinh đó Khi kim phút của đồng hồ này quay được một vòng thì thời gian trong thực tế là:

Giải: Do P’ = 0,25P nên g’ = 0,25g

Trên bề mặt rái đất: T = 2π ; Trên hành tinh: T’ = 2π = 2π = 2T

g

l

'

g

l

g

l

25 0

Do đó khi T’ = 1h thì T = 0,5h Đáp án A

Câu 6 : Một ô tô nặng 1000 kg chở 4 người, mỗi người nặng 60 kg đi qua con đường đất gồ ghề, với những nếp gấp (chỗ gồ ghề) cách đều nhau 4,5m Ô tô nảy lên với biên độ cực đại khi tốc độ của nó

là 16,2 km/h Bây giờ ô tô dừng lại và 4 người ra khỏi xe Lấy g = 10m/s2, 2 = 10 Thân xe sẽ nâng cao trên hệ treo của nó một đoạn là

Giải: vận tốc v = 16,2 km/h = 4,5 m/ s

Ô tô nảy lên với biên độ cực đại khi chu kỳ dao động của lò xo T = = = 1 s

v

l

5 , 4

5 , 4

T = 2π  Độ cứng của lò xo k = = = 49,6.103 N/m

k

m

2

2 4

T m



1

1240 40

Khi 4 người xuống xe thân xe sẽ nâng cao trên hệ treo một đoạn

l = = = 0,048m = 4,8 cm Đáp án A

k

g

m.



3 10 6 , 49

10 240

Câu 7: Hai vật dao động điều hòa có cùng tần số góc là(rad s/ ) Tổng biên độ dao động của hai vật là 10 cm Trong quá trình dao động vật một có biên độ A1 qua vị trí x1 ( cm ) với vận tốc v1 ( cm/s ), vật hai có biên độ A2 qua vị trí x2 ( cm ) với vận tốc v2 ( cm/s ) Biết 2

1 2 2 1 9( / )

x v x v  cm s

Giá trị của có thể là:

A 0,1 rad/s B 0,4 rad/s C 0,2 rad/s D 0,3 rad/s

9

x A x x A x

x A x x A x  [x ( A x ) ].[x ( A x ) ]

(A A )

4



0,36

4

Câu 8:Một vật dao động điều hòa với phương trình x =Acos( t + ) Lấy   2 Vị trí mà

10

 

vận tốc tức thời bằng vận tốc trung bình của vật trong một chu kì có tọa độ là :

5

A

3

A

2

A

5

A

x 

Giải : x =Acos( t + ) => v = - ω A sin (ωt + φ) 

Trong 1 chu kỳ thì vtb = 4A/T= 2Aω /π

Thay v = vtb vào phương trình độc lập với thời gian => x2 = A2 – v2/ ω2 = 3A2/5 => x = 3

5

A

x 

=> D và A

Câu 9: Hai vật dao động điều hòa theo hai trục tọa độ song song cùng chiều Phương trình dao động của hai vật tương ứng là x1 = Acos(3πt + φ1) và x2 = Acos(4πt + φ2) Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều có li độ bằng A/2 nhưng vật thứ nhất đi theo chiều dương trục tọa độ, vật thứ hai đi theo chiều âm trục tọa độ Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:

Giải: nT mT n.  m.  n m n min t min T  s

Câu 10: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox Biên độ của M là 6 cm, của N là 8

cm Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm Mốc thế năng tại vị trí cân bằng Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M

và động năng của N là

3

3 4

9 16

16 9

Giải:

d x x  A cos( t   ) d  A A A Suy ra x1 x2 vuông pha

Khi tại M có động năng bằng thế năng : 2

1 1

2 2



2 2 M

A 2

Do đó: đM 2M

2

W  A 16

Câu 11: Cho 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 =

A1cos(ωt + φ1); x2 = A2cos(ωt + φ2) và x3 = A3cos(ωt + φ3) Biết A1 = 1,5A3; φ3 – φ1 = π Gọi x12 =

x1 + x2 là dao động tổng hợp của dao động thứ nhất và dao động thứ hai; x23 = x2 + x3 là dao động tổng hợp của dao động thứ hai và dao động thứ ba Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của

li độ hai dao động tổng hợp trên là như hình vẽ Giá trị của A2 là:

