ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HẠNH HOA PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2012...
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN HẠNH HOA
PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2012
Trang 2ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN HẠNH HOA
PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.0112
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG
THÁI NGUYÊN - 2012
Trang 3Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán - Tin, Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, những người đã trang bị những kiến thức cơ bản và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo kính mến PGS TS Tạ Duy Phượng, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này Tấm gương đam mê nghiên cứu khoa học, nghiêm túc trong công việc, gần gũi trong cuộc sống của thầy đã giúp cho tôi có niềm tin, ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành luận văn của mình
Tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình và bạn bè, những người đã đồng hành, hết lòng động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn thạc sĩ này
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Hạnh Hoa
Trang 4Mục lục
1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương
1.1 Phương pháp xấp xỉ tích phân 4
1.1.1 Phương pháp của Weerakoon và Fernando (2000, [42]) 5
1.1.2 Phương pháp của Frontini và Sormani (2003, [25]) 8
1.1.3 Phương pháp của Jisheng Kou, Yitian Li, Xiuhua Wang (2006, [17]) 9 1.1.4 Phương pháp của Liang Fang, Guoping He, Zhongyong Hu (2008, [21]) 10
1.1.5 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq (2008, [36]) 10
1.1.6 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Naila Rafiq, Nusrat Yasmin (2010, [38]) 12
1.1.7 Phương pháp của H H H Homeier (2005, [13]) 14
1.1.8 Phương pháp của Rostam K Saeed và Fuad W Khthr (2010, [40]) 15 1.1.9 Phương pháp của P Wang (2011, [39]) 20
1.1.10 Phương pháp của Sanjay K Khattri, Ravi P Agarwal (2010, [44]) 20 1.1.11 Phương pháp của V Kanwar, Kapil K Sharma, Ramandeep Behl (2010, [48]) 21
1.1.12 Phương pháp của Hadi Taghvafard (2011, [14]) 23
1.2 Phương pháp hai bước, ba bước và bốn bước 25
1.2.1 Phương pháp của Potra và Pták (1984, [11]) 25
Trang 5MỤC LỤC
1.2.2 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq
(2008, [37]) 25
1.2.3 Phương pháp của Sanjay K Khattri, Ioannis K Argyros (2010, [43]) 26 1.2.4 Phương pháp của Zhongyong Hu, Liu Guocai, Li Tian (2011, [50]) 27 1.2.5 Phương pháp của Linke Hou và Xiaowu Li (2010, [23]) 27
1.3 Phương pháp tham số 28
1.3.1 Phương pháp của Mamta, V Kanwar, V K Kukreja, Sukhjit Singh (2005, [28]) 28
1.3.2 Phương pháp của Sanjay K Khattri và S Abbasbandy (2011, [45]) 29 1.3.3 Phương pháp của Yao-tang Li, Ai-quan Jiao (2009, [49]) 29
1.3.4 Phương pháp của Kou Jisheng, Li Yitian, Liu Dingyou và He Julin (2007, [19]) 33
1.4 Phương pháp khai triển Taylor 33
1.4.1 Phương pháp của Jisheng Kou (2007, [18]) 33
1.4.2 Phương pháp của M M Hosseini (2009, [27]) 35
1.4.3 Phương pháp Chebyshev 36
