Tìm giá trị nhỏ nhất của P.. Chứng minh rằng .... Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất x;y mà x,y là các số nguyên.. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm các đoạn AB; DE.. Chứng
Trang 1UBND HUYỆN THUẬN THÀNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG I
CẤP THCS - NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 05/11/2015
Bài I: (4.5đ)
Cho biểu thức: P =
1
) 1 ( 2 2
1
2
x
x x
x x x
x
x x
1 Rút gọn P
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài II: (6đ)
1 Tìm n nguyên dương để n2015 + n2014 +1 là số nguyên tố
2 Cho S = 12 12 12 12 Chứng minh rằng
2 3 4 9
9
8 5
2
S
2
3 2
2 1
4
x
Bài III: (4đ)
Cho hệ phương trình
1 2
2
y mx
my x
1 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn x dương và y âm
2 Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x,y là các
số nguyên
Bài IV: (4đ)
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O;2cm) tiếp tuyến với (O) tại A và B cắt nhau tại M, đường thẳng MD cắt (O) tại E (E khác D) và cắt AB tại F Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm các đoạn AB; DE Tia OK cắt AB tại P; AK cắt đường tròn (O) tại N
1 Chứng minh rằng: PA.PB = PF.PI
2 Tính diện tích tam giác MND
Bài V: (1.5đ)
Giải phương trình: x4 + x2 + 6x + 1 = 0
Họ và tên thí sinh: ………
Số báo danh: ………… Phòng thi: ….
Trang 2PHÒNG GD&ĐT THUẬN THÀNH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN GVDG CẤP HUYỆN VÒNG I
CẤP THCS - NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
Bài I
1
2
Bài II
1
2
Rút gọn P
Đkxđ: x>0; x 1
1
) 1 ( 2 2
1
2
x
x x
x x x
x
x x
= 1
) 1 )(
1 ( 2 ) 1 2 ( 1
) 1 )(
1 (
x
x x
x
x x x
x
x x x x
= x- x-2 x -1 +2 x + 2 = x - x + 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của P
P = x - x + 1 = ( x - ) 2 +
2
1 4
3 4 3
Suy ra P dấu bằng đạt được khi x = thoả mãn
4
3
4 1
Vậy min P = đạt khi x =
4
3
4 1
1.Tìm n nguyên dương để n2015 + n2014 +1 là số nguyên tố
Đặt P = n2015 + n2014 +1
- Với n=1 ta thấy P = 3 là số nguyên tố
- Xét n 2 ta có P > n 2 + n + 1
Mặt khác n2015 – n2 = n2(n2013 -1) = n2[(n3)671 –(13)671] chia
hết cho n3 -1 mà n3 -1 =(n-1) (n 2 + n + 1)
(Áp dụng an - bn chia hết cho a-b)
Vậy n2015 – n2 chia hết cho n 2 + n + 1
Tương tự: n 2014 – 1 = n (n2013 -1) chia hết cho n 2 + n + 1
Do đó P = n2015 + n2014 +1 = (n2015 – n2) + (n2014 – n) + n 2 + n
+ 1 chia hết cho n 2 + n + 1
Vậy P có nhiều hơn 2 ước do đó P là hợp số
Vậy để P là số nguyên tố thì n = 1
2 Cho S = 2 2 2 2 Chứng minh rằng
9
1
4
1 3
1 2
1
9
8 5
2
S
- Chứng minh:
b b
b b
b
1 1
1 1 1
1 1
3
1 2
1 2
1
2
4
1 3
1 3
1
2
10
1 9
1 9
1
2
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta có
3 điểm 0.25đ
1.5đ 1.25đ 1.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
6điểm 2đ 0.5đ
0.75đ
0.5đ 0.25đ
2 điểm 0.5đ
Trang 3Bài III
1
2
S > (1)
5
2 10
1 2
1
- Chứng minh tương tự ta có S < (2)
9 8
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
2
3 2
2 1
4
x
2
3 2
2 1
4
x
Suy ra kx = 4-k; ky = 2+2k; kz = 3-2k
Nhân từng vế ta có
k3 xyz =4k3 – 18k2 +2k + 24
hay 12 k3 = 4k3 – 18k2 +2k + 24
8k3 + 18k2 - 2k – 24 = 0
Giải phương trình ta có k = 1
Thay vào suy ra x = 3; y = 4; z = 1
1.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn x dương
và y âm
- Chứng minh được hệ luôn có nghiệm duy nhất
với mọi m
2
1 2 2 4
2 2
m
m y
m
m x
-Từ x> 0 suy ra m>-4
-Từ y< 0 suy ra m<
2 1
Từ trên suy ra giá trị m phải tìm là -4< m <
2 1
2 Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà
x,y là các số nguyên
-Theo trên hệ luôn có nghiệm duy nhất:
với mọi m
2
1 2 2 4
2 2
m
m y
m
m x
Ta có x nguyên m+4 chia hết cho m2+2 m2+2 m 4
y là số nguyên 2m -1 chia hết cho m 2+2m2+2 2m 1
Như vậy điều kiện của m là
4 2
1 2 2 2 2
m m
m m
mnguyên
Xét m2+2 2m 1 giải bất phương trình suy ra m = -1
0.75đ 0.5đ 0.25đ
2 điểm
0.5đ
0.25đ 1đ 0.25đ
4 điểm 2.5điểm
1đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ 1.5điểm
0.5đ
0.25đ 0.5đ 0.25đ
Trang 4Bài IV
1
2
Bài V
Thay vào ta có x =1; y=-1 thoả mãn
O
I
K
E
F P
N
M
D
C
B A
1.Chứng minh rằng: PA.PB = PF.PI
- Chứng minh PKF PIO
Suy ra PK.PO=PF.PI (1)
- Chứng minh PAK PKB
Suy ra PK.PO = PA.PB (2)
Từ (1) và (2) suy ra PA.PB = PF.PI
2 Tính diện tích tam giác MND
- Chứng minh tứ giác MAOB là hình vuông suy ra MB=BO
- Chứng minh tam giác MDN vuông
Chứng minh BAN = KMB= BDN
Chứng minh: BDN + BDM = DMB + MDB = 900
Suy ra tam giác MDN vuông tại D
Tứ giác EBND là HCN suy ra EB = DN
Tam giác MBD vuông tại B có BE là đường cao suy ra
MD.BE = MB.BD
SMDN = MD.DN = DM.BE = BM.BD =4 cm2
2
1
2
1
2 1
Giải phương trình: x4 + x2 + 6x + 1 = 0
2 điểm 0.75đ 0.75đ 0.5đ
2 điểm
0.75đ
0.5đ 0.25đ 0.5đ
1.5điểm
Trang 5Biến đổi phương trình về dạng:
(x2 +2)2 – 3(x-1)2 =0
(x2 - x +2 + )(x2 + x + 2 - ) = 0
Giải các phương trình và kết luận nghiệm
0.75đ 0.75đ
Chú ý: - Không cho điểm vẽ hình, ghi GTKL
- Không vẽ hình, hình vẽ sai không chấm bài
- Bài giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài không làm tròn