Tìm m để hàm số 1 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.. Hãy xác định các giá trị của m để đường thẳng c
Trang 1Chuyên đề Toán học
Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
Bài 1: Cho hàm số: y =
2 x
m 4 m x ) 1 m ( 2
+ + + +
1 Khảo sát hàm số (1) khi m = –1
2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O
Bài 2: 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 –9x2 +12x –4
2 Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x3– 9x2 +12x = m
Bài 3: Cho hàm số: y = –x3 + 3mx2 – 3(m2–1)x +m3 – 2 (Cm)
Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương
Bài 4: Cho hàm số: y =
1
x2mx 2
x2
+ +
+ Tìm m để khoảng cách từ hai điểm cực đại và điểm cực tiểu đến đường thẳng
x + y +2 = 0 bằng nhau
Bài 5: Cho hàm số y = x3 +3x2 + m2x + m
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x 25
2
1 −
Bài 6: Cho hàm số: y =
1
xx
2
− (C) Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ đó có thể kẻ tới đồ thị (C) hai tiếp
tuyến lập với nhau một góc 45°
Bài 7: Cho hàm số: y =
1
x x 1
x2
− −
− Một đường thẳng thay đổi song song với đường thẳng y = x
2
1 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm M, N Tìm quỹ tích trung điểm I của MN
Bài 8: Cho hàm số: y = x3
3
1 –x +
3
2 (C) Tìm trên (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của nó vuông góc với đường thẳng
y = x 32
3
1 +
−
Bài 9: Cho hàm số: y =
1
x2
++ (C) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(2 ;52 ) sao cho (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B và M là trung điểm của đoạn thẳng AB
Bài 10: Cho hàm số: y =
) m x (
8x x
2 +
− Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số đồng biến trên [1 ; +∞).
Bài 11: Cho hàm số: y = x4 – 4x2 + m (C) Giả sử (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Hãy xác định m sao cho hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau
Bài 12: Cho hàm số: y = x3 – 3x (1)
1 Khảo sát hàm số (1)
2 Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m(x +1) +2 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định Hãy xác định các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và tại C vuông góc với nhau
Bài 13: Cho hàm số: y = x3 –3(a–1)x2 + 3a(a–2)x +1, (a là tham số)
Với các giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho: 1 ≤ x ≤ 2
Bài 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x2 –3x +mx + 3 có ba điểm cực trị Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường cong y = 3(x–1)2
Bài 15: Cho hàm số: y =
1
x x 2
x2
− −
+ Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai
đường tiệm cận là nhỏ nhất
Bài 16: Cho hàm số: y =
2
x x 5
x2
− +
+ (C)
1 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị (C) đến các tiệm cận là một hằng số không đổi
2 Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất
Bài 16: Cho hàm số y = x2 + 2x + a – 4 Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [–2 ; 1] đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 17: Cho hàm số: y =31x3 – mx2 – x + m +1
Trang 21 Khảo sát hàm số khi m = 0
2 Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
3 Chứng minh rằng với mọi m, hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất
Bài 18: Cho hàm số: y =
1
xmx 1
x2
− −
+ Tìm các giá trị của m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho cắt các trục tọa độ
tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18
Bài 19: Cho hàm số: y =
2 mx
x ) m 6 (
x2
+−
+
1 Khảo sát hàm số khi m = 1, gọi là đồ thị (C)
2 Chứng minh rằng tiếp tuyến tại mọi điểm của đồ thị (C) luôn cắt hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không đổi
Bài 20: Cho hàm số: y =
1 x
x2
− (C) và đường thẳng (d): y = ax + b.
Giả sử đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại M A và B là giao điểm của (d) với các tiệm cận của (C)
Chứng minh rằng M là trung điểm của AB
Bài 21: Cho hàm số: y =xx+−12 (C) và điểm A(0 ; a)
Xác định a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía đối với trục Ox
Bài 22: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x4 – (m2 +10)x2 + 9 luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và trong đó có hai giao điểm nằm trong khoảng (–3 ; 3) và hai giao điểm nằm ngoài khoảng (–3 ; 3)
Bài 23: Cho hàm số: y = x3 –23mx2 +21m3
1 Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
2 Xác định m để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
Bài 24: Cho hàm số: y =
xx 2
x2− + (C)
Tìm trên đường thẳng x =1 những điểm sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau
Bài 25: Dựng đường thẳng qua hai cực trị của hàm số y =
1
xmx m
x2
+ +
+ và tính khoảng cách giữa hai cực trị.
