Chuyên đề về Một số phương pháp giải hệ phương trình10662

TH này vô nghiệ m do ĐK.. Đây là hệ phư ơ ng trình có vế trái đẳ ng cấ p bậ c hai nên ta sẽ cân bằ ng số hạ ng tự do và thự c hiệ n phép trừ vế.

CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ”

Hệ phư ơ ng trình là mả ng kiế n thứ c quan trọ ng trong chư ơ ng trình Toán họ c

phổ thông, nó thư ờ ng gặ p trong các kì thi tuyể n sinh vào lớ p 10, tuyể n sinh Đạ i

họ c, Cao đẳ ng, thi họ c sinh giỏ i Mặ c dù họ c sinh đư ợ c cọ xát phầ n này khá nhiề u

song phầ n lớ n các em vẫ n thư ờ ng lúng túng trong quá trình tìm ra cách giả i

Nguyên nhân là vì:

Thứ nhấ t, hệ phư ơ ng trình là mả ng kiế n thứ c phong phú và khó, đòi hỏ i ngư ờ i họ c phả i có tư duy sâu sắ c, có sự kế t hợ p nhiề u mả ng kiế n thứ c khác nhau,

có sự nhìn nhậ n trên nhiề u phư ơ ng diệ n

Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phầ n này khá đơ n giả n, các tài liệ u tham

khả o đề cậ p đế n phầ n này khá nhiề u song sự phân loạ i chư a dự a trên cái gố c củ a

bài toán nên khi họ c, họ c sinh chư a có sự liên kế t, đị nh hình và chư a có cái nhìn

tổ ng quát về hệ phư ơ ng trình

Thứ ba, đa số họ c sinh đề u họ c mộ t cách máy móc, chư a có thói quen tổ ng

quát bài toán và tìm ra bài toán xuấ t phát, chư a biế t đư ợ c bài toán trong các đề thi

do đâu mà có nên khi ngư ờ i ra đề chỉ cầ n thay đổ i mộ t chút là đã gây khó khăn cho

các em (dẫ n chứ ng gầ n đây nhấ t là đề thi thử lầ n 2 Trư ờ ng THPT Chuyên –Đạ i

Họ c Vinh năm 2014 )

Chuyên đề này củ a tôi về mặ t hình thứ c là không mớ i Cái mớ i ở đây chính

là sự phân loạ i có tính chấ t xuyên suố t chư ơ ng trình như ng vẫ n bám vào các kĩ

thuậ t quen thuộ c, phù hợ p vớ i tư duy củ a họ c sinh Thêm vào đó, vớ i mỗ i bài toán

đề u có sự phân tích lôgic, có sự tổ ng quát và điề u đặ c biệ t là cho họ c sinh tìm ra cái

gố c củ a bài toán, các bài toán từ đâu mà có, ngư ờ i ta đã tạ o ra chúng bằ ng cách

nào

Thông qua các việ c làm thư ờ ng xuyên này, họ c sinh đã dầ n dầ n hình thành

đư ợ c phư ơ ng pháp, rèn luyệ n đư ợ c kỹ năng, có tư duy sáng tạ o, có năng lự c làm

toán và tạ o ra các bài toán mớ i Họ c sinh thư ờ ng hiể u sâu và hứ ng thú khi họ c phầ n

này

Mặ c dù đã có sự đầ u tư song vì điề u kiệ n thờ i gian còn hạ n chế nên sự phân

loạ i có thể chư a đư ợ c triệ t để và chỉ mang tính chấ t tư ơ ng đố i, rấ t mong đư ợ c các

bạ n bè đồ ng nghiệ p góp ý kiế n chỉ nh sử a để chuyên đề này đư ợ c hoàn thiệ n hơ n

Tôi xin chân thành cả m ơ n!

Phầ n II GIẢ I QUYẾ T VẤ N ĐỀ

A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦ U

Giả i hệ phư ơ ng trình :

4 4

Tuyể n sinh Đạ i họ c khố i A;A1 năm 2013

Giả i

Cách 1 : ( Đư a về đố i xứ ng loạ i 3 )

Đk : x 1

Xét (2) :

Xét (1) : Đặ t 4

1

1

Pt(1) trở thành : 4 4

Xét hàm số

3 4

4

2

2

z

z

Nên f(z) đồ ng biế n vớ i z 0 do đó

1

t y y x Khi đó (2) trở thành : 4 2

y y (vì y>0)