1.5 Phương pháp nội suy tuyến tính 37
1.5.1 Phương pháp của Manoj Kumar Singh (2009, [29]) 37
1.5.2 Phương pháp của Muhammad Rafiullah, Muhammad Haleem (2010, [32]) 38
1.5.3 Phương pháp của Manoj Kumar Singh và S R Singh (2011, [30]) 39 1.6 Một số phương pháp khác 40
1.6.1 Phương pháp của H H H Homeier (2003, [12]) 40
1.6.2 Phương pháp của J R Sharma (2005, [15]) 41
1.6.3 Phương pháp của B Neta (2008, [2]) 42
1.6.4 Phương pháp của J R Sharma (2007, [16]) 43
1.6.5 Phương pháp của Tibor Luki´c, Nebojˇsa M Ralevi´c [47] 44
1.6.6 Phương pháp của Keyvan Amini (2007, [20]) 44 1.6.7 Phương pháp của Mehdi Dehghan và Masoud Hajarian (2010, [31]) 45
Trang 6MỤC LỤC
2 Một số phương pháp tìm nghiệm bội của phương trình phi tuyến 48 2.1 Phương pháp Newton - Raphson 48 2.2 Phương pháp xấp xỉ 49 2.2.1 Phương pháp của D K R Babajee và MZ Dauhoo (2007, [9]) 49 2.2.2 Phương pháp của N A Mir và Naila Rafiq (2007, [33]) 51 2.2.3 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Farooq Ahmad, Muhammad
Raza, Tahira Nawaz (2010, [35]) 52 2.3 Phương pháp tham số 53 2.3.1 Phương pháp của Li Shengguo, Li Housen và Cheng Lizhi (2009, [22]) 53 2.3.2 Phương pháp của M Heydari, S M Hosseini, G B Loghmani
(2010, [26]) 54 2.3.3 Phương pháp của Behzad Ghanbari, Bijan Rahimi và Mehdi
Gho-lami Porshokouhi (2011, [5]) 55 2.3.4 Phương pháp của B Neta, Anthony N Johnson (2008, [4]) 56 2.3.5 Phương pháp của Beny Neta (2010, [3]) 57 2.3.6 Phương pháp của S G Li, L Z Cheng, B Neta (2010, [41]) 58 2.3.7 Phương pháp của Eldon Hansen và Merrell Patrick (1977, [10]) 61 2.3.8 Phương pháp của Ljiljana D Petkovi´c, Miodrag S Petkovi´c, Dragan
ˇZivkovi´c (2003, [24]) 62 2.4 Một số phương pháp khác 64 2.4.1 Phương pháp của Naoki Osada (2007, [34]) 64 2.4.2 Phương pháp của Changbum Chun, Hwa ju Bae, Beny Neta (2008,
[7]) 65 2.4.3 Phương pháp của Changbum Chun, Beny Neta (2009, [6]) 67
Trang 7Mở đầu
Isaac Newton (1642 - 1727) là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học tự nhiên và nhà toán học vĩ đại người Anh Ông đã xây dựng một công thức giải phương trình phi tuyến f(x) = 0 viết năm 1671 và được công bố lần đầu tiên vào năm 1685 Newton tính toán một chuỗi các đa thức sau đó ông đưa đến một nghiệm xấp xỉ của phương trình Joseph Raphson (1648 - 1715) đã coi phương pháp của Newton hoàn toàn như là một phương pháp đại số và giới hạn việc sử dụng nó cho các đa thức một biến Tuy nhiên Raphson đã mô tả phương pháp thông qua dãy các xấp xỉ kế tiếp xn thay vì các chuỗi đa thức phức tạp như Newton Cách giải thích của Raphson được xem như là đơn giản hơn của Newton và đã được ông công bố vào năm 1690 Ngày nay chúng ta gọi
là phương pháp Newton (hay phương pháp Newton – Raphson) tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình phi tuyến f(x) = 0 bằng việc xây dựng một dãy lặp hội tụ tới nghiệm của phương trình
Phương pháp Newton – Raphson đóng vai trò quan trọng trong khoa học và kĩ thuật, đặc biệt đối với ngành Toán học nói chung và phương pháp số nói riêng Trong thực tế
nó có khả năng ứng dụng rất lớn
