Khai thác một bài Toán Hình học lớp 712309

Nhưng học sinh nói chung, nhất là học sinh lớp 7 nói riêng thường bỏ qua bước 4, mà bước kiểm tra và nghiên cứu lời giải lại vô cùng quan trọng, đặc biệt là với học sinh khá giỏi.Nghiên

Khai thác một bài toán hình

học lớp 7

Phần I đ ặt vấn đề.

A.-lí do chọn đề tài

Theo polya, phương pháp tìm lời giải cho mỗi bài toán thường tiến hành theo các bước:

*Bước 1 phân tích bài toán

*Bước 2 Xây dựng sơ đồ giải

*Bước 3 Thực hiện chương trình giải

*Bước 4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Nhưng học sinh nói chung, nhất là học sinh lớp 7 nói riêng thường

bỏ qua bước 4, mà bước kiểm tra và nghiên cứu lời giải lại vô cùng quan trọng, đặc biệt là với học sinh khá giỏi.Nghiên cứu lời giải ở đây không chỉ để hiểu lời giải một cách sâu sắc hay phát hiện thêm cách giải mới mà còn nhằm khai thác bài toán để tìm ra những bài toán khác có liên quan

hoặc các bài toán tương tự.Năng lực này rất quan trọng trong cách dạy học tích cực hiện nay, bởi vì: Khi các em khai thác bài toán thì các em là người chủ động, sáng tạo trong các tình huống mới;việc khai thác bài toán thành công sẽ mang lại cho các em hứng thú học toán, niềm say mê trong học tập; quá trình giải các bài toán mới giúp các em hệ thống lại kiến thức, bổ sung nguồn kiến thức thức mới phong phú, rèn các kĩ năng giải toán; sau khi khai thác một bài toán thì chắc chắn bài toán đó sẽ để lại ấn tượng rất sâu sắc trong các em

Đó là suy nghĩ của tôi và cũng là thực tế khi tôi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7 Vì vậy tôi chọn viết về nội dung :”Khai thác một bài toán hình học lớp 7”

ở đây tôi chỉ chọn một bài toán hình học lớp 7, viết dưới dạng chuyên đề; trong đó hướng dẫn học sinh giải và tìm tòi, phát triển bài toán

đó, rồi tìm lời giải cho bài toán mới

B- Mục đích

* Về kiến thức: Thông qua việc hướng dẫn học sinh giải và phát triển bài toán giúp các em củng cố kiến thức cơ bản đã học ở hình học lớp

7 đồng thời cung cấp cho các em một số phương pháp mới để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui

*Về kĩ năng: Rèn các kĩ năng chứng minh :

+) Hai tam giác bằng nhau.

+) Hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau

+) Hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song

+)Một tam giác là tam giác cân, tam giác đều

+) Ba điểm thẳng hàng , ba đường thẳng đồng qui

* Về thái độ : +) Để lại trong các em ấn tượng khó phai về một bài toán điển hình lớp 7

+) Khơi dậy ở học sinh hứng thú học toán, ham muốn vươn tới những điều mới mẻ, thú vị

C- nhiệm vụ của chuyên đề

Nghiên cứu tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố trong một bài toán, từ

đó khai thác, phát triển thành bài toán mới, rồi tìm tòi lời giải cho bài toán mới nhằm đạt được mục đích đã đề ra, từ đó nâng cao hiệu quả dạy học toán Cụ thể là: +) Củng cố cho học sinh một số kiến thức cơ bản

+)Rèn luyện cho học sinh một số kĩ năng cơ bản giải toán hình học 7

+)Phát triển tư duy sáng tạo ,năng lực học toán ở học sinh

+) Bồi dưỡng tình cảm, niềm say mê học toán

D- phạm vi nghiên cứu và đối tượng

1 phạm vi nghiên cứu: Trong phạm vi kiến thức hình học lớp 7

2 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khá, giỏi lớp 7 trường THCS Lê Quí Đôn

E- Phương pháp nghiên cứu, tài liệu tham khảo

1- Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu một bài toán điển hình hình học lớp 7, từ đó thay đổi một số dữ kiện của bài toán, phát triển thành bài toán mới , tìm cách giải quyết

+)Giữ nguyên Giả thiết, tìm kết luận mới

+)Thêm điều kiện vào giả thiết, tìm kết luận mới

+) Giữ nguyên kết luận, tìm các phương án thay đổi giả thiết hoạc nới rộng điều kiện ở giả thiết

+) Đặc biệt hoá bài toán

-Nghiên cứu phương páp giảng dạy toán, phương pháp “chứng minh

toán học”, phương pháp dạy “ giải bài tập toán”

-Nghiên cứu các bài toán có liên quan đến bài toán “gốc.”