Vậ y nghiệ m củ a phư ơ ng trình : 1, 2

Cách 2: ( đư a về hệ đố i xứ ng loạ i 3)

Đk : x 1

x y x y y (x y 1)2 4y (*) Vậ y : y 0 (1) x 1 4 x 1 (y4 1) 1 4 (y4 1) 1 (**)

f t x x thì fđồ ng biế n trên 1, )

Thế vào (*) ta có : 4 2 8 5 2

0

y

g y y y yđồ ng biế n trên 0, ), mà g(1)=0 nên 7 4

2

1

y

Dễ dàng suy ra : (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1)

Cách 3 ( phư ơ ng pháp đánh giá kế t hợ p sử dụ ng nhân liên hợ p )

Đk : x 1

x y x y y (x y 1)2 4y (*) Vậ y : y 0 Xét 4 x 1 y 0(y 0) x 1 và y=0 thỏ a mãn hệ phư ơ ng trình đã cho nên

hệ nhậ n nghiệ m là 1

0

x y

CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ”

(1) ( x 1 y4 2 ) ( 4 x 1 y) 0

2 4

4

0

4

2 4

4

4

1

x y (do y>0)

Thế vào (*) ta có : 4 2 8 5 2

g y y y y đồ ng biế n trên 0, )),mà g(1)=0

Vậ y (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1)

Cách 4 : ( Đư a về hệ đố i xứ ng loạ i 3)

Đk : x 1

x y x y y (x y 1)2 4y (*) Vậ y : y 0

4

1

u v

f t t t t Ta có : f(t) đồ ng biế n 0, ) u v

( làm tư ơ ng tự các cách trên )

Vậ y (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1)

Cách 5 : ( Phư ơ ng pháp thế )

Đk : x 1

Từ (2) ta đư ợ c 2

4y (x y 1) y 0

Vậ y (x;y) =(1;0) là nghiệ m củ a hệ phư ơ ng trình

*Vớ i : x y 2 y 1, thay vào(1)ta

0

y , ta có x y 2 y 1 ; x y 2 y 1 *Vớ i : x y 2 y 1 y 2 y 1 1 y 2 y 0

0

y ( vì y 0) , suy ra x=1 thỏ a mãn hệ

( y 2 y) 2 y 2 y y 2 y (3) Xét hàm số : 4

3 4

4

t

t

f(t) đồ ng biế n trên 0, )

Đặ t t y 0 thì (4)

t t t t t t t

0 0 1

Vậ y (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1)

Cách 6 : ( Sử dụ ng nhân liên hợ p )

Đk : x 1

Từ (2) ta đư ợ c 2

4y (x y 1) y 0

Đặ t 4

1

t x , suy ra 40

1

t

Phư ơ ng trình (1) trở thành : 4 4

4 4

0

(x y 1) 4y, nên y 0

1 0

1

t y y x Thế vào (4) ta có :

Xét hàm số : 7 4

g y y y y , nên g(y) đồ ng biế n trên 0, )

Mà g(1) =0 nên y=1 là nghiệ m duy nhấ t củ a g(y) Vớ i y=1 x=2

Vậ y (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1)

Qua bài toán mở đầ u,ta thấ y có nhiề u cách giả i khác nhau để giả i mộ t hệ

phư ơ ng trình Tuy nhiên các cách đó đề u dự a trên cơ sở phá bỏ căn rút mộ t biể u

thứ c x theo y đư a về hệ phư ơ ng trình đơ n giả n hơ n mà ta đã biế t cách giả i.Sau

đây, tôi xin trình bày mộ t số phư ơ ng pháp cụ thể để giả i hệ Phư ơ ng trình.

B MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH.

1 Phư ơ ng pháp thế

* Cơ sở phư ơ ng pháp Ta rút mộ t ẩ n (hay mộ t biể u thứ c) từ mộ t phư ơ ng trình

hoặ c kế t hợ p hai phư ơ ng trình trong hệ và thế vào mộ t phư ơ ng trình còn lạ i.Mụ c đích củ a việ c làm này là giả m số ẩ n Tùy thuộ c vào đặ c điể m củ a bài toán mà ta có

nhữ ng cách biế n đổ i phù hợ p

* Nhậ n dạ ng.

