Vậy: có vô số mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác có tâm nằm trên trục của đường tròn nội tiếp ABC.. a Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC theo a,
Trang 1M ẶT CẦU
1 C/mr: Tám đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu
2. Cho ABC tại B, đoạn DA vuông góc với (ABC)
a) Xác định mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a tính bán kính của mặt cầu nói trên
3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = b Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D
HD: Gọi S(O ; R) tiếp xúc với 3 cạnh ABC tại A’, B’, C’ Gọi I là hình chiếu của O trên (ABC) IA’ = IB’ = IC’ I là tâm của đường tròn (c) nội tiếp ABC O trục của (c) Ngược lại lấy O S(O ; R) tiếp
xúc với 3 cạnh ABC tại A’, B’, C’ có R = OA’với A’, B’, C’ (c) Vậy: có vô số mặt cầu tiếp xúc với ba
cạnh của một tam giác có tâm nằm trên trục của đường tròn nội tiếp ABC
4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Đặt OA = a, OB = b, OC = c
a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC theo a, b, c
b) C/mr: O, I và trọng tâm ABC là ba điểm thẳng hàng
HD: Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là giao điểm I của trung trực cạnh OA và trục d của đáy (d qua trung điểm M cạnh BC và // OA) R = 1 2 2 2 Gọi G = AM OI Vì AO // IM
GM IM
G là trọng tâm ABC
5 Ba cạnh của một tam giác có độ dài 13, 14, 15 Một mặt cầu có bán kính 5 tiếp xúc với ba cạnh tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó Tính k/cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác
LG: Gọi (c) là đường tròn nội tiếp ABC có r = 4 Xét OIA’ tại I OI = 3
6. Cho mặt cầu (O ; R) tiếp xúc với mp(P) tại I, M là một điểm nằm trên mặt cầu Hai tiếp tuyến tại M của mặt cầu cắt (P) tại A và B C/mr: AMBAIB
HD: AMB = AIB AMBAIB
7. C/mr: Nếu có một mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của một hình tứ diện thì tổng các cặp cạnh đối của tứ diện bằng nhau
HD: Gọi M, N, P, Q, E, F là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh tứ diện Dùng đlí 2 ĐPCM
8 Một hình tứ diện có các cạnh đối bằng nhau C/mr: Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó là trọng tâm của tứ diện và cách đều bốn mặt của tứ diện
HD: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều S.ABCD là giao điểm I của trung trực cạnh bên và trục của đáy
R = a
9. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (BCD)
a) C/mr: H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Tính AH
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
c) Gọi K là trung điểm AH C/mr: KB, KC, KD đôi một vuông góc
HD: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều là giao điểm của trung trực cạnh bên và trục của đáy AH = 6,
3
a
R = 6, KB = KC = KD = KB2 + KC2 = BC2 KB KB
4
2
a
BH KH
10. Cho ABC cân có BAC 1200 và đường cao AH = a 2 Trên đường thẳng d (ABC) tại A lấy 2 điểm I, J
ở hai bên điểm A sao cho IBC đều và JBC vuông cân
a) Tính các cạnh của ABC
b) Tính AI, AJ và C/mr: BIJ,CIJ là các tam giác vuông
c) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC
HD: a) ABC cân tại A H là trung điểm BC AB = AC = 2 2a , BC = 2 6a
b) IB = IC = BC IA = 4a, JB = JC = JA = 2a,
2
BC
c) Ta có IBJ ICJ 900 mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC có đường kính IJ R = 3a
Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp ABC (d // IJ) Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC là giao điểm O của d và trung trực OM của đoạn IA (M IA) OM = AK = 2 3a (AK là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)
DeThiMau.vn