2-Tài liệu tham khảo

1) Nâng cao và phát triển toán 7 ( Vũ Hữu Bình- NXB GD)

2)Bài tập nâng cao và một số chuyên toán 7 ( Bùi Văn Tuyên _

NXB GD)

3)Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 7( Vũ Dương Thuỵ –

NXB GD)

4)Cách tìm tòi lời giải bài toán THCS tập III ( Lê HảI Châu-

Nguyễn Xuân Quì- NXB GD)

5) Đề cương bài giảng phương pháp dạy học môn toán ( Luyện Thị

Bình, Nguyễn Anh Tuấn)

6) Tạp chí giáo dục ( Số 130- kì 2- tháng 1-2006)

phần II nội dung

A- lí luận chung

Tư duy nhuần nhuyễn và sáng tạo là hai năng lực cần phải có ở mỗi học sinh giỏi nói chung và học sinh giỏi toán nói riêng.Các em không chỉ dừng lại ở việc tìm lời giải cho một bài toán mà cần biết phát triển bài toán đó, phát hiện ra bài toán quen1 dưới các hình thức ra đề khác nhau, qui lạ về quen

Việc tìm tòi, khai thác bài toán giúp học sinh rèn các năng lực hoạt động trí tuệ, sáng tạo, linh hoạt, mềm dẻo.Vì vậy việc dạy cho học sinh biết cách khai thác một bài toán như thế nào là rất quan trọng đối với học sinh khá giỏi

Muốn khai thác, phát triển được một bài toán thì trước hết học sinh cần có kĩ năng giải toán tốt Muốn vậy học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:

B- Những yêu cầu đối với học sinh

Nắm chắc một số phương pháp chứng minh :

1) Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:

+)Chứng minh hai tam giác bằng nhau

+)Cộng, trừ đoạn thẳng

+)Dùng đoạn thẳng trung gian.

+)áp dụng tính chất của tam giác cân

+)Tính chất cặp đoạn chắn

+) Phối hợp nhiều phương pháp

2) Chứng minh hai góc bằng nhau:

+)Chứng minh hai tam giác bằng nhau

+)Định lí hai đường thẳng song song

+)Dùng góc trung gian

+) Xét các cặp góc tương ứng của hai tam giác

+) Dùng tính chất của tam giác cân

+)Đ lí về cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc

+) Phối hợp nhiều phương pháp

3)Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

+) Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng đó vuông góc

+) Cộng,(trừ)góc

+) Định lí hai tia phân giác của hai góc kề bù

+) Xét các cặp góc tương ứng của hai tam giác

4)Chứng minh ba điểm thẳng hàng ( Giả sử ba điểm A,B,C)

+) Chứng minh góc ABC bằng 1800

+)Chứng minh hai đường thẳng AB và BC trùng nhau ( áp dụng tiên đề

Ơclit)

+)Lất điểm O thuộc đường thẳng AB, chứng minh điểm O trùng với điểm C

+) Phương pháp phản chứng

5) chứng minh ba đường thẳng đồng qui ( giả sử ba đường thẳng a,b,c)

+)Gọi o là giao điểm của hai đường thẳng a và b, chứnh minh điểm O thuộc đường thẳng c

+) áp dụng định lí về các đường đồng qui trong tam giác

+) Phương pháp phản chứng

C- Bài toán cụ thể

I- Bài toán “gốc”

Cho tam giác ABC ( góc A nhỏ hơn 90o), ở phía ngoài của tam giác ABC vẽ các tam giác vuông cân tạiA là ABD và ACE Chứng minh rằng: a) BE = DC.b) hai

đường thẳng DC và BE vuông góc với nhau

GV: Yêu cầu HS đọc kĩ đề bài , vẽ hình ghi GT, KL của bài toán

.GV:Để chứngminh hai đoạn thẳng bằng

nhau BE và DC ta chọn cách nào?