-Phư ơ ng pháp này thư ờ ng hay sử dụ ng khi trong hệ có mộ t phư ơ ng trình là bậ c

nhấ t,bậ c hai đố i vớ i mộ t ẩ n nào đó (có thể coi biế n còn lạ i là tham số )

-Vớ i hai số thự c bấ t kỳ x 0 ;ta luôn có y=tx vớ i cách làm này ta chuyể n về

phư ơ ng trình ẩ n t

- Phư ơ ng trình f(x;y)=f(y;x) luôn có mộ t cặ p nghiệ m x=y do đó có thể phân tích phư ơ ng trình đã cho về dạ ng (x-y).g(x;y)=0

- Trong hệ phư ơ ng trình biể u thứ c u(x) xuấ t hiệ n ở cả hai phư ơ ng trình thì ta có thể

đặ t u(x)=t để làm đơ n giả n hình thứ c bài toán

CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ”

Ví dụ 1 Giả i hệ pt:

3 4

(x 2) 1 y

Đề thi Chọ n Họ c sinh giỏ i Tĩnh lớ p 10 _GD H à Tĩnh

Giả i hệ pt:

3 4

x 2 y 1 27 x (1) (x 2) 1 y 2 Điề u kiệ n: x 2 (3)

y 1

Ta có: (2) 2

(x 2) y 1, kế t hợ p vớ i (1), ta đư ợ c:

x 2 (x 2) 27 x x 2 x x 4x 31 (4)

Đặ t x 2 a vớ i a 0 thì 2

x a 2, thay x theo a vào vế phả i củ a (4) và rút gọ n,

ta đư ợ c:

Khi a = 1, ta đư ợ c x = 3 và y = 2 (thỏ a mãn điề u kiệ n (3))

Vậ y hệ phư ơ ng trình đã cho chỉ có 1 nghiệ m (3; 2)

Nhậ n xét Quan sát phư ơ ng trình (2) ta thấ y 4

(x 2) 1 y hay (x-2) 4 =y-1có thể nghỉ ngay đế n việ c đặ t ẩ n phụ chuyể n hệ trên về mộ t hệ đạ i số đã có cách giả i

Ví dụ 2 Giả i hệ phư ơ ng trình

2

Nhậ n xét Phư ơ ng trình (2) là bậ c nhấ t đố i vớ i y nên ta dùng phép thế

Lờ i giả i.

x = 0 không thỏ a mãn (2)

2

0, (2)

2

x thế vào (1) ta đư ợ c

2

2 2

4 4

x

x

Do x 0 nên hệ phư ơ ng trình có nghiệ m duy nhấ t 4;17

4

Chú ý.

+ Hệ phư ơ ng trình này có thể thế theo phư ơ ng pháp sau:

Hệ

2 2

2 2

2

2

2

2

2

x xy

+ Phư ơ ng pháp thế thư ờ ng là công đoạ n cuố i cùng khi ta sử dụ ng các phư ơ ng pháp

khác

Ví dụ 3

Thi thử lầ n 1 khố i B năm 2014 THPT NVX Bắ c Ninh

Giả i hệ phư ơ ng trình :

2

( , )

x y IR

Nhậ n xét :Rỏ ràng ta không thể biế n đổ i phư ơ ng trình (2),vấ n đề là ở chổ

biế n đổ i phư ơ ng trình (1) như thế nào ,để ý thấ y các hệ số 2:1=2:1 như vậ y

phư ơ ng trình này có nghiệ m x=y

Lờ i giả i.

Đk: x 0;y 0 Phư ơ ng trình (1) tư ơ ng đư ơ ng vớ i

2x 1 0, x IR)

Thế vào phư ơ ng trình (2) ta có 2

Đặ t a 2 x 1,a 1, ta có phư ơ ng trình 2 2

4 ( )

1 2( )

x

3 2 2

x

3 2 2

y Thử lạ i thấ y thỏ a mãn

Vậ y hệ phư ơ ng trình có nghiệ m ( ; )x y (3 2 2;3 2 2 )

Ví dụ 4.

Thi thử lầ n 2 khố i A &A1 năm 2014 THPT ĐT – HẢ I DƯ Ơ NG

Giả i hệ phư ơ ng trình

(2 1) (2 1) 18(2)

Nhậ n xét :Phư ơ ng trình 2 là mộ t phư ơ ng trình đố i xứ ng theo x và y tuy chư a thể

khẳ ng đinh có hay không nghiệ m x=y ,tuy nhiên để ý phư ơ ng trình (1) có chứ a biể u thứ c độ c lậ p 2 2

x y nên từ (2) rút 2 2

4

x y x y thế vào phư ơ ng trình (1)

Lờ i giả i.