Sau khi phương pháp Newton – Raphson ra đời, việc giải phương trình phi tuyến phát triển rất mạnh mẽ và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực Giải các bài toán có ý nghĩa thực
tế quan trọng, đặc biệt trong giai đoạn hiện nay với sự hỗ trợ của máy tính điện tử việc này càng trở nên có hiệu lực Điều đó đã thu hút nhiều nhà khoa học tìm hiểu sâu hơn về phương pháp này Dựa trên cơ sở của phương pháp Newton – Raphson đã có, rất nhiều bài báo được đăng trên các tạp chí nổi tiếng thế giới nói về cách xây dựng những phương pháp cải tiến giải xấp xỉ phương trình phi tuyến với tốc độ hội tụ cao, có thể thực hiện trên máy tính điện tử
Trang 8MỤC LỤC
Trong luận văn này, tôi trình bày tổng quan các phương pháp Newton cải tiến có tốc độ hội tụ cao giải gần đúng phương trình phi tuyến cho trường hợp phương trình có nghiệm đơn và phương trình có nghiệm bội Do khuôn khổ luận văn, phương pháp Newton
mở rộng cho hệ phương trình phi tuyến và phương trình trong không gian Banach không được trình bày Tuy nhiên, trong phần TÀI LIỆU BỔ SUNG chúng tôi có liệt kê các bài báo về phương pháp Newton cho hệ phương trình (trang 77 - 80, các tài liệu [95] - [122])
và phương trình trong không gian Banach (trang 80 - 82, các tài liệu [123] - [145]) Luận văn gồm phần mở đầu, 2 chương, phần kết luận và các tài liệu tham khảo Chương 1 trình bày các phương pháp tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến Đồng thời cũng đưa ra định lý về sự hội tụ của các phương pháp và minh họa một số ví dụ
Chương 2 nhắc lại khái niệm nghiệm bội của phương trình f(x) = 0 và đưa ra các phương pháp tìm nghiệm bội của phương trình phi tuyến cùng một số ví dụ minh họa
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Hạnh Hoa
Trang 9Chương 1
Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến
Giải phương trình phi tuyến là một trong những bài toán quan trọng trong giải tích
số Trước hết, chúng ta xét phương trình
Giải gần đúng phương trình f(x) = 0 được thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm
Mỗi một phương trình nói chung có thể có nhiều nghiệm Chúng ta cần tìm khoảng chứa nghiệm (a, b), trong đó phương trình có nghiệm (có duy nhất nghiệm) bằng một trong các tiêu chuẩn sau
Định lí 1 (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và thỏa mãn điều kiện f (a)f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b) Định lí 2 (Hệ quả của Định lí 1) Giả sử f(x) là một hàm liên tục và đơn điệu ngặt trên đoạn [a, b] Khi đó nếu f(a)f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có duy nhất một nghiệm trong khoảng (a, b)
Định lí 3 (Hệ quả của Định lí 2) Giả sử f(x) có đạo hàm f′(x) và đạo hàm f′(x) của nó không đổi dấu trên đoạn [a, b] Khi đó nếu f(a)f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0
có duy nhất một nghiệm trong khoảng (a, b)
Trang 10Chương 1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến
Bước 2: Giải gần đúng phương trình