A A2 ≈ 3,17 cm B A2 ≈ 6,15 cm C A2 ≈ 4,87 cm D A2 ≈ 8,25 cm

Theo đồ thị có x23=4cos(t+/2) cm=x2+x3 vì x12 sau cực đại âm sau x23 T/6 nên nó chậm pha hơn

/3

A12

A23

600

Cách 1: A1 = 1,5A3; φ3 – φ1 = π  x1=-1,5x3

1,5x23=6cos(t+/2)=1,5x2+1,5x3

x12=8cos(t+/6) cm=

6cos(t+/2)+ 8cos(t+/6)= 1,5x2+1,5x3 +x2+x1=1,5x2+x2=2,5x2=237cos(t+55,3/180)cm

A2=4,866

Cách 2: x12- x23=x1-x3=8cos(t+/6) - 4cos(t+/2) = 4 cos(t)3

vì A1 = 1,5A3; φ3 – φ1 = π nên φ1=0 (đồng pha với φ1-3)

2 3 2

3 2 3 2 3

1 3 1 2

3

2

1

2

3

1 A A 2A A cos 3.16 1,5 A A 2.1,5A

A3=8 3/5A2  A32 A232  64.3/25164,866cm

Câu 12: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với nhau và song song với trục Ox có phương trình lần lượt làx1 A1cos(  t 1) và x2 A2cos(  t 2) Gỉa sử

và Biết biên độ dao động của gấp 2 lần biên độ dao động của Độ lệch

1 2

pha cực đại giữa và gần với giá trị nào nhất sau đây:x1 x2

Giải: Đặt  = 2 - 1 Gọi biên độ của y là A; khi đó biên độ của x là 2A

Vẽ giãn đồ véc tơ biễu diễn x1, x2, x và y

Ta có: 4A2 = A1 + A2 + 2A1A2cos (1)

A2 = A1 + A2 - 2A1A2cos (2)

Lấy (1) + (2): 5A2 =2( A1 + A2 ) (*)

(1) - (2): 3A2 = 4A1A2cos (**)

Từ (*) và (**) cos = = 0,3( X + ) với X = >0

10

3

2 1

2 2 2 1

A A

A

A 

X

1

2

1

A A

Độ lệch pha giữa x1 và x2  có giá trị cực đại khi cos có giá trị cực tiểu

cos = 0,3( X + ) có giá trị cực tiểu khi X = 1 tức khi A1 = A2

X

1

- cosmax = 0,6 -  max = 53,13 0 Chọn đáp án B

Câu 13: Cho hai chất điểm dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số, có phương trình dao động tương ứng là : x1 A cos( t+1  1 ); x2 A cos( t+2  2 ). Biết rằng 2 2 Khi chất điểm thứ

4x 9x  25. nhất có li độ x1  2cm, vận tốc bằng 9 m/s thì vận tốc của chất điểm thứ hai có độ lớn bằng:

Giải:

lấy đạo hàm

1 1

2

Câu 14: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với

trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động Vị trí cân bằng của hai

=

0,6

X1 X

-X2

y

X2

vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là 1 4 4  và Tính từ t = 0, hai vật

3 cos

12 cos

cách nhau 2 cm lần thứ 2013 tại thời điểm:

Giải:

Bấm máy tính để xác định ptdd khoảng cách:

2 1

6



0

x 2cm

x A cos 2 3 Khi t 0

laàn 2013

v 0

 







Trong một chu kỳ thì vật có k/c d=2cm 4 lần(hiển thị trên hình) Kết quả:

2013 1 2012 1 T

4

Câu 15: Một chất điểm dao động điều hoà không ma sát dọc theo trục Ox Biết rằng trong quá trình khảo sát chất điểm chưa đổi chiều chuyển động Khi vừa rời khỏi vị trí cân bằng một đoạn s thì động năng của chất điểm là 13,95 mJ Đi tiếp một đoạn s nữa thì động năng của chất điểm chỉ còn 12,60 mJ Nếu chất điểm đi thêm một đoạn s nữa thì động năng của nó khi đó là:

A 11,25 mJ B 8,95 mJ C 10,35 mJ D 6,68 mJ

Giải: Theo định luật bảo toàn cơ năng: 2

Từ đó suy ra: đ1 đ2  đ1   

2

2

2

đ

đ3 đ1 2 2 đ1 2  

Thay (1) vào (2) được đ3 đ1  đ1 đ2  

2

3

Câu 16: Dụng cụ đo khối lượng trong một con tàu vũ trụ có cấu tạo gồm một chiếc ghế có khối lượng m được gắn vào đầu của một chiếc lò xo có độ cứng k = 480 N/m Để đo khối lượng của nhà

du hành thì nhà du hành phải ngồi vào ghế rồi cho chiếc ghế dao động Người ta đo được chu kì dao động của ghế khi không có người là T0 = 1 s còn khi có nhà du hành là T = 2,5 s Khối lượng nhà du hành là

Giải:

- Nhận xét: Chiếc ghế có cấu tạo giống như một con lắc lò xo treo thẳng đứng, ghế ở phía trên, lò

xo ở phía dưới Gọi khối lượng của ghế là m (kg), của người là m0 (kg)

- Khi chưa có người ngồi vào ghế: T0 2 m 1

k



  (1)

- Khi có người ngồi vào ghế: 0

T

k

- Từ (1) và (2), ta có:

2 0

0

m m

m

k m

k









Câu 17: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là

vị trí cần bằng của cả hai chất điểm) Biết phương trình dao động của hai chất điểm là: x = 2cos(5πt +π/2)cm và y =4cos(5πt – π/6)cm Khi chất điểm thứ nhất có li độ x = 3cm và đang đi theo chiều

âm thì khoảng cách giữa hai chất điểm là

Giải : Chọn D

t = 0: x = 0, vx< 0 chất điểm qua VTCB theo chiều âm

y =2 3, vy >0, chất điểm y đi từ 2 3ra biên

* Khi chất điểm x đi từ VTCB đến vị trí x  3hết thời

gian T/6

* Trong thời gian T/6 đó, chất điểm y đi từ y 2 3ra

biên dương rồi về lại đúng y 2 3

* Vị trí của 2 vật như hình vẽ

Khoảng cách giữa 2 vật là    2 2

d   cm

Câu 18: Hai điểm sáng M và N dao động điều hòa trên

trục Ox (gốc O là vị trí cân bằng của chúng) với phương trình lần lượt là x1=5 3cos(4 t+ /2)cm; π

x2 =10cos(4 t + π 2π /3) cm Khoảng cách cực đại giữa hai điểm sáng là

A 5 13 cm B 8,5cm C 5cm D 15,7cm

Giải : Chọn C

1 2





Câu 19: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai trục tọa độ song song cùng chiều Phương trình dao động của hai vật tương ứng là x1 = Acos(3πt + 1) và x2 = Acos(4πt + 2) Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều có li độ bằng A/2 nhưng vật thứ nhất đi theo chiều dương trục tọa độ, vật thứ hai đi theo chiều âm trục tọa độ Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:

A 4s B 3s C 2s D 1s

Giải: Chu kì dao động của 2 vật: T1 =

1

2





= 3

2 = 3

2 (s); T2 =

2

2





= 4

2 = 2

1 (s) Khoảng thời gian để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:

t = n1T1 = n2T2 với n1; n2 nguyên dương =>

3

2

n1 = 2

1

n2 => n1 = 3n; n2 = 4n

Do đó t = 3nT1 = 4nT2 = 2n (s) n = 0 ứng với t = 0

Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là t = 2 (s) (n = 1)

Đáp án C

Câu 20 : Một chất điểm đang dao động điều hoà trên một đường thẳng mà trên đó có 7 điểm

M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7 xung quanhvị trí cân bằng O trùng M4 Cho biết trong quá trình dao

động cứ 0,05s thì chất điểm lại đi qua các điểm M1,M2,M3, O(M4), M5,M6,M7 và tốc độ của nó lúc

đi qua các điểm M2 là 20π cm/s Biên độ A bằng?

Cách : Dùng vòng tròn lượng giác :

Theo đề suy ra góc quay ứng 0,05s là 300 hay /6

Mà chu kỳ T ứng 2 Hay T= 0,05 2/ /6 =0,6s

0, 6 6 Rad s

T

Biên độ:

2 2

2

3 (20 ) 36

3

12

A x

A

A cm



 

Câu 21: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa

 1

1  10 cos t











2

cos

2 2



 t A

x , phương trình dao động tổng hợp của vật là Để vật dao động với biên độ bằng một nửa giá trị cực đại của biên độ thì A2 bằng

3

x A  t

bao nhiêu?