Từ phư ơ ng trình (2) 2 2

4

Thế (3) vào (1) ta có : x 2 3 y 1 5(x y 1)

(x 2) 6 (x 2)(y 1) 9(y 1) 5(x y 1)

3 (x 2)(y 1) 2x 2y 6 3 (x 2)(y 1) 2(x 2) 2(y 1) (3)

Ta thấ y y=1 không phả i là nghiệ m củ a phư ơ ng trình trên :

(3)

2 2 1

( )

x y

L y

CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ”

1

x

y x=4y-6 thay vào phư ơ ng trình (2) và rút gọ n ta đư ợ c :

(2) 2

( / )

Vậ y hệ có nghiệ m (x;y) là (2;2) ; ( 26

17;19

17)

Ví dụ 5. Giả i hệ phư ơ ng trình

2 2 0 (1)

Nhậ n xét : phư ơ ng trình (1) là mộ t phư ơ ng trình bậ c 2 theo y có thể nghỉ ngay đế n

việ c giả i phư ơ ng trình bậ c hai ẩ n y hy vọ ng đư ợ c nghiệ m đẹ p

Điề u kiệ n : x 4,y 16

Giả i phư ơ ng trình (2) theo ẩ n y ta đư ợ c 2

2( ),

2

Giả i phư ơ ng trình ta đư ợ c x=5

Vậ y hệ đã cho có nghiệ m (5,25)

Nhậ n xét: Hệ phư ơ ng trình trên đúng là cho ta mộ t lờ i giả i đẹ p ,tạ o cả m hứ ng cho

ngư ờ i viế t chuyên đề này cả m thấ y rấ t thiế u sót nế u như không tiế p tụ c tạ o nên

mộ t hệ phứ c tạ p hơ n

Ví dụ 6.

Giả i hệ phư ơ ng trình

2 4

Nhậ n xét : Rỏ ràng muố n hay không thì cũng chỉ có thể biế n đổ i phư ơ ng trình 1

?phân tích về dạ ng tích chăng ? rấ t khó ? để ý thấ y rằ ng phư ơ ng trình 1 cũng chỉ

là phư ơ ng trình bậ c hai theo y vậ y ta còn chờ gì nữ a ???

1 y x 3x 6 y 3x 5x 3x 5 0

Suy ra: 32 5

1

Vớ i y 3x 5 VP 2 1 0 VT 2 vô nghiệ m

Vớ i 2

1 2

y x VT trở thành :4 4 2

2 x x 3x 3 3

Áp dụ ng BĐT Cauchy ta có :

4 4

1.1.1.

4

x

Từ (3) ta có :

4

4

x

2 2

1

x

Thử lạ i x =1 thõa mãn (3) vớ i x 1 y 0 vậ y hệ đã cho có nghiệ m : (1;0)

Nhậ n xét Lợ i thế củ a phư ơ ng trình (3) là nhìn rỏ ngay bấ t đẳ ng thứ c cauchy

Thư ờ ng thì khi gặ p mộ t phư ơ ng trình cuố i chứ a căn sau khi thế ta hay vậ n dụ ng

phép nhân liên hợ p

Ví dụ 7 Giả i hệ phư ơ ng trình

Thi thử lầ n 2 khố i A &A1 năm 2014 THPT Chuyên ĐH Vinh

Nhậ n xét : Để ý phư ơ ng trình đầ u là mộ t phư ơ ng trình bậ c 2 theo x ,bậ c hai theo

y 2 ,và cũng là bậ c hai theo biế n ( x+y ),như vậ y bạ n đọ c có thể giả i theo ba cách đó

1 0

Coi phư ơ ng trình (1) là phư ơ ng trình bậ c hai theo ẩ n x ta có

2 2

3

TH1: Vớ i x =-y2-y thay vào phư ơ ng trình (2) ta có : 2

3 0

này hệ có nghiệ m : 4 13;1 13 à 4 13;1 13

TH2: Vớ i x=-3y2-y Thay vào phư ơ ng trình (2) ta có :y=-1 do

2

y y

y y ,vớ i mọ i x thuộ c 1 5; 1 5

2 2 Trư ờ ng hợ p này hệ

có nghiệ m : 2; 1

Vậ y hệ đã cho có 3 nghiệ m

Ví dụ 8 Giả i hệ phư ơ ng trình : 4 21 3 1 4(1)

Nhậ n xét: Dĩ nhiên ta có thể biế n đổ i phư ơ ng trình (1) như ng nế u xét về tính công

bằ ng củ a nó thì phư ơ ng trình (2) là mộ t phư ơ ng trình bậ c 2 theo y tuy có hơ i phứ c

tạ p như ng không phả i là không thể

Lờ i giả i.