Sau khi sử dụng ba định lí trên để xác định khoảng chứa nghiệm của phương trình f(x) = 0, chúng ta xét phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến f (x) = 0 trong trường hợp nghiệm đơn Ở đây f : R → R là một hàm phi tuyến trơn có nghiệm đơn
x∗, tức là f(x∗) = 0 và f′(x∗) 6= 0
Xuất phát từ giá trị ban đầu x0 thuộc khoảng phân li của nghiệm của phương trình (1.1), các xấp xỉ tiếp theo được xác định bởi công thức
xn+1 = ϕ(xn), n= 0, 1, 2,
Phương pháp Newton - Raphson tìm nghiệm x∗ của phương trình (1.1) sử dụng sơ đồ lặp
xn+1 = xn− f(xn)
Phương pháp lặp này có tốc độ hội tụ bậc hai nhưng chỉ tốt khi f′(x∗) 6= 0 Người ta
có thể cải tiến phương pháp này trở nên tốt hơn bằng cách nâng tốc độ hội tụ lên cao hơn Trong chương này, chúng ta trình bày lại nội dung của một số bài báo về sự cải tiến của phương pháp Newton giải gần đúng phương trình phi tuyến với độ hội tụ bậc cao cho trường hợp nghiệm đơn và minh họa qua một số ví dụ tính toán cụ thể Trường hợp nghiệm bội của phương trình chúng ta sẽ được xét ở Chương 2
1.1 Phương pháp xấp xỉ tích phân
Xét biểu diễn của hàm f(x) dưới dạng
f(x) = f (xn) +
Z x
x n
Nhiều nhà toán học đã cải tiến phương pháp Newton bằng việc xấp xỉ tích phân trong công thức (1.3) bởi các quy tắc khác nhau và đã thu được không ít những phương pháp lặp tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến có tốc độ hội tụ cao hơn Dưới đây chúng tôi trình bày phương pháp giải phương trình f(x) = 0 có tốc độ hội tụ bậc cao trong một
số bài báo
Trang 11Chương 1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến
1.1.1 Phương pháp của Weerakoon và Fernando (2000, [42])
Ta có
f(x) = f (xn) +
Z x
x n
f′(t)dt
Bằng việc xấp xỉ tích phân bởi hình chữ nhật và hình thang ta có
Z x
x n
f′(t)dt ≈ (x − xn)f′(xn); (1.3a)
Z x
x n
f′(t)dt ≈ (x − xn)f′(xn) + f′(x)
Giả thiết f(x) khả vi liên tục và f′(x∗) 6= 0 Khi ấy f′(xn) 6= 0 với xn đủ gần x∗ Từ (1.3a) ta có
f(x) ≈ f (xn) + (x − xn)f′(xn)
x− xn≈ f(x) − f (xn)
f′(xn) ⇒ x ≈ xn+
f(x) − f (xn)
f′(xn) , kết hợp f(x) = 0 ta được x ≈ xn− f(xn )
f ′ (x n ) Đây chính là công thức lặp Newton - Raphson,
có tốc độ hội tụ bậc hai (xem thí dụ, [51])
Từ (1.3b) ta có
f(x) ≈ f (xn) + (x − xn)f′(xn) + f′(x)
2
f(x) − f (xn) = (x − xn)f
′(xn) + f′(x) 2
x− xn=
2f(x) − f (xn)
f′(xn) + f′(x) = −
2f (xn)
f′(xn) + f′(x). Cho x = xn+1 ta có
xn+1 = xn− 2f (xn)
f′(xn) + f′(xn+1). Suy ra công thức lặp
xn+1 = xn− 2f (xn)
f′(xn) + f′
xn− f(xn )
f ′ (x n )
Định lý Giả sử f : D ⊂ R → R với D là một khoảng mở, f có đạo hàm cấp một, cấp hai và cấp ba trong khoảng D Nếu f (x) có một nghiệm đơn x∗ ∈ D và x0 đủ gần x∗ thì phương pháp xác định bởi (1.4) có sai số:
Trang 12Chương 1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến
trong đó en = xn− x∗ và Ci = 1
i!
f(i)(x∗)
f ′ (x∗) , i= 1, 2, 3,
Chứng minh: Chúng ta sử dụng khai triển Taylor
f(xn) = f (x∗+ en) = f (x∗) + f′(x∗)en+ 1
2!f
′′(x∗)e2n+ 1
3!f
(3)(x∗)e3n+ O(e4n)
= f′(x∗)hen+ 1
2!
f′′(x∗)e2
n
f′(x∗) +
1 3!
f(3)(x∗)e3
n
f′(x∗) + O(e
4
n)i
= f′(x∗)[en+ C2e2n+ C3e3n+ O(e4
n)],
f′(xn) = f′(x∗+ en) = f′(x∗) + f′′(x∗)en+ 1
2!f
(3)(x∗)e2n+ O(e3n)
= f′(x∗)h1 + f
′′(x∗)en
f′(x∗) +
1 2!