.Để ADC ABEcần chứng tỏ điều gì?

.GV:Để chứng minh DC BE cần chứng tỏ điều

điều gì?

.HS: Chứng minh ADC  ABE

.DAC=BAE HS xây dựng sơ đồ giải phầna):

DC=BE

ABE ADC 



A1+A3=A2 +A3

A1=A2 Đúng theo GT HS xây dựng sơ đồ giải phần b)

GT  ABC (A<900) ADB, AECcân

tại A (hình bên)

b) BE DC

.Gọi O là giao điểm của DC và BE, I làgiao

của DC và AB

.HS: Chứng minh DOB=900

.Chọn phương pháp nào để chứng minh góc

DOB bằng 900?

.HS:

.Cách 1) Xét cặp góc tương ứng của hai tam

giácADI và OBI

.Cách 2) Cộng góc

 Cách 1.DC BE DOB=900

 DOB=DAB



D1+I1= I2+B1



D1 = B1 Đúng vì ADC  ABE( cmphàn Phần a)

- Từ sơ đồ trên ta có thể trình bày lời giải như sau:

- a) Theo giả thiết ta có: A1= A2 ( cùng bằng 900)

- A1 +A3= A2 + A3 ( cộng A3 vào hai vế)

- Hay DAC= BAE <*> ( Do tia AB nằm giữa hai tia AD và AC,tia

AC nằm giữa hai tia AE và AB)

- Xét tam giác ADC và ABE có:

) ( )

)

* (

)

) ( )

dpcm BE DC c

g c ABE ADC

gt AE AC

theo BAE DAC

gt AC AD











































- b) Gọi  0 BDDC; I CDAB Xét có:

,

DAI

 BOI

2 1

1 1

90 90

, )

( )

) (

)





































BOI maDAI

BOI DAI

doidinh I

I

ABE ADC

do B D

- Vậy DC BF (đpcm).

- GV cho HS trình bày miệng cách 2, rồi cho các em so sánh tính ưu việt của hai cách

HS: Nếu giảI theo cách 2 phảI cộng trừ gócchung đỉnh, dẫn tới phảI lập luận tia nằm giữa hai tia, dài hơn

 Vấn đề đặt ra với bài toán “gốc” :

1) Nếu góc A bằng 900 thì sao?

.HS: Khi góc A bằng 900 dẫn tới 3 điểm B,A, E thẳng hàng  ABE suy biến thành đoạn thẳngBE, ADC suy biến thành đoạn thẳng DC, hiển nhiên BE DC 

và BE= DC

2) Khi góc A lớn hơn 900 thì kết luận có gì thay đổi không?

HS: Luôn chứng minh được ADC ABE(c-g-c)DC=BE và DOC= DAB= 900 3) Vậy nếu cả ba trường hợp kết luận đều đúng và cách chứng minh không có gì khác thì tại sao lại cần điều kiệngóc A nhỏ hơn 900?

.GV:+) Điều kiện góc A nhỏ hơn 900 để đơn giản bài toán, chỉ cần vẽ hình trong một trường hợp

+)Lưư ý rằng không phải bài toán nào khi thay đổi điều kiện ở ( gt) mà (kl) vẫn

đúng

4)Nếu nới rộng (gt): tam giác ABE và tam giác ADC chỉ là tam giác cân thì (kl) còn đúng không? vì sao?

.HS:+) BD =CE vẫn đúng nếu hai góc DAC và BAE ( tức là hai tam giác cân dựng

ra phía ngoài tam giác ABC phảI có góc ở đỉnh bằng nhau) v, vì như vậy luôn có tam giác DAC và BAE bằng nhau

+) BD CE không đúng nếu hai tam giác cân dựng ở phía ngoài tam giác ABC  không vuông tại A

II- một số bài toán khai thác từ bài toán “gốc”

1-Bài toán 1 Cho tam giác ABC (A< 900) , ở phía ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE , DC và BE giao nhau tại O Tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác BOC vuông cân ?

.HS đọc kĩ đề bài, vẽ hình, ghi gt, kl

gt ABC có:ADB, AEC( ở phía ngoài

) vuông cân tại A.DC

ABC

kl Điều kiện để BOC vuông cân?

