Đề thi học sinh giỏi lớp 6 năm học 20132014 môn thi: Toán11403

a Tính độ dài đoạn thẳng MN.. Tính độ dài đoạn thẳng OP.. Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN... Cách 1: Với n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.. Nối các điểm v

Câu 1: (4,5 điểm)

1) Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 2 (6  224) : 4 2014

b) 1 21 31 : 1 3 7 41

       

2) Tìm x, biết: 5 2

x x x

Câu 2: (4,5 điểm).

1) Tìm xZ , biết: xx   x ( x 1)  1

2) Tìm các chữ số x, y sao cho 2014xyM 42

3) Tìm các số nguyên a, b biết rằng: 1 1

a

b

 



Câu 3: (4,0 điểm).

1) Tìm số tự nhiên n để (n +3)(n + 1) là số nguyên tố

2) Cho n 7 5 8 4.a  b Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9 Tìm a và b

3) Tìm phân số tối giản lớn nhất a sao cho khi chia mỗi phân số

75 165

cho ta a được kết quả là số tự nhiên

b

Câu 4: (5,0 điểm).

1) Trên tia Ox lấy hai điểm M và N, sao cho OM = 3cm và ON = 7cm

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN

b) Lấy điểm P trên tia Ox, sao cho MP = 2cm Tính độ dài đoạn thẳng OP

c) Trong trường hợp M nằm giữa O và P Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN

2) Cho 2014 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đó

Câu 5: (2,0 điểm).

1) Cho tổng gồm 2014 số hạng: 1 22 33 44 20142014 Chứng minh rằng:

4 4 4 4 4

2

S 

2) Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết rằng: n +S(n) = 2014, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n

Hết

Họ và tên thí sinh:: SBD

Giám thị 1: Giám thị 2:

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6

NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 6 NĂM HỌC: 2013 – 2014.

1) a) (1,5đ)

2

2 (6 24) : 4 2014 2 (36 24) : 4 2014 2 12 : 4 2014

2.3 2014 6 2014 2020

1,0 đ 0,5 đ b) (1,5đ)

1 21 31 : 1 3 7 41 1 1 : 7 1 1 : 1 1

              

1,5 đ

1

(4,5đ) 2) (1,5đ)

( )

5 2

6 3 1 6

x

x



        

  

 

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

1) (1,5đ)

           

         

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2) (1,5đ)

2014xy 201400 xy 42.4795 10  xyM42  10 xyM42

Do 0 xy 100 nên xy32; 74 Vậy (x; y) = (3; 2), (7; 4)

0,75 đ 0,75 đ

2

(4,5 đ)

3) (1,5đ)

(2 7)( 1) 14.



Do a b, Z nên 2a – 7  Ư(14) =     1; 2; 7; 14 

Vì 2a – 7 lẻ nên 2a – 7    7; 1;1; 7 a 0;3; 4; 7 

Từ đó tính được: (a; b) = (0; -3), (3; -15), (4; 13), (7; 1)

0,25 đ

0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 1) (1,0đ).

Để (n +3)(n + 1) là số nguyên tố thì một trong hai thừa số n + 3 hoặc n

+ 1 phải bằng 1

Mà n + 3 > n + 1  1 Suy ra n + 1 = 1  n 0 Khi đó n + 3 = 3 là số

nguyên tố

Vậy n = 0 thì (n + 3)(n + 1) là số nguyên tố

0, 25 đ

0, 5 đ 0,25 đ

3

(4,0 đ)

2) (1,5đ) Ta có: n = 7 5 8 4 9a  b M       7 a 5 8 b 4 9M

(vì a + b < 19)

 

24 a b 9 a b 3;12

   M  

0,25 đ 0,5 đ

Mà a – b = 6 nên a + b > 3 Do đó a + b = 12.

