Chứng minh rằng.. Tính các đoạn thẳng ML và MK.
Trang 1Trường THCS Thiệu Thịnh: Đề thi học sinh giỏi
lớp 9
Năm học: 2006 – 2007
Môn thi: Toán ; Thời gian:
150ph
I- Trắc nghiệm: (6điểm)
Khoanh tròn vào chữ cái đứng đầu câu đúng
Bài 1: (01điểm); Các phép tính 3 27 - 2 108 và 7 4 3 2 3 có kết quả
và 4 3 2
Bài 2: (01điểm); Các phép tính
Có kết quả tương ứng là:
3 4 19 8 3 2
2 3
1 2 2
2
3
1
2
và
; 13 và 2 2 b,
; 13
và
2
quả khác Kết
d,
; 13
và 2 c,
1 3
2 2 3
1 2
1 1 2
1
Tìm khẳng định đúng nhất:
a, A là số hữu tỉ ; b, A là số vô tỉ
c, A là số hữu tỉ âm ; d, A là số hữu tỉ dương
Bài 4: (01điểm) ; Cho hàm số y = -5x + 2m + 4 Cắt trục tung tại điểm có
tung độ là 2 Khẳng định nào sau đây là đúng: a, m = 1 ; b, m = -1 ;
c, m = 3 ; d, m = -3
Bài 5: (01điểm); Tập nghiệm của phương trình
- 3 ; 1; b, S 3 ; 1 ; c, S 3 ; - 1; d, S
S
6x 1 2x 4 là 9x 2
Bài 6: (01điểm) ; Cho ABC có diện tích là S hai trung tuyến AM và BN cắt
nhau tại G, gọi s1 là diện tích của AGN ta có:
a, S = 4s ; b, S = 3s ; c, S = 6s ; d, Kết quả
Trang 2II- Tự luận: ( 14điểm ) Bài 1: (3.5điểm) Cho biểu thức
9
3 3 3 3
x 2
x x
x
1 3
2 2
x x
a, Tìm điều kiện xác định của x để Q xác định và rút gọn Q
b, Tìm x để Q <
3
1
c, Tìm giá trị nhỏ nhất của Q
Bài 2: (02điểm) Tìm một số có ba chữ số tận cùng là chữ số 5, nếu chuyển
chữ số 5 lên đầu thì được số mới mà khi chia số mới cho số cũ được thương là 2
dư 53
Bài 3: (2.5điểm) Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm giữa B và C,
đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại P Chứng minh rằng
AP AM
Bài 4: (02điểm)
a, Tìm số nguyên x, biết x y 775
b, Giải bất phương trình x2 4x 4 9x2 6x 1 1
Bài 5: (02điểm) Cho MNP biết MN = 6cm ; MP = 4,5 cm ; NP = 7,5 cm các đường phân giác trong và ngoài của góc N cắt đường thẳng MP lần lượt tại L và K Tính các đoạn thẳng ML và MK
Bài 6: (02điểm) Cho ba số thực x, y, z đều lớn hơn 2 và thoả mãn điều kiện
chứng minh rằng (x-2)(y-2)(z-2) 1 Dấu “ =” sảy ra khi nào ?
1 1
1
1
z
y
Trang 3Hướng dẫn và biểu điểm chấm(t.thịnh)
Môn: Toán ; Năm học 2006 – 2007
m
I- Trắc nghiệm
1 c 1
2 c 1
3 c 1
4 b 1
5 d 1
6 c 1
II- Tự luận
1 Câu a: Để Q xác định khi và chỉ khi
0
0 9
0 3
x
x
x
0 9
0 x
9 x 3
x x x
Rút gọn
3 1
3 3
3
1 3
1
3 x 3 3
3 3
3
3 2
x 2 : 3
3 x
3 3 3 6
2
3
3 2
x 2 : 3
3
3 3 3 3
x 2
Q
x x
x x
x
x
x x
x
x
x
x x
x x x x x
x
x x
x
x x
x x
Câu b: Để Q < ta có
3
1
36 x 0 n nê 0 x
vi
36 x 6
0 x 0 3 x i v 0 x 6 x 0 3 x 3
x 6
0 3 x 3
3 x 9 0 3
1 3 x
3 3
1 3 x
3
-<
<
<
>
+
>
>
+
>
+
>
+
<
+
≤
≥
x
≥
0, 25
0, 25
0, 25
0, 25 0, 25
Trang 4A B
M P
0 x hay 0 x khi 1 -Q Vậy
1 -3 x
3 -Q
1 3 x 3
0 x với 3 3 x v 3 x
3 -Q
+
=
+
+
ì +
=
2 Gọi số cần tìm là ab 5 (0<a≤ 9 ; 0≤ b≤ 9 ; a, bN)
Nếu chuyển số 5 lên đầu ta được số mới 5ab
Vì số mới chia cho số cũ được thương là 2 và dư 53 nên ta có:
235 là
m t cần số Vậy
3 b
; 2 a
23 ab
23 b 10a
427 19b
190a
63 20b 200a
b 10a 500
53 5 b 10 a 100 2 b a 10 500
53 5 ab 2 ab 5
ì
=
=
=
= +
= +
+ +
= + +
+ + +
= + +
+
=
( )
( ) ( ) ( )
•
=
=
+
= +
+
= +
+
=
=
=
=
=
=
=
AB
1 AB
AM
AM AB
AM
AB BM
AM
1 AP
1
AM
1 AB
AM
BM AM
1 AP
1 2
và
1
Từ
2 BM AB
AM có ta AMB vuông
giác tam
Trong
1 AB
AM
BM P
A
1
AB
BM AP
AM hay AD
BM AP
AM
APD BAP
; 90
D ˆ Bˆ PAD AMB
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 0
Δ
∞ Δ
4 Câu a:
Ta biết với
Trang 5( ) ( )
có ta b a th
y x
sử
Giả
5 b a 31 5 b 31 31a
775 b
31
31a
cho
ã nh tr ng phư
vào
y
x,
Thay
N b 31b x
tự ng Tư
N a a 31 y
k
31y
ng.