 Phân tích: Tam giác BOC luôn là tam giác vuông vì DOB= DAB =900( bài

toán gốc), chỉ cần tìm điều kiện để tam giác BOC cân tại O.Chỉ cần chứng

minh OB=OC hoặc OBC =OCB

.GV: Để chứng minh

OBC= OCB, cần chứng tỏ điều gì?

.Hs: Cộng góc

.HS xây dựng sơ đồ giải:

OBCvuông cân 

OBC=OCB BOC =900(đúng theo theo bài toán “gốc”)

 ABC-ABO=ACB-ACO 

ABC= ACB  ABC cân tại A giải: Tam giác OBC cân tại O nếu tam giác ABC cân tại A Thật vậy:

-Do tam giác ABC cân tại A nên : ABC=ACB <1>

-Mà theo bài toán “gốc” ta có: ADC  ABEACD=ABE hay ACO= ABO<2>

-Trừ vế với vế của <1> và <2> ta được: ABC-ABO= ACB- ACO

Hay OBC =OCB(*)( Do ABCcó góc A

nhọntia BE nằm giữa hai tia BA và BC, tia CD nằm giữa hai tia CA và CB)

- Cũng theo bài toán “gốc”, DC BE hay BOC =90 0(**)

- Từ (*) và (**) ta có tam giác OBC vuông cân tại O (đpcm)

 Lưu ý HS: ở là đây hệ thống bài tập trong một chuyên đề cho nên ta áp dụng kết quả của bài toán trước, nhưng đây không phảI là định lí nên khi làm bài tập thì phảI chứng minh đầy đủ

 Một vấn đề đặt ra là khi nào thì tam giác OBC đều? đó là nội dung của bài toán 2

2- Bài toán 2.Cho tam giác ABC ( góc A nhọn), vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác cân tại A là ABD và ACE , O là giao điểm của DC và EB Tìm điều kiện

để tam giác OBC đều?

.HS đọc đề bài, vẽ hình, ghi gt, kl

Phân tích: Tam giác OBC đều khi nào?

.HS suy nghĩ, chọn phương pháp chứng

Minh

.GV: góc BOC phụ thuộc vào góc nào?

.HS: Phụ thuộc vào góc DAB

gt ABC(A 90o)coABD, ACE

(ở phía ngoài ABC) cân tại A, DCBE O

kl Tìm điều kiện để OBCđều

.Xây dựng sơ đồ giải:

ABCcan OBCcan OBCdeu























0 0 0

120 120 60

DAB DOB BOC

Và DAB= EAC

Giải

OBC đều nếu bổ sung thêm điều kiện: tam giác ABC cân tại A và hai tam giác



ADB, ACE có DAB= EAC=1200 Thật vậy:

- ở bài toán 1, ta đã chứng minh nếu tam giác ABC cân tại A thì tam giác OBC

sẽ cân tại O<1>

- Trong bài toán “gốc ”đã chứng minh BOD=DAB , mà DAB=1200nên BOD=1200, lại có: BOD+BOC= 1800( hai góc kề bù), suy ra BOC=1800

-1200=600<2>

- Từ <1> và <2> suy ra tam giác ABC đều

*Nhận xét: ở bài toán 1 và bài toán2, ta đã khai thác một bài toán “gốc” bằng phương pháp: thay đổi kết luận, tìm thêm điều kiện cho giả thiết

-Trong quá trình khai thác và giảI toán đã giúp học sinh nắm chắc bài toán

“gốc”và rèn kĩ năng chứng minh tam giác cân, tam giác đều

- Phương pháp để giảI hai bài toán trên gọi là phương pháp phân tích hay còn gọi

là phương pháp suy ngược lùi, nếu muốn các em có thể chứng minh theo phương pháp khác, có thể dùng phương pháp suy xuôi.Vì đối tượng HS lớp 7 các em còn yếu trong việc định hướng và lúng túng trong cách trình bày cho nên ta thường dùng phương pháp phân tích

*ĐVĐ: Nếu trường hợp đặc biệt hai tam giác dựng ở phía ngoài tam giác ABC là hai tam giác đều thì ta có kết luận mới như thế nào?

