Cho hình lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên = , hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng trùng với trung điểm của.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm: Thí sinh chỉ được làm một trong hai
Trang 1SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 - LẦN 1 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Môn: TOÁN; Khối A + A 1 + B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
ĐỀ CHÍNH THỨC
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y= −x3 + 3x2 + 3m m( + 2)x+ 1 (1), với là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi =
b) Tìm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua điểm ( )
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình cos x+ tanx= + 1 tan sinx x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình + + + + − =
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
3 1
=
∫ x dx
I
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên
= , hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng trùng với trung điểm của Gọi
là trung điểm của Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ đến mặt phẳng
( )
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực dương thỏa mãn + + ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức = + + + + +
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật có đường chéo + − = Điểm nằm trên cạnh Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đã cho biết rằng diện tích của hình chữ nhật đó bằng , đường thẳng đi qua và đỉnh có tung độ
là một số nguyên
Câu 8.a (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng + + + = và hai
điểm Tìm trên mặt phẳng điểm sao cho + đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 9.a (1.0 điểm) Trong một chiếc hộp có 6 viên bi đỏ, 5 viên bi vàng và 4 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên
trong hộp ra 4 viên bi Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra không có đủ cả ba màu
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật Hai điểm
thuộc trục tung Phương trình đường chéo + − = Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ
nhật đã cho biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1
Câu 8.b (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ − = + = −
hai điểm Tìm điểm thuộc ∆ sao cho tam giác có diện tích nhỏ nhất
Câu 9.b (1.0 điểm) Giải hệ phương trình
+ +
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trang 2SỞ GD&ĐT ĐỒNG THÁP ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối A, A 1 và khối B
(Đáp án – thang điểm gồm 06 trang) Câu Đáp án Điểm a (1,0 điểm) Khi = ta có = − + + • Tập xác định: = ℝ • Sự biến thiên: − Chiều biến thiên: = − + = ⇔ = hoặc = 0,25 Khoảng đồng biến: ; các khoảng nghịch biến: −∞ và +∞ − Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại = = ; đạt cực đại tại = = − Giới hạn: →−∞ = +∞ ; →+∞ = −∞ 0,25 − Bảng biến thiên: −∞ +∞
− + −
+∞
−∞
0,25 • Đồ thị: 0,25 b (1,0 điểm) Ta có: = − + + + = −
= ⇔ − − + = ⇔ = + 0,25 Hàm số có hai cực trị ⇔ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ + ≠ − ⇔ ≠ − 0,25 1 (2,0 điểm) Với = − ⇒ = − − + Với = + ⇒ = + + + Tọa độ hai điểm cực trị là (− − − + ) và ( + + + + )
0,25
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 3( ) là trung điểm của ⇔ + = =
Vậy giá trị cần tìm là = = −
0,25
Điều kiện: ≠
Phương trình đã cho tương đương với + = +
0,25
π
2
(1,0 điểm)
π
π
=
∈ ℤ
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm =π + π hoặc = π ∈ ℤ
0,25
Xét hệ phương trình
Điều kiện: − ≥ ⇔ ≤ Đặt = + , phương trình (1) trở thành:
=
+ − = ⇔
= −
0,25
Nếu = thì + = ⇔ − = ≥ Thế vào phương trình (2) ta được phương trình
+ − =
Đặt = ≥ , phương trình trở thành:
+ − = ⇔ − + + + = ⇔ = Khi đó hệ có nghiệm =
=
0,25
Nếu = − thì + = − ⇔ − = + ≥ Thế vào phương trình (2) ta được
phương trình
= −
Với = − thì hệ có nghiệm
=
= −
0,25
3
(1,0 điểm)
Xét phương trình + − + = (3)
Đặt = + ≥ , phương trình (3) trở thành: − + =
Xét hàm số = − + , ta có:
= − và = ⇔ = ±
Hàm đạt cực đại tại − + , đạt cực tiểu tại −
Vì = > và − > nên = không có nghiệm ≥
0,25
Trang 4Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là
= =
=
= −
= =
Đổi cận: = ⇒ = = ⇒ =
∫
0,25
4
(1,0 điểm)
Vậy = −
0,25
Gọi = ∩ , do là hình vuông cạnh nên ta suy ra được
⊥ , = = , = = , =
0,25
0,25
Do ⊥
⊥
Trong , kẻ ⊥ Suy ra: ⊥ ⇒ =
0,25
5
(1,0 điểm)
0,25
6
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 5Đặt = ta có < = < + + ≤ 0,25
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = =
Vậy =
0,25
Khi đó ta có:
=
0,25
Vì có tung độ là một số nguyên nên −
Từ kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại
Khi đó − + = Suy ra
0,25
Hai tam giác và nên
+ =
− = −
0,25
7.a
(1,0 điểm)
Tương tự = ⇒
0,25
Gọi là trung điểm của đoạn thì
0,25 8.a
(1,0 điểm)
+ đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ nhỏ nhất ⇔ là hình chiếu của trên mp(P) 0,25
Trang 6Đường thẳng ∆ qua và vuông góc với mặt phẳng (P) nhận = là VTCP có
phương trình − = − = −
0,25
Tọa độ giao điểm của của ∆ và (P) là nghiệm của hệ phương trình:
=
Vậy −
0,25
Số cách chọn 4 viên bi bất kỳ trong hộp là = cách 0,25
Các trường hợp cho ra 4 viên bi có đủ 3 màu là:
• 2 đỏ, 1 trắng, 1 vàng: =
• 1 đỏ, 2 trắng, 1 vàng: =
• 1 đỏ, 1 trắng, 2 vàng: = Theo quy tắc cộng, cách chọn ra 4 viên bi có đủ ba màu là:
+ + = cách
0,25
Do đó số cách chọn ra 4 viên bi không có đủ ba màu là: − = cách 0,25
9.a
(1,0 điểm)
Ta có là giao điểm của trục tung và đường thẳng nên ( )
Vì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1 nên bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác cũng bằng 1
Vì nằm trên trục tung nên Đường thẳng đi qua và vuông góc với
0,25
Vì là giao điểm của và nên −
Gọi là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Ta có
−
−
0,25
7.b
(1,0 điểm)
Với = ta có Suy ra:
Với = ta có − − Suy ra: −
0,25
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 7Gọi + − − + ∈ Ta có: = − + − − = − − 0,25
0,25
0,25
8.b
(1,0 điểm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = − Vậy
−
0,25
Điều kiện − >
+ >
0,25
9.b
(1,0 điểm)
Hệ đã cho tương đương với
=
⇔
− =
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
0,25
-Hết -