Điề u kiệ n : x 1,y 1

(2 x x ) 4(x 2x ) (4 x x 4x 4x 2x ) 4x 8x

(4 x x 4x 4x 2x ) (x x 2) 0

Vậ y PT(2) y x 32

Vớ i y = x - 2 thay vào (1) ta đư ợ c : (1)

CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ”

Vớ i 3

y x thay vào (1) , ta đư ợ c : (1)

3 3 3 3

0

2 3

x

2

2 3

0

Do đó x=2 y 8

Vậ y nghiệ m (x;y) củ a hệ (I) là : (2;8), (5;3)

Ví dụ 9

Thi thử Đạ i họ c lầ n 2 năm 2014 THPT Ngô Gia Tự -Bắ c Ninh

Giả i hệ phư ơ ng trình

2( ) 7(1) ( 2 ) 2 10(2)

Nhậ n xét :

Cả hai phư ơ ng trình củ a hệ đề u có thể coi là phư ơ ng trình bậ c hai theo x hoặ c

y,tuy nhiên nó không đư ợ c thuậ n lợ i như các ví dụ trên Để ý mộ t tý ta thấ y yế u tố

còn thiế u trong phư ơ ng trình (1) là tích xy ,và phư ơ ng trình (2) nế u rút 2

y thế vào

(1) ta đáp ứ ng đư ợ c điề u đó.

Lờ i giả i.

Rút 2

y từ phư ơ ng trình (2) thế vào (1) ta đư ợ c

2

x

TH1: thay x=-1 vào (1) ta đư ợ c 2 2

4

y

y

TH2: Thay x=-2y-3 vào (1) ta đư ợ c

2

Vậ y hệ phư ơ ng trình có 4 nghiêm :

(-1;2) (-1;-4) ( 1 6

5 ; 1 3

5 ) ( 1 6

5 ; 1 3

5 )

Ví dụ 10.

Thi thử lầ n 2 khố i A &A1 năm 2014 THPT ĐTH – HẢ I DƯ Ơ NG

Giả i hệ phư ơ ng trình

3 3

4 2 (1)

3 4(2)

Nhậ n xét :Thông thư ờ ng ta vẩ n hay thế x hay y hoặ c mộ t biể u thứ c độ c lậ p

nào đó ,và đôi khi ta cũng có thể thế mộ t hằ ng số nhấ t là đố i vớ i hệ có đủ bậ c.

Lờ i giả i.

Phư ơ ng trình (1) 3 3

2(x y ) 4(2x y)

Từ phư ơ ng trình (2) thay 2 2

4 x 3y vào phư ơ ng trình trên và rút gọ n ta đư ợ c

2 2 3

0

5

y

TH1 : y=0 thay vào hệ ta đư ợ c

3 2

4

2 4

x

(x;y)=( 2; 0) TH2: x=-y y=-x thay vào hệ ta đư ợ c

3 2

1

x x

Hệ có nghiệ m (x;y) = (1;-1); (-1;1)

TH3: x=-5y thay vào hệ ta có nghiệ m (x;y) =( 5 ; 1);( 5; 1 )

Vậ y hệ đã cho có 6 nghiệ m

Tóm lạ i Phư ơ ng pháp “ thế ” tuy là không có mộ t đư ờ ng lố i giả i tổ ng quát như

mộ t số phư ơ ng pháp khác,tuy nhiên để tạ o cho bạ n đọ c mộ t lố i mòn và cũng cố

lờ i giả i củ a các hệ trên ta xét hai ví dụ khó sau đây.

Ví dụ 11.Giả i hệ phư ơ ng trình :

2 (1)

Nhậ n xét: phư ơ ng trình (2) có vế trái là bậ c 5 Vế phả i gồ m bậ c 1 và trong ngoặ c

cao nhấ t bậ c 4 như ng không phả i hạ ng tử nào cũng có bậ c 4 Vậ y ta tiế n hành thế

hằ ng số bằ ng biể u thứ c từ (1) xuố ng dư ớ i để tạ o nên sự thuầ n nhấ t

Lờ i giả i.

4 (x y ) Vì sao không thế 2 2

4 2(x y ) Đơ n giả n tôi

muố n tấ t cả đề u là bậ c 4 Thay tấ t cả vào (2) ta đư ợ c

(x y) (x y ) x y xy x( y ) 2y x y 2y x y

Đế n đây kế t hợ p vớ i (1) và ta dễ dàng giả i ra (x;y) =(1;1) (-1;-1)

Ví dụ 12.