3-Bài toán 3.Cho tam giác ABC có góc A< 1200, vẽ ở phía ngoài tam giác này các tam giác đều ABD và ACE, gọi O là giao điểm của BD và CE a) Tính số đo góc BOC?b) tính số đo góc AOB?

.HS đọc đề bài, vẽ hình, ghi gt-kl và

dự đoán kết quả

HS: dự đoán BOC=1200vì BOC kề bù với

BOD, mà góc BOD bằng góc DOA

( theo bài toán gốc) , lại do tam giac

ABD đều nên góc DAB bằng 600 suy

BOD bằng 600

.HS dự đoán phần b)góc AOB bằng

1200

.Phân tích: theo phần a) AOB=600,

nếu trên tiaOD lấy điểm F: OF=OB thì

giác OFD là tamgiác gi?

Phần a) tương tự bài toán 2

Xây dựng sơ đồ chứng minh phần b) AOB=120

 AOB=DFB OFB=600

HS: tam giác đều.

GV: suy ra OFB=600, suy ra

DFB=1200 Em có nhận xét gì về

hai tam giác FDB và OAB?

HS: bằng nhau

BOF đều (đúng theo cách

xác định điểm F)







AOB DFB

ABO=DBF

 ABO+B3=DBF+B3=600

(đúng do tam giác ABD và BFO đều) GiảI

a) –Xét hai tam giác ADC và ABE có:

(c-g-c) D1=B1

ABE ADC

AECcan do

AE

AC

BAC vicungbang

BAE DAB

ADBcan do

AB

AD





































) (

)

) 60

( )

) (

)

-Gọi I là giao điểm của DC và AB, xét hai tam giác IAD và IOB có:

IAD=IOB hay DAB=DOB, mà DAB=600(gt) nên DOB=600



















) (

)

) ( )

2

1

1

1

doidinh I

I

cmt B

D

-Lại có DOB=BOC= 1800 ( hai góc kề bù), suy ra BOC=1800-600=1200

b) –Trên tia OD lấy điểm F sao cho OF=OB, mà FOB=600 (cmphần a), suy ra tam giác BFO đều, suy ra: F1=600, suy ra DFB =1200 ( vì F1, BFO kề bù).<1> -Mặt khác, do tam giác FBO đều nên FBO=600, suy ra tia BF nằm giữa hai tia BD

và BA, tia BA nằm giữa hai tia BF và BO, suy ra :

+) B2+B3=DBA=600(D0 tam giác ADB đều)

+) B1+B2=FBO=600(do tam giác FBO đều) suy ra B1= B2<2>

Xét hai tam giác DFB và AOB có:

)

1 (

120 )

( )

( )

) 2 (

)

) (

)

0 1































theo AOB

DFB c

g c AOB DFB

BFOdeu do

OB

FB

theo B

B

ADBdeu do

AB

DB

*Nhận xét:

+) Ba góc AOB, BOC, AOC có số đo bằng nhau và bằng 600 Như vậy bài toán này cho ta cách dựng điểm O nằm trong tam giác sao cho khi nối O với ba đỉnh của tam giác thì tạo thành ba góc có số đo bằng nhau

+)Bài toán 3) được xây dựng bằng phương pháp đặc biệt hoá điều kiện ở gỉa thiết,rồi tìm kết luận mới

*ĐVĐ:Nếu giữ nguyên giả thiết ở bài toán “gốc”, vẽ thêm đường cao AH của tam giác ABC sẽ có kết luận mới như thế nào? Đó là nội dung của bài toán 4

4-Bài toán 4 Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE, vẽ AH vuông góc với BC, DM vuông góc AH CMR:a) DM=AH; b) MN đi qua trung điểm của DE

.HS đọc đề bài, vẽ hình, ghi (gt), (kl)

.GV: Để chứng minh MN đI qua trung

điểm của DE ta làm thế nào?

.HS: Gọi O là giao điểm của HA và DE,

cm: OD=OE, trở về dạng toán chứng

minh hai đoạn thẳng bằng nhau

GV : Các em hãy lựa chọnh phương

chứng minh

Phần a) HS phát hiện nhanh cách giảI, nên không cần lập sơ đồ chứng minh

HS xây dựng sơ đồ chứng minh:

O là trung trung điểm của DE

 OD=OE