A 10 3 cm B 20cm C 20 / 3 cm D 10/ 3 cm

Giải 1:

Mà ta có

6 sin

sin sin

6 sin

1 1

 









=>Amax = 20

3 cos

1 

A

Để A = Amax/2 = 10 thi

3 10 6

sin

2 1

A

Giải 2: Ta có:

 

Phương trình trên luôn có nghiệm nên:

 

Khi A=10(cm) từ (*) suy ra: A 2  10 3 cm 

Giải 3:

* Định lý hàm số sin trong tam giác OA A1

 10 .sin

sin

6

A    Amax = 20cm khi α = 900

1

A

2

A

A

3 /



∆

1

A



A



2

A



10cm

/3

/6

/6 φ

α

O

II

IV

x

A

A/2

M4

-A

A 3

2

30

A 3

2

* Khi A=Amax/2 =10 cm  Dùng định lý hàm số cos trong OA A1  A 10 3 cm

Câu 22: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A.cos(ωt) Tỉ số giữa tốc độ trung bình và vận tốc trung bình khi vật đi được sau thời gian 3T/4 đầu tiên kể từ lúc bắt đầu dao động là:

A 1/3 B 3 C 2 D 1/2

Giải:

Vận tốc trung bình: 2 1 , là độ dời Vận tốc trung bình trong một chu kỳ luôn

tb

2 1

v =



 Δx = x2x1 bằng không

Tốc độ trung bình luôn khác 0: tb trong đó S là quãng đường vật đi được từ t1đến t2

2 1

S

v =

t  t

Tốc độ trung bình:vtoc do =S= 3A = 4A (1); chu kỳ đầu vật đi từ x1 = + A (t1 = 0) đến x2 = 0 (t2 =

3T

4

3T 4

) (VTCB theo chiều dương)

3T

4

Vận tốc trung bình: 2 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra kết quả bằng 3

van toc tb

2 1

3T

4

Câu 23: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ: x = 4cos(8πt –2π/3) cm Thời gian vật

đi được quãng đường S = (2 + 2 2) cm kể từ lúc bắt đầu dao động là:

A 1/12 B 5/66 C 1/45 D 5/96

Giải:

Vật xuất phát từ M đến N thì đi được quãng đường S = 2 + 2 2 Thời

gian:

Câu 24: Một chất điểm dao động đh trên trục Ox.Tốc độ trung bình của chất điểm tương ứng với khoảng thời gian thế năng không vượt quá 3 lần động năng trong 1 nửa chu kì là 300√3 (cm/s)Tốc

độ cực đại của dao động là:

A.400 cm/s B.200 cm/s C.2 m/s D.4 m/s

Giải:

Thế năng không vượt quá 3 lần động năng: 2 2

w

3

3 2

t

T d d

T d T

k A x

 

Góc quay AOB=2 ,thời gian quay:

3







 

Quãng đường trong một nửa chu kì ứng chất điểm quay từ A đến B là: 3A

Tốc độ trung bình:

Suy ra vmax=2π (m/s)

ax

3

300 3 2

3

m tb

v

v

t







Câu 25: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và chu kì là T = 2s Biết khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ x1 = 1,8cm theo chiều dương đến x2 = theo chiều âm là 1/6 s Biên độ của dao động là:

Giải:

gọi pha dao động khi vật có ly độ x2 là ta có

(sd giải PT bằng máy tính)

Câu 26: Một vật dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ là A = 4cm, khi vật đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của vật là 40cm/s Tại thời điểm t1 vật có vận tốc v1 = 10 cm/s và gia tốc có giá trị âm Trước đó π/60 s vận tốc của vật có giá trị:

Giải:

pha ban đầu của vận tốc (trên trục O v) là

trước đó tức là lúc đó pha của vận tốc là

vận tốc lúc này là

Câu 27: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x 2 cos 5 t 1(cm) Trong giây đầu

6



tiên kể từ lúc vật bắt đầu dao động vật đi qua vị trí có ly độ 2cm theo chiều dương mấy lần?

Giải:

Ta có: T20, 4s



6



6



 

 