Bài 26: Cho y = 2x3– 3x2 (C)
1 Từ (C) vẽ: y = 2x3– 3x2
2 Tìm GTLN, GTNN của: y = 2sinx3– 3sin2x
3 Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng
Bài 27: Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x + my – 2)2 + (4x + 2(m – 2)y – 1)2
Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
y =
x cos 2 x sin 3
x sin 4 x cos 3
2 4
2 4
++
Bài 29: Cho các số x, y, z thuộc [0 ; 1] và thoả mãn điều kiện x + y + z =
2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = cos(x2 + y2 +z2)
Bài 30: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
y = 2(1 + sin2x.cos4x) –
2
1 (cos4x – cos8x)
Bài 31: Giả sử x và y là các số thay đổi thoả mãn: x> 0, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
y 1
y x 1
x
−
+
−
Bài 32: Cho 3 ≤ x ≤ 6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
y = x−1+ 9−x
Bài 33: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = cosA + cosB + cosC , trong đó A, B, C là các góc của 1 tam giác bất kỳ
Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
Dạng 1: Phương trình chứa dấu căn:
1 x2 + 3x + 1 = (x+3) x2+1
2 x + 4−x2= 2 + 3x 4−x2
3 x+1+ 4−x+ (x+1)(4−x)= 5
4 x2+ x+6+ x2−1= 2x + 2
Created by kienyk 2
Trang 3-5 x−1+ x2−1= 1
6 x+1− x−2=x5+3
7 x+6+ 2x = 3(2 + x−2)
8 1+ x−x2 + 1− x−x2 = 2(x–1)4(2x2– 4x +1)
9 x2− x+2+ x2+12x+25= x2+12x+29
10 x−2– x+2= 2 x2−4 – 2x + 2
Dạng 2: Phương trình lượng giác:
11 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
12 sin2x + 2tgx = 3
13 3sinx + 2cosx = 2 + 3 tgx
14 sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x)
15 cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 14
16 sin4x + sin4(x +4π) + sin4(x –π4) =
8 9
17 48 –
x sin
2 x cos
1
2
4 − (1 + cotg2x.cotgx) = 0
18 sin( 2x)
10
3π− =21 sin( 2x)
10π +
19 sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2
20 4sin3xcos3x + 4cos3xsin3x + 3 3cos4x = 3
21 tg2x.cotg2x.cotg3x = tg2x – cotg22x + cotg3x
22 3+4 6−(16 3−8 2)cosx =4cosx− 3
23
x
sin
2
2 + 2tg2x + 5 tgx + 5cotgx + 4 = 0
24 sin4
2
x + cos4
2
x = 1 – 2sinx
25 tg2x = 11−−cossinxx
26 cos( )x+4π + cos( )x−4π + 4sinx = 2 + 2(1–sinx)
27 sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx
28 3cotg2x + 2 2 sin2x = (2 + 3 2 )cosx
29 2cos2x + sin2x.cosx + cos2x.sinx = 2(sinx + cosx)
30 sin2x + cos2x + tgx = 2
31 tg2x – tgx.tg3x = 2
32 cos3x – sin3x = cos2x – sin2x
33 3tg2x – 4tg3x = tg23x.tg2x
34 cos3x – 2cos2x + cosx = 0
35 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx
36 2tg2x +sin22x + 5tgx + 5cotgx + 4 = 0
37 sin2x + sin23x – 3cos22x = 0
38 cos3x + 2−cos2 x = 2(1 + sin22x)
39 1+ cos4x – sin4x = 2cos2x với x2− x < 2
40
2cos x x
sin x sin 1 x
Dạng 3: Phương trình logarit:
41 log2x + 2log7x = 2 + log2x.log7x
42 xlog6( x )– 365x = 07
43 logx2(x+2)+log x+2x= 2
44 log3x+7(9 + 12x + 4x2) + log2x+3(6x2 + 23x +21) = 4
45 log2(4x+4) = x – log (2x 1 3)
2 + −
46 log2(3x–1) +log1 2
3
x + = 2 + log2(x+1)
47 logx[log3(9x–6)] = 1
48 log3(9x+1–4.3x – 2) = 3x + 1
2 2
2 x log 6 log x log x 2.3
+ + +
+
5 x x
3 x x
2
2
= x2 + 3x + 2
51 ln(2x–3) + ln(4–x2) = ln(2x–3) + ln(4–x2)
52 log27(x2 – 5x + 6)3 = log ( )x21
2
1
3 − + log
9(x–3)2
53 3x+5x= 6x + 2
54 x 1 x 2 x
2
