Sang kien kinh nghiem toan_Vài phương pháp khử dạng vô định trong giới hạn hàm số

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, giới hạn hàm số và ứng dụng của giới hạn hàm số là một nội dung rất quan trọng mà học sinh thường xuyên gặp, đồng thời đó là nền tảng để xây dựng nên nhiều khái niệm quan trọng như tính liên tục hoặc đạo hàm của hàm số, …Tuy nhiên các khái niệm liên quan đến giới hạn hàm số lại rất trừu tượng khiến học sinh khó nắm bắt, vì vậy mà việc áp dụng vào giải bài tập lại càng khó khăn. Đặc biệt có một lớp gồm các bài toán về giới hạn mà ta không thể tính được bằng cách áp dụng trực tiếp các định lí đã trình bày trong sách giáo khoa nên khi gặp phải học sinh thường rất lúng túng và dễ làm sai, những bài toán đó ta gọi là “các dạng vô định”. Để giải quyết những bài toán như thế, ta cần một hệ thống các phương pháp riêng và gọi là các phương pháp khử dạng vô định. Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài “Vài phương pháp khử dạng vô định trong giới hạn hàm số” để tiến hành nghiên cứu. Trong đề tài này tôi sẽ tiến hành phân tích các ví dụ cụ thể để học sinh hiểu rõ cách nhận dạng cùng phương pháp tìm giới hạn vô định của các hàm số đã cho. II. MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI Đề tài “Vài phương pháp khử dạng vô định trong giới hạn hàm số” hướng đến các mục tiêu chính sau: + Mục tiêu, nhiệm vụ trọng tâm của đề tài là xây dựng được một hệ thống phương pháp tổng quát và khoa học nhằm giúp các em học sinh biết cách nhận dạng và khử các dạng vô định thường gặp trong giới hạn hàm số, qua đó giúp các em tự tin hơn khi làm các bài toán liên quan đến giới hạn vô định, từ đó góp phần nâng cao chất lượng học sinh nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung.

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

II MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI 1

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 2

IV GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI 2

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

1 Phương pháp 2

2 Cách thực hiện 2

PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI 3

I CỞ SỞ LÝ LUẬN 3

1 Giới hạn hữu hạn 3

2 Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực 4

II CƠ SỞ THỰC TIỄN 5

1 Thuận lợi 5

2 Khó khăn 5

III THỰC TRẠNG VÀ GIẢI PHÁP 5

1 Dạng vô định 0 0 5

2 Giới hạn dạng vô định � � 13

3 Giới hạn dạng vô định � � 17

4 Giới hạn dạng vô định 0.� 20

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 22

I KẾT LUẬN 22

II KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO 24

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, giới hạn hàm số và ứng dụng của giới hạn hàm số là một nội dung rất quan trọng mà học sinh thường xuyên gặp, đồng thời đó là nền tảng để xây dựng nên nhiều khái niệm quan trọng như tính liên tục hoặc đạo hàm của hàm số, …Tuy nhiên các khái niệm liên quan đến giới hạn hàm

số lại rất trừu tượng khiến học sinh khó nắm bắt, vì vậy mà việc áp dụng vào giải bài tập lại càng khó khăn Đặc biệt có một lớp gồm các bài toán về giới hạn mà ta không thể tính được bằng cách áp dụng trực tiếp các định lí đã trình bày trong sách giáo khoanên khi gặp phải học sinh thường rất lúng túng và dễ làm sai, những bài toán đó ta gọi

là “các dạng vô định” Để giải quyết những bài toán như thế, ta cần một hệ thống các

phương pháp riêng và gọi là các phương pháp khử dạng vô định

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài “Vài phương pháp khử dạng vô định trong giới hạn hàm số” để tiến hành nghiên cứu Trong đề tài này tôi sẽ tiến hành phân tích

các ví dụ cụ thể để học sinh hiểu rõ cách nhận dạng cùng phương pháp tìm giới hạn

vô định của các hàm số đã cho

II MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài “Vài phương pháp khử dạng vô định trong giới hạn hàm số” hướng đến

các mục tiêu chính sau:

+ Mục tiêu, nhiệm vụ trọng tâm của đề tài là xây dựng được một hệ thống phươngpháp tổng quát và khoa học nhằm giúp các em học sinh biết cách nhận dạng và khửcác dạng vô định thường gặp trong giới hạn hàm số, qua đó giúp các em tự tin hơn khilàm các bài toán liên quan đến giới hạn vô định, từ đó góp phần nâng cao chất lượnghọc sinh nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung

+ Đề tài hướng tới việc trình bày nội dung rõ ràng, ngắn gọn và lôgic, phân tích cácvấn đề cần thiết một cách chi tiết, đảm bảo lượng kiến thức phù hợp với đa số họcsinh ở các trường THPT Từ đó giúp học sinh nắm vững được những kĩ năng biến đổicần thiết, phát triển khả năng tự tư duy ở học sinh khi làm toán và linh hoạt hơn trongviệc đưa ra hướng giải quyết tối ưu nhất cho các bài toán tính giới hạn vô định củahàm số từ cơ bản đến nâng cao, tránh được các sai lầm khi giải toán, góp phần làm

nền tảng cho học sinh ôn luyện để tham gia các kì thi Đại học và Cao đẳng trongtương lai

