Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình mà không phụ thuộc vào m.. ễtụ thứ nhất chạy nhanh hơn ụtụ thứ hai 10km/h nờn
Trang 1Họ và tờn:
Lớp:
Trường THCS Vinh Quang BÀI KIỂM TRA CHƯƠNG 4 MễN : ĐẠI SỐ - thời gian 45’ Thứ ngày thỏng năm 2014 Điểm
Lời phờ .
Đề bài Bài 1(2 điểm): Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 (P) và y = - x - 2 (d) trên cùng một hệ trục toạ độ và tìm toạ độ giao điểm của chúng bằng đồ thị Bài 2(4,0 điểm) Cho phương trình x2- 2(m-1)x+ 4m – 8 = 0 (1) a Giải phương trình với m = 2, m = - 1 b Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m c Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ? d Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình mà không phụ thuộc vào m Bài 3: (3,0 điểm) Hai ụ tụ khởi hành cựng một lỳc từ A đến B ễtụ thứ nhất chạy nhanh hơn ụtụ thứ hai 10km/h nờn đó đến sớm hơn ụtụ thứ hai 30 phỳt Tớnh vận tốc của mỗi ụtụ, biết rằng đoạn đường từ A đến B dài 100km Bài 4: (1,0 điểm).HS chọn 1 trong 2 phần sau. a) Cho phương trình x2 + ax + b+1 = 0 có 2 nghiệm nguyên dương Chứng minh rằng a2 + b2 là một hợp số b) Cho 3 phương trình ax2 + 2bx + c = 0 (1), bx2 + 2cx + a= 0 (2), cx2 + 2ax + b = 0 (3) với a, b, c khác 0 Chứng minh rằng ít nhất một trong 3 phương trình trên đây phải có nghiệm Bài làm
DeThiMau.vn
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM – 1
Vẽ chớnh xỏc mỗi đồ thị hàm số được 0,75 điểm 1,5
Bài 1
(2 điểm) Trờn hệ trục toạ độ ta thấy 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm là: (-1;-1) và (-2;-4) 0,5
a) + thay đỳng m = 2 vào được x2 -2x = 0.
Giải đỳng pt tỡm được hai nhiệm là 0 và 2.
+ thay đỳng m = -1 vào được x2 +4x -12 = 0.
Giải đỳng pt tỡm được 2 nghiệm là 2 và -6.
0,25 0,75 0,25 0,75
b) tớnh đỳng ∆ = (m – 3)2≥ 0 với mọi m.
vậy pt luụn cú nghiệm với mọi m 0,75
c) theo b) thỡ pt luụn cú nghiệm với mọi m gọi x1 , x2 là 2 nghiệm, ỏp dụng hệ thức viet
ta cú
x1 + x2 = 2m – 2 và x1 x2 = 4m – 8
Để 2 nghiệm cựng dấu thỡ x1 x2 > 0 => 4m – 8> 0 m > 2
Với m > 2 thỡ x1 + x2 = 2m – 2 > 0 vậy 2 nghiệm mang dấu dương.
KL với m > 2 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm cựng dấu dương.
0,25
0,5
Bài 2
(4,0đ)
d/ theo a) thỡ phương trỡnh luụn cú nghiệm , gọi 2 nghiệm là x1 , x2 tỡm được hệ thức
2(x1+x2) - x1 x2 = 4 0,5
Bài 3
(3đ)
Gọi vận tốc của ụ tụ thứ 2 là x (x > 0, km/h )
Vận tốc ụ tụ thứ nhất là x + 10 (km/h)
Thời gian ụ tụ thứ nhất đi hết quóng đường AB là : 100 (giờ)
10
x
…… hai………: 100 (giờ)
x
Do ụ tụ thứ nhất đến B sớm hơn ụ tụ thứ 2 là 30 phỳt = giờ nờn ta cú phương trỡnh 1
2
100 100 1
10 2
x x Giải đỳng phương trỡnh tỡm được nghiệm
Kết luận
0,25 0,25 0,5
0,5
0,5
1,0
a) gọi 2 nghiệm nguyên dương là x1, x2 theo viet ta có: x1 + x2 = -a và x1 x2 = b + 1
Ta có : a2 + b2 = [-(x1 + x2 )]2 + [x1 x2 – 1]2 = ………= 2 2
( x 1)( x 1) Vậy a2 + b2 là một hợp số.
1
Bài 4
(1,0)
(GV chỉ
chấm một
trong hai
phần )
b) phương trỡnh (1) cú ∆1’ = b2 – ac.
……… (2) cú ∆2’ = c2 – ab ………(3) cú ∆3’ = a2 – bc.
=> '1 '2 '3 b2 – ac + c2 – ab + a2 – bc = 1 [2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ac – 2ab - 2bc]
2 = 1 [ a b 2 b c 2 c a ] 2 0
Suy ra ớt nhất một trong 3 biểu thức ' ' ' là khụng õm; suy ra ớt nhất một trong ba
1, 2, 3
phương trỡnh trờn cú nghiệm.