2 − − − = (x–1)2
55 6.4x– 13.6x + 6.9x = 0
56 5.3 x−1– 7.3x−1 + 1−6.3x+9x+1 = 0
Dạng 4: Giải và biện luận phương trình hoặc bất
phương trình theo tham số:
57 x2 – (1+m)x – m – 1 = 0
58 (x+1)2 – mx+2 = 0
59 2m(cosx + sinx) = 2m2 + cosx – sinx + 23
60 log
2
1(x2 + ax +1) < 1
61 logalog x + loga2 a 2logax ≥ 21 loga2
62 logxa + logaxa + a + loga2xa = 0
63 5x2+2 mx+2−5 x2+4 mx+m+2= x2 + 2mx + m
Dạng 5: Hệ phương trình:
64
= + ++x y+6 = x
9 ) y x )(
2 x ( x
2
65
=
−
−
0 6 x cos y sin
5 x 7cosy 0 sin
Trang 4
+
= + =
+
4 4 9
9
5
5
y x y
x
1 y
x
67
−
=
−+ y y= x
x
1 y
x
7 7
20 20
68
= +
−
0 y 15 xy 13
x
9 y xy
2
x
2 2
2 2
69
=
− +
= +
−
−
0 6
) y
x
(
8
1 3 )
y
x
(
y x 4
x y 4
4 4
70
=
−
19 y
x
2 y )
y
x
(
3
3
2
71
−
=
+
2 2
3 3
3
x xy
y
x 19 y
x
1
Dạng 6: Bất phương trình:
) x 1
1
(
x
2
2
−
>
+
+
73
2
3
x1
x 1
xx− + − ≥
74 x2− x+3− x2− x+1≥x−1
75 (x+5)( x+4)>4(x−1)
76 1+x− 1−x≥x
77 2x2 + x2− x−6 > 10x + 15
78 x−3+x−4 > x+4+ x−3
Dạng 7: Tìm các giá trị của tham số để (hệ) phương
trình, bất phương trình:
79
−
≤ + +
≥
− +
1
mm y xy 2
x
3 y xy 2
x
2 2
2 2
có nghiệm
80
≤ + + +
= +
a 3 y 5
x
3 y x
có nghiệm x ≥ 4
81
= +
− +
+ ≤
+
2 a ) 1 y ( x y
x
2 y
x
có nghiệm
82
−
= + =
+
2 m 3 y
x
m y
x
4
4
2
2
có nghiệm
83
= +
−
2 4 bx
5 5
a by ) 1 a
(
e
1 y x
)
1
a
( có nghiệmđúng với mọi
giá trị của tham số b
84
− + +
= + +
= + +
a 3 5 x x 5
y
a y 3
x
2 2
2
có đúng 1 nghiệm
85
+
= +y+ xy− 1− + − =
xx y 1 k( x y 1) 1
2 2
có nghiệm duy nhất
86 a.9x+(a−1).3x+2+a−1> 0 có nghiệm với mọi x
87 2asinx + (a+1)cosx = cosa có nghiệmx
88 sin6x + cos6x = asin2x có nghiệm
89 (m–1)log2
2
1(x–2) – (m –5)log
2
1(x–2) + m –1 = 0
có 2 nghiệm thoả mãn 2 ≤ x1≤ x2≤ 4
90 log x log x2 3 m(log4x2 3)
2 1
2
thuộc khoảng [32 ; +∞)
91
=
−y + a+ − = x
1 ) y x ( log ) y x ( log
2
nhất và giải phương trình khi đó
92
=
− +
−
>
−
− +
=
log m ) 5 x x ( log
4 log ) 1 x ( log ) 1 x ( log
5 x x
2 2
3 3
3
2 có 2 nghiệm phân biệt
93 (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos2x có 2
nghiệm thỏa mãn: 0 ≤ x ≤ ð
Created by kienyk 4
Trang 5-Bất đẳng thức, đẳng thức trong tam giác
1 Chứng minh rằng với mọi x > 0 và với mọi α > 1 ta luôn có: xα + α – 1 ≥αx Từ đó chứng minh rằng với ba số dương bất kỳ thì :
ac c
b b
a a
c c
b b
a
3
3 3
3 3
3
+ +
≥ + +
2 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 thì
≥ +
c 3
b 3
a 3 3
1 3
1 3 1
3 Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b = c Chứng minh rằng: 3 2a +3b2 >3 2c
4 Chứng minh rằng với 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 0 ta luôn có:
3
3 3
a + + = abc
5 Cho các số thực a, b, c, d sao cho a ≥ b ≥ c ≥ 0
Chứng minh rằng: a2 – b2 + c2≥ (a – b + c)2
6 Cho a ≥ 1 ; b ≥ 1 Chứng minh rằng: a b−1 + b a− ≤1 ab
7 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
(a + b + c)( c1)
b
1 a
1+ + ≥ 9
8 Cho
>
>y> 0
x,b 0
a
Chứng minh rằng: [ y y] ln[ax bx]
x
1 b
a ln y
9 Cho x,y > 0 Chứng minh rằng: x1+y1 ≥ x+4y
10 Cho 3 số a, b, c > 0 thoả mãn: a1+c1= b2
b c
2c b b
a
2a+−b + +− ≥
11 Cho 3 số dương a, b, c và a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh rằng:
23
3 b a
c a
c
b c
b
a
2 2 2 2 2
+
+ +
+ +
12 Cho x, y ( );4
4 π π
−