Chọ n độ i tuyể n HSG lớ p 11 Sở GD & ĐT Nam Đị nh năm 2013

Giả i hệ phư ơ ng trình :

2

( vớ i x;y IR)

Nhậ n xét :Để ý thấ y phư ơ ng trình thứ nhấ t trong hệ có chứ a biế n y độ c lậ p, nên

không cầ n suy nghỉ ta rút y từ phư ơ ng trình này thế vào phư ơ ng trình thứ hai củ a

hệ ,rồ i biế n đổ i theo biể u thứ c trong căn đư ợ c phư ơ ng trình đố i xứ ng f(x+1)=f(-x).

Lờ i giả i.

ĐKXĐ : x IR;y IR

2

2

2

2

2

y x x (1) Thế vào phư ơ ng trình thứ hai trong hệ , ta có:

( x 2 x) 2(x 1) x 2x 3 2x 4x

1 x x 2 2x (x 1) x 2x 3 0

CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ”

f t t t vớ i t IR Ta có

2 2

2

2

t

t

f(t) đồ ng biế n trên IR

Mặ t khác , phư ơ ng trình (*) có dạ ng f(x+1) = f(-x) x+1 = -x 1

2

x

2

x vào (1) ta tìmđư ợ c y = 1 Vậ y hệ đã cho có nghiệ m là

1 2 1

x y

2 Phư ơ ng pháp cộ ng đạ i số

* Cơ sở phư ơ ng pháp Kế t hợ p 2 phư ơ ng trình trong hệ bằ ng các phép toán: cộ ng,

trừ , nhân, chia ta thu đư ợ c phư ơ ng trình hệ quả mà việ c giả i phư ơ ng trình này là

khả thi hoặ c có lợ i cho các bư ớ c sau

* Nhậ n dạ ng Phư ơ ng pháp này thư ờ ng dùng cho các hệ đố i xứ ng loạ i II, hệ

phư ơ ng trình có vế trái đẳ ng cấ p bậ c k

Ví dụ 13.Giả i hệ phư ơ ng trình

2 2 2 2

2 3

2 3

y y x x x y

Nhậ n xét : đây là mộ t hệ phư ơ ng trình đố i xứ ng loạ i II,đã có cách giả i tổ ng quát

Lờ i giả i.

ĐK: xy 0

Hệ

x y y

y x x Trừ vế hai phư ơ ng trình ta đư ợ c

TH 1 x y 0 y x thế vào (1) ta đư ợ c 3x3 x2 2 0 x 1

TH 2 3xy x y 0 Từ

2 2

2

2 2

2

y

3xy x y 0 Do đó TH 2 không xả y ra

Vậ y hệ phư ơ ng trình có nghiệ m duy nhấ t (1 ; 1)

Ví dụ 14.Giả i hệ phư ơ ng trình

y x

x y

Lờ i giả i.

Trừ vế hai pt ta đư ợ c 1 1 2 1 2 1 0

1 1

xy

T

H 1. y x 0 y x thế vào (1) ta đư ợ c 1 2 1 2

x x

Đặ t t 1 ,t 0

x ta đư ợ c

2

xy

TH này vô nghiệ m do ĐK

Vậ y hệ có nghiệ m duy nhấ t (1; 1)

Ví dụ 15 Giả i hệ phư ơ ng trình

Nhậ n xét Đây là hệ phư ơ ng trình có vế trái đẳ ng cấ p bậ c hai nên ta sẽ cân bằ ng

số hạ ng tự do và thự c hiệ n phép trừ vế

Lờ i giả i.

Hệ

Giả i phư ơ ng trình này ta đư ợ c 1 , 145

y x y x thế vào mộ t trong hai phư ơ ng

trình củ a hệ ta thu đư ợ c kế t quả

* Chú ý

- Cách giả i trên có thể áp dụ ng cho pt có vế trái đẳ ng cấ p bậ c cao hơ n.

- Cách giả i trên chứ ng tỏ rằ ng hệ phư ơ ng trình này hoàn toàn giả i đư ợ c bằ ng

Ví dụ 16.Tìm các giá trị m để hệ

Nhậ n xét Để có kế t quả nhanh hơ n ta sẽ đặ t ngay y tx x, 0

Lờ i giả i.

TH 1

2 2

2 2

11 11

3

y y

y

3

m