f(3)(x∗)e2
n
f′(x∗) + O(e
3
n)i
= f′(x∗)[1 + 2C2en+ 3C3e2n+ O(e3n)]
Suy ra
f(xn)
f′(xn) =
en+ C2e2n+ C3e3n+ O(e4
n)
1 + 2C2en+ 3C3e2
n+ O(e3
n)
= [en+ C2e2n+ C3e3n+ O(e4n)]
×h1 − [2C2en+ 3C3e2n+ O(e3n)] + [2C2en+ 3C3e2n+ O(e3n)]2− i
= [en+ C2e2n+ C3e3n+ O(e4n)]h1 − [2C2en+ 3C3e2n+ O(e3n)] + 4C22e2n+ i
= [en+ C2e2n+ C3e3n+ O(e4n)][1 − 2C2en+ (4C22− 3C3)e2n+ O(e3n)]
= en− 2C2e2n+ (4C22− 3C3)e3n+ C2e2n− 2C22e3n+ C3e3n+ O(e4n)
= en− C2e2n+ (2C2
2 − 2C3)e3
n+ O(e4
n),
x∗ n+1 = xn+ f(xn)
f′(xn)
= x∗+ en− [en− C2e2n+ (2C22− 2C3)e3n+ O(e4n)]
= x∗+ C2e2n+ (2C3− 2C22)e3n+ O(e4n)
f′(x∗ n+1) = f′(x∗) + [C2e2n+ (2C3− 2C22)e3n+ O(e4n)]f′′(x∗)
= f′(x∗)1 + [2C2e2n+ 4(C3− C22)e3n+ O(e4n)]f
′′(x∗) 2f′(x∗)
Trang 13
Chương 1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến
f′(xn) + f′(x∗
n+1) = 2f′(x∗)h1 + C2en+ (C22+3
2C3)e
2
n+ O(e3n)i Suy ra
2f (xn)
f′(xn) + f′(x∗
n+1) =
en+ C2e2n+ C3e3n+ O(e4
n)
1 + C2en+ (C2
2 +32C3)e2
n+ O(e3
n)
= [en+ C2e2n+ C3e3n+ O(e4n)]h1 − [C2en+ (C22+3
2C3)e
2
n+ O(e3n)] + [C2en+ (C22+3
2C3)e
2
n+ O(e3n)]2− i
= [en+ C2e2n+ C3e3n+ O(e4n)][1 − C2en− 3
2C3e
2
n+ O(e3n)]
= en− C2e2n− 3
2C3e
3
n+ C2e2n− C22e3n+ C3e3n+ O(e4n)
= en− (C22+1
2C3)e
3
n+ O(e4n)
Khi đó
xn+1 = xn− 2f (xn)
f′(xn) + f′(x∗
n+1)
en+1+ x∗ = en+ x∗− [en− (C22+1
2C3)e
3
n+ O(e4n)]
en+1 = (C22+ 1
2C3)e
3
n+ O(e4n)
Vậy phương pháp lặp (1.4) hội tụ bậc ba
Ví dụ
Xét các hàm số sau:
f1(x) = x3+ 4x2− 10
f2(x) = sin2x− x2+ 1
f3(x) = x2− ex− 3x + 2
f4(x) = cosx − x
f5(x) = x3− 10
Chúng ta tìm nghiệm xấp xỉ của các phương trình trên chính xác đến 15 chữ số thập phân
và so sánh số lần lặp của phương pháp Newton (PPN) với phương pháp (1.4) (PP(1.4)) (Bảng 1), ta thấy (PP(1.4)) có tốc độ hội tụ cao hơn (PPN)
Trang 14Chương 1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến
x3+ 4x2− 10 1 5 3 1.36523001341448 sin2x− x2+ 1 1 5 4 1.40449164821621
x2− ex− 3x + 2 2 4 4 0.257530285439771
Bảng 1
1.1.2 Phương pháp của Frontini và Sormani (2003, [25])
Chúng ta dùng quy tắc trung điểm để xấp xỉ tích phân
Z x
x n
f′(t)dt ≈ (x − xn)f′(xn
2 +
x
2).
Kết hợp với f(x) = 0 và cho x ≈ xn+1 ta được
xn+1 = xn− f(xn)
f′xn +x n+1
2
Thay xn+1 trong vế phải của phương trình trên bằng phương pháp Newton chúng ta suy
ra công thức lặp hội tụ bậc ba
xn+1 = xn− f(xn)
f′
xn− f(xn ) 2f ′ (x n )
Frontini và Sormani cũng tổng quát hóa cách tiếp cận của Weerakoon và Fernando Xét
Qm(f ) = (x − xn)
m
X
j=1
ωjf(ηj)
trong đó ηj = xn+ τj(x − xn), τj ∈ [0, 1],
m
P
j=1
ωj = 1 và
m
P
j=1
ωjτj = 1
2 Frontini và Sormani xấp xỉ tích phân như sau:
Z x
x n
f′(t)dt ≈ Qm(f′)
Khi đó
f(x) = f (x ) +
Z x
f′(t)dt ≈ f (x ) + (x − x )
m
X
ω f′(η )