tgy tgx 1 tgy tgx− − <
13 Chứng minh rằng với mọi t ∈[ ]−1;1 ta có:
2
2 2 t t
1 1 t 1 t
14 Cho các số a, b, c thoả mãn:
= +
+
1 ca bc
a2 2 2
Chứng minh: a 34
3
4≤ ≤
3
4≤ ≤
3
4≤ ≤
−
15 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:
2 2 2 2 3 2 3 2
1 y
1 x
1 x z
z 2 z y
y 2 y x
x
+ +
+ +
16 Chứng minh rằng nếu a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì:
Trang 63a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13
17 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: cosAcosBcosC ≤ 81
18 Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn hệ thức:
C cos B cos A cos
C 2 sin
1 B 2 sin
1 A 2 sin
1
2 2
Chứng minh rằng ABC là tam giác đều
19 Cho tam giác ABC thoả mãn: sin(A+B)cos(A–B) = 2sinAsinB
Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông
20 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1 Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi
3
mC
sin
mB
sin
mA
sin
c b
21 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu các góc của nó thoả mãn:
cos 2
A cos 2
B cosC – sin2
2
A sin 2
B sinC = 2
2 1
22 Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi
sin2A + sin2B + sin2C = cos2
2
A + cos2
2
B + cos2
2 C
23 Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: a + b = (atgB + btgA)tg 2C
Chứng minh rằng tam giác ABC cân hoặc vuông
24 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
tg 2
A + tg
2
B + tgC = 2 3 sincosAAsincosBBsincosCC
+
+
25 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
( 1c)
b
1 a
1 2 c
p1 b
p1 a
26 Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: atgA + btgB = (a + b)tgA2+B Chứng minh rằng
tam giác ABC cân
27 Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện: c2sin2A + a2sin2C = b2cotg
2 B Hãy xác định hình dạng của tam giác đó
28 Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu: sin2A + sin2B = sin2C
29 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có: 2 2 2
c b a C sin ) B A sin( − = −
Các hệ thức cơ bản giữa các góc của tam giác:
sinA + sinB +sinC = 4cos
2
A cosB cos2 C2 cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin
2
A sinB sin2 C2 sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC
sinA + sinB + sinC ≤
23 3 cosA + cosB + cosC ≤ 23
Trang 7cosA.cosB.cosC ≤ 81
sin2A + sin2B + sin2C ≤ 49 cos 2A + cosB + cos2 C 2 ≤
23 3 cotgA + cotgB + cotgC ≤ 3 Dấu = xảy ra khi ABC là tam giác đều,
Trang 8Nguyên hàm, tích phân và các ứng dụng của tích phân
Tìm họ nguyên hàm và tính các tích phân sau:
∫(x + x+x1)(−x1 − x+1)
2 2
2
3 x ( tg
∫ + π cotg(x +
6
π)dx
∫1+cotsingx9xdx
∫ ∫π2 +−
0
3
) x sin x
(cos
x sin 4 x
cos
π
4
4 x 6 6
1 6
x cos x
∫
π
+
4
0
)
tgx
1
π π
2
4 4
6
x sin x cos dx
∫
π
+
2
0
2008 2008
2008
x sin
x
cos
x
∫
10
1
2x
lg
∫
+
+
− +
2 5 1
1
2 4
2
dx 1 x x
1 x
∫
π
+
4
0
6
6x cos x
sin
x
∫ +−
2
0
2
2
2
)
x
4
(
x
∫
π
2 0
2008x
∫
π
π
3
3
2x
cos
x
sin
Trang 9π
+
6
0
2
x cos
3
x
sin
xdx
1 1
2
x 1)(x 1) e
( dx
∫
π
π
π + π
+
3
6
) 6 x ( g cot
)
3
x
(
∫ ++
1
0
2
x
2
)
1
x
(
e
)
1
x
(
2 0
x sin
∫
π
+
4
0
2
) x cos
2
x
(sin
dx
∫π −
20
0
x
cos
π
+ 2 0
3
x cos
14sin x dx
∫
π
+
+
+
2
0
x cos 1
x cos
1
)
x
sin
1
(
∫ +−
b
0
2
2
2
)
x
a
(
x
1
2x lg
1
dx
5
3