phư
chính
số là i phả
31y ó do tỉ, vô
số là hoặc n nguyê số
là hoặc 31y
th
z
y
2 2
2 2
2
≤
≤
ì
= +
= +
= +
đ
ì
ơ
=
ơ
=
=
ơ
đ
ì
+
0 1 2
5 4 3
775 496 279
0 31 124 Vậy nghiệm nguyên của phương trình
( x = 0; y= 775 ) ; ( x = 775 ; y = 0 ) ; ( x = 496 ; y = 31 ) ( x = 31; y = 496 ) ; ( x = 279 ; y = 124 ) ; ( x = 124 ; y = 279 )
Câu b: x 2 4 x 4 9 x 2 6 x 1 1
<
+ +
2 x 2
1
; 0 x
; 1 x
; bpt
của
n
Vậy
2 x 2 x với hợp kết 1 x 2
2x -1 1
3x
-2
-x
nh, tr ng phư
bất i giả
ta
2
x
nếu
2 x 2
1 2 x 3
1 với hợp kết 2
1 x -2
4x -1
1
3x
-x
-2
nh, tr ng phư
bất i giả
ta 2 x
3
1
nếu
0 x 3
1 x với hợp kết 0 x 0
2x 1
1
-3x
x
-2
nh, tr ng phư
bất i giả
ta 3
1 x
Nếu
1 1 -3x -2 -x 1
1 -x 3 -2
-x
0
2 2
<
<
>
>
<
<
+
ì
ơ
<
<
<
>
<
<
+
ì
ơ
<
<
<
<
<
<
+
ì
ơ
<
<
<
≤
≥
≥
≥
≤
≤
Trang 6k
M
N
L
5
18 2
6 MK MK
ML NM
: (2) thức hệ dụng
áp
KL NM và vuông NKL
hay
NL NK bù
kề giác n ph tia 2 là NL và NK
V
2 13.5
4,5,6 LM
5 13
6 4.5
LM
hay
NP MN
MN LP
LM
LM NP
MN
LP
LM
giác n ph t/c
Theo
M tại vuông MNP
) 25 56 ( MP MN
NP Có MNP
2 2
2 2
2
=
=
=
â
ì
=
=
=
+
= +
=
â
= +
=
Δ
Δ
25
0 25
0 25 0.25
6 đặT a = x-2 ; b = y-2 ; c = z-2
z y x
ra
y sả
"
"
dấu
1
≤ 2 -2 -2 -x hay 1
≤ abc
2 2 2
≥ 2
1 2
1 2 a
1
3
2 1
n
nh
3 b a
ra
y sả
"
"
dấu 2 2
≥ 2 c 1
2 c a ra
y sả
"
"
dấu 2 2
≥ 2 b
1 tự.
-1 c b
2 2
b
b ra
y sả
"
"
dấu
2 2
≥ ) 2 2
b
b ( 2
1 2 a
1 có ta 2 c
c và
2
số các cho Cauchy thức
ẳng
á
) 2 2
( 2
1 2 c
1 -2
1 2 b
1 -2
1
2
a
1
1 2
1 2
1 2
1
1 1 1 x
1
:
gt
từ
1
≤ abc minh chứng i phả
ta 0 c
b,
a,
z y
c b a
abc c
b vế
theo
b a ab
c a
ac ng
t
c c
c b
bc c
c b
b
bất
dụng
p
c
c b
b
c b
a z
y