Kết hợp với a – b = 6, suy ra a = 9, b = 3 0,25 0,5 đđ 3) (1,5đ) Ta có: 14: 14 14 và

75 75

b  a  M bM 75 Tương tự: 16 : 16 16 và

165 165

b  a  M bM 175

Để là số lớn nhất thì a = ƯCLN(14; 16) = 2a

b

Và b = BCNN(75; 165) = 825

Vậy 2

825

a

b 

0,5 đ 0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

P

O

1) (1,5đ).

a) Do M, N cùng thuộc tia Ox mà OM < ON nên M nằm giữa hai điểm

O và N

OM MN ON

3 MN 7 MN 7 3 4(cm)

Vậy MN = 4(cm)

0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ b) (1,5đ).

TH1: Nếu P nằm giữa M và N thì M nằm giữa O và P

OP = OM + MP OP = 3 + 2 = 5(cm)

TH2: Nếu Nếu P nằm giữa O và M OM = OP + PM

3 = OP + 2 OP = 1(cm)

0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ

c) (1,0 đ) M nằm giữa O và P OP = 5(cm) < ON = 7(cm) nên P 

nằm giữa O và N

suy ra OP + PN = ON  5 + PN = 7  PN = 2(cm)

Do đó: MP = PN, mà P nằm giữa M và N nên P là trung điểm của MN

0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ

4

(5,0 đ)

2) (1,0 đ).

Cách 1: Với n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Nối

các điểm với nhau cho ta ( 1) đoạn thẳng

2

n n

Chọn một đoạn thẳng trong ( 1) đoạn thẳng này và từng n – 2

2

n n

điểm còn lại, ta được n – 2 tam giác Có ( 1) đoạn thẳng nên có

2

n n

tam giác Tuy nhiên mỗi tam giác được

n

tính ba lần( Chẳng hạn: ABC, ACB, BCA )

0,25 đ 0,25 đ

Do đó số tam giác được tạo thành là: ( 1)( 2): 3 ( 1)( 2).

n n n n n n

Áp dụng với n = 2014 thì số tam giác được tạo thành là:

2014.2013.2012

1359502364

Cách 2: Số tam giác cần đếm có dạng ABC, đỉnh A có n cách chọn,

đỉnh B có (n -1) cách chọn, đỉnh C có (n -2) cách chọn Như vậy có:

n(n – 1)(n – 2) tam giác Nhưng mỗi tam giác được tính 6 lần (

)

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

Do đó số tam giác có được là: ( 1)( 2)

6

n n n

0,25 đ

0,25 đ

S      

Suy ra: 3 4 1 1 12 13 20131 20142014

S  S   S    

Đặt M =

2 3 2013

S

2 3 2012

M

Ta có:

2013

3 4

M  M M    M 

Do đó: 4 4 4 1

3

S    S

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

5

(2,0 đ)

2) (1,5 đ) Nếu n là số có ít hơn 4 chữ số thì n 999 và S(n)  27

Suy ra: n + S(n) 999 + 27 = 1026 < 2014( không  thỏa mãn )

Mặt khác n  n S n( )  2014 nên n là số có ít hơn 5 chữ số Vậy n là số

có 4 chữ số, suy ra S(n) 9.4 = 36 Do vậy n 2014 – 36 = 1978. 

Vì 1978 n 2014 nên n =   19ab hoặc n = 20cd

* Nếu n = 19ab Ta có: 19ab + (1 + 9 + a + b) = 2014

và 11a = 104 – 2b 104 – 2.9 = 86    8 10 a, mà a 2 M nên a = 8

(thỏa mãn)

8 1988

   

* Nếu n = 20cd Ta có: 20cd + (2 + 0 + c + d) = 2014

2002 11c 2d 2014 11c 2d 12 c 2

Và 11c 12, nên c = 0  hoặc c = 1

+ Với c = 0 thì d = 6, ta có n = 2006 (thỏa mãn)

+ Với c = 1 thì 2d =1 ( không thỏa mãn)

Vậy n 1988; 2006

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