1
DeThiMau.vn
Trang 3Họ và tờn:
Lớp:
Trường THCS Vinh Quang BÀI KIỂM TRA CHƯƠNG 4 MễN : ĐẠI SỐ - thời gian 45’ Thứ ngày thỏng năm 2014 Điểm
Lời phờ .
Đề bài Bài 1(2 điểm): Vẽ đồ thị hàm số y = - 2x2 (P) và y = x - 3 (d) trên cùng một hệ trục toạ độ và tìm toạ độ giao điểm của chúng bằng đồ thị Bài 2(4,0 điểm) Cho phương trình x2- 2(m - 3)x+ 5 - 2m = 0 (1) a Giải phương trình với m = 2, m = - 1 b Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m c Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ? d Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình mà không phụ thuộc vào m Bài 3: (3,0 điểm) Hai ụ tụ khởi hành cựng một lỳc từ A đến B ễtụ thứ nhất chạy nhanh hơn ụtụ thứ hai 10km/h nờn đó đến sớm hơn ụtụ thứ hai 30 phỳt Tớnh vận tốc của mỗi ụtụ, biết rằng đoạn đường từ A đến B dài 100km Bài 4: (1 điểm).HS chọn 1 trong 2 phần sau. c) Cho phương trình x2 + ax + b+1 = 0 có 2 nghiệm nguyên dương Chứng minh rằng a2 + b2 là một hợp số d) Cho 3 phương trình ax2 + 2bx + c = 0 (1), bx2 + 2cx + a= 0 (2), cx2 + 2ax + b = 0 (3) với a, b, c khác 0 Chứng minh rằng ít nhất một trong 3 phương trình trên đây phải có nghiệm Bài làm
DeThiMau.vn
Trang 4HƯỚNG DẪN CHẤM -2
Vẽ chớnh xỏc mỗi đồ thị hàm số được 0,75 điểm 1,5
Bài 1
(2 điểm) Trờn hệ trục toạ độ ta thấy 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm là: (1;-2) và (-1,5;-4,5) 0,5
a) + thay đỳng m = 2 vào được x2 +2x +1 = 0.
Giải đỳng pt tỡm được hai nghiệm kộp là -1.
+ thay đỳng m = -1 vào được x2 + 8x + 7 = 0.
Giải đỳng pt tỡm được 2 nghiệm là -1 và -7.
0,25 0,75 0,25 0,75
b) tớnh đỳng ∆ = (m – 2)2≥ 0 với mọi m.
vậy pt luụn cú nghiệm với mọi m 0,75
c) theo b) thỡ pt luụn cú nghiệm với mọi m gọi x1 , x2 là 2 nghiệm, ỏp dụng hệ thức viet
ta cú
x1 + x2 = 2m – 6 và x1 x2 = 5 -2m
Để 2 nghiệm cựng dấu thỡ x1 x2 > 0 => 5 - 2m > 0 m < 2,5
Với m < 2,5 thỡ x1 + x2 = 2m – 6 < 0 vậy 2 nghiệm mang dấu õm.
KL với m < 2,5 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm cựng dấu õm.
0,25
0,5
Bài 2
(4,0đ)
d/ theo a) thỡ phương trỡnh luụn cú nghiệm , gọi 2 nghiệm là x1 , x2 tỡm được hệ thức
(x1+x2) + x1 x2 = -1 0,5
Bài 3
(3đ)
Gọi vận tốc của ụ tụ thứ 2 là x (x > 0, km/h )
Vận tốc ụ tụ thứ nhất là x + 10 (km/h)
Thời gian ụ tụ thứ nhất đi hết quóng đường AB là : 100 (giờ)
10
x
…… hai………: 100 (giờ)
x
Do ụ tụ thứ nhất đến B sớm hơn ụ tụ thứ 2 là 30 phỳt = giờ nờn ta cú phương trỡnh 1
2
100 100 1
10 2
x x Giải đỳng phương trỡnh tỡm được nghiệm
Kết luận
0,25 0,25 0,5
0,5
0,5
1,0
a) gọi 2 nghiệm nguyên dương là x1, x2 theo viet ta có: x1 + x2 = -a và x1 x2 = b + 1
Ta có : a2 + b2 = [-(x1 + x2 )]2 + [x1 x2 – 1]2 = ………= 2 2
( x 1)( x 1) Vậy a2 + b2 là một hợp số.
1
Bài 4
(1,0)
(GV chỉ
chấm một
trong hai
phần )
b) phương trỡnh (1) cú ∆1’ = b2 – ac.
……… (2) cú ∆2’ = c2 – ab ………(3) cú ∆3’ = a2 – bc.
=> '1 '2 '3 b2 – ac + c2 – ab + a2 – bc = 1 [2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ac – 2ab - 2bc]
2 = 1 [ a b 2 b c 2 c a ] 2 0
Suy ra ớt nhất một trong 3 biểu thức ' ' ' là khụng õm; suy ra ớt nhất một trong ba
1, 2, 3
phương trỡnh trờn cú nghiệm.
1
DeThiMau.vn