+ Nhiệm vụ khác của đề tài là cung cấp một nguồn tài liệu tham khảo hữu ích giúpcho các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện và chi tiết vềnội dung và phương pháp tìm các giới hạn vô định của hàm số trong chương trìnhmôn Toán lớp 11, đảm bảo cho giáo viên và học sinh thực hiện tốt nhiệm vụ dạy vàhọc

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các dạng vô định trong giới hạn hàm số

IV GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài tập trung nghiên cứu về các dạng giới hạn vô định thường gặp nằm trong chương trình đại số và giải tích 11

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

2 Cách thực hiện

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ với thực trạng kết quả giảng dạy môn Toán lớp 11 trong nhà trường, từ đóđúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I CỞ SỞ LÝ LUẬN

Môn Toán trong trường phổ thông là một môn học giữ vị trí vai trò vô cùngquan trọng, nó được xem như một công cụ hỗ trợ đắc lực cho nhiều môn học khácnhư: Lý, hóa, sinh,… Học tốt môn toán không những cung cấp cho học sinh nguồnkiến thức căn bản để làm nền tảng cho nhiều môn học mà còn giúp các em rèn luyệnnhững kĩ năng cần thiết như: Tính cẩn thận, chính xác, sáng tạo và tư duy logic,…Mỗi mảng kiến thức trong môn toán đều mang một tầm quan trọng riêng, trong

đó các nội dung nghiên cứu về hàm số luôn xuyên suốt trong cả cấp học, trong mảngkiến thức đó không thể không kể đến giới hạn hàm số, đây được xem như là phầnkiến thức nền tảng để học sinh tiếp cận với các kiến thức về đạo hàm của hàm số, cácđường tiệm cận cũng như mối liên quan đến sự biến thiên và đồ thị hàm số

Với tầm quan trọng như vậy, chắc hẳn học sinh luôn mong muốn có đượcphương pháp học toán hiệu quả nhất Muốn đạt được điều đó, ngoài những phươngpháp được giáo viên tóm tắt và tổng hợp lại thì yêu cầu quan trọng nhất là các emphải nắm thật chắc các định nghĩa, định lí hay công thức để có thể tránh những sailầm không đáng có khi làm bài tập Cụ thể như để hiểu rõ và vận dụng tốt các nội

dung trong chuyên đề “Vài phương pháp khử dạng vô định trong giới hạn hàm số”

mà tôi sắp trình bày sau đây, yêu cầu học sinh phải nắm vững các qui tắc về tính giớihạn hàm số như sau:

 0

x x

x x

x x

n�u L v� limg(x) c�ng d�u f(

n�u L v� limg(x) tr�i d�u lim x).g(x)

lim k

x

ne� u k cha� n x

Với các trường hợpx�x x0  , �x x0  , � � � �  ,x  , các quy tắc trên được vận dụngtương tự.

II CƠ SỞ THỰC TIỄN

số lại là một nội dung trừu tượng, khó hiểu Khi gặp các bài tập về tính giới hạn vôđịnh thì trong sách giáo khoa lại không đưa ra quy tắc tính cụ thể dẫn đến việc khókhăn cho cả giáo viên và học sinh

Qua việc giảng dạy chương trình môn Toán lớp 11 kết hợp với việc khảo sátkiểm tra định kỳ, tôi nhận thấy học sinh thường gặp phải các giới hạn vô định sau:

1 Giới hạn dạng vô định

00

Dạng vô định

0

0 là một dạng thường hay gặp đối với giới hạn hàm số, phương pháp chung để tính các giới hạn này đó là sử dụng các phép biến đổi cho phù hợp nhằm khử các thành phần có giới hạn bằng 0, đưa về các giới hạn xác định Tuy nhiên, để tránh nhầm lẫn với các dạng khác, học sinh cần nắm được cách nhận dạng rồi mới xác định phương pháp khử dạng vô định cho phù hợp Đối với dạng vô định

0

0, ta thường gặp chúng ở dạng 0

( )lim( )

0 Sau khi đã xác định giới

hạn đã cho thuộc dạng vô định

0

0, ta sẽ vận dụng phương pháp khử dạng vô định phù hợp với từng loại, trong đó có một số loại học sinh thường xuyên gặp phải như sau:

1.1 Loại 1: 0

( )lim( )

+ Trường hợp f(x), g(x) là những đa thức có bậc lớn hơn 2, học sinh có thể sử dụng sơ

đồ Hoocner để phân tích hoặc thực hiện phép chia đa thức cho nhân tử x x 0

để tìm

ra nhân tử còn lại

+ Một số trường hợp đặc biệt, các em cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đángnhớ như:

4

x

x x

Đến đây các em cần chú ý dù đã khử nhân tử chung ở cả tử và mẫu nhưng khi thay

x=1 vào công thức vẫn thu được kết quả là

0

0, có nghĩa là hàm số trên vẫn còn dạng

vô định, vì vậy các em cần phải tiếp tục phân tích để khử thành phần bằng 0 đó đến khi được một giới hạn không còn dạng vô định nữa mới thôi Như vậy giới hạn trên tiếp tục tính như sau:

3 3 1

lim

n m x

Đây là một giới hạn khá phức tạp bởi vì tuy cả tử và mẫu đều là những đa thức nhưng

ta lại không thể phân tích ngay để có nhân tử chung làx , mà trước khi tiến hành 1phân tích học sinh phải linh hoạt sử dụng kĩ năng tách và nhóm như sau:

n m

* Phương pháp: Nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp tương ứng của biểu thức chứa

căn để đưa chúng về dạng đa thức có chứa nhân tửx x , sau đó tiến hành khử dạng 0

vô định giống như loại 1

Học sinh cần ghi nhớ các lượng liên hợp thường gặp sau đây:

lim

1-3

x

x x

�

Bài giải:

Nhận thấy đây là giới hạn vô định

0

0 có tử là một căn bậc ba nên ta sẽ tiến hành nhân

cả tử và mẫu với lượng liên hợp của tử là 131-x 31-x2 , ta có:

Ví dụ 7 Tính giới hạn 1

2 1lim

5 2

x

x x



�

 

 Trong ví dụ này, vì cả tử và mẫu đều là những biểu thức chứa căn nên ta sẽ nhân cả tử

và mẫu với lượng liên hợp của cả hai biểu thức đó là x2 1 và x  5 2

7 3

x

x b

x

x c

* Phương pháp: Đối với những giới hạn vô định mà trong đó tử chứa những căn thức

không cùng bậc, chúng ta không thể tiến hành nhân lượng liên hợp ngay được mà cần

sử dụng phương pháp thêm, bớt đối với f x( ) nhằm tách giới hạn đã cho thành tổng của các giới hạn vô định có thể nhân liên hợp Tuy nhiên, khi tiến hành các bài tập loại này, học sinh cần linh hoạt xác định lượng thêm, bớt là một hằng số hay một biểu thức cho phù hợp với đặc điểm từng bài để đạt kết quả tốt nhất Để nắm rõ hơn về phương pháp này, chúng ta sẽ tiến hành thực hiện một vài ví dụ sau đây:

Ví dụ 8 Tính giới hạn 2

3 1

�

Bài giải:

Đối với bài toán này, nhiều học sinh dễ mắc phải sai lầm là thêm và bớt số 1 trên tử để

tạo thành tổng hai giới hạn vô định, tuy nhiên các em cần chú ý ở đây là phần mẫu

chính là một nhân tử kép, nếu chỉ thêm bớt số 1 trên tử thì sau khi tiến hành nhân liên

hợp và tính giới hạn, ta sẽ nhận được hai giới hạn vô cực, vậy thì bài toán lại trở thành

tính một giới hạn vô định khác Như vậy để có thể khử hoàn toàn dạng vô định khi

nhân liên hợp, chúng ta phải thêm bớt ở tử một lượng để khi nhân liên hợp có thể tạo

thành nhân tử x , tức lượng thêm bớt sẽ là một đa thức bậc nhất có giá trị bằng 1 tại 2

x=0, vì vậy ta sẽ chọn lượng thêm bớt ở đây là x và thu được lời giải như sau:1

2 2

1.4 Giới hạn vô định đối với hàm số lượng giác

Để thực hiện khử giới hạn đối với những hàm số lượng giác, học sinh cần nắm được các giới hạn cơ bản sau đối với hàm số lượng giác

Để nắm rõ hơn, học sinh có thể tham khảo một vài ví dụ dưới đây:

Ví dụ 10 Tính giới hạn 0 2

1 coslim

x

x x

Để ý ở phần tử vừa chứa hàm lượng giác, vừa chứa căn thức nên để khử dạng vô đinh

ta cần thêm bớt ở tử một lượng để tách thành tổng hai giới hạn vô định như sau:

2 2 2

2 2

x 1 13

( )lim( )

x x x

thì ta chia cả ( ), ( )f x g x cho x ktrong đó kmax{m, n}

Khi đó xảy ra một trong ba trường hợp sau:

+ Với m n (bậc của tử và mẫu bằng nhau), chia cả tử và mẫu chox n, ta được

Ví dụ 16 Tính giới hạn 2

1lim

1

x

x x

Trong ví dụ trên, lũy thừa bậc cao nhất làx , tuy nhiên đa thức ở tử lại được phân tích5

thành 5 nhân tử bậc nhất, vì vậy ta sẽ tiến hành chia mỗi nhân tử cho x, thu được kết quả như sau:

đó ta không thể vận dụng định lí về giới hạn của tổng để suy ra giới hạn cần tìm Vì vậy trước hết ta cần tiến hành quy đồng để đưa về giới hạn của một phân thức Cụ thể

Tính các giới hạn sau:

2 2

2.2 Loại 2: Nếu ( ), ( ) f x g x là các biểu thức có chứa căn.

Ta quy ước lấy giá trị

m

k là bậc của căn thức đó (trong đó k là bậc của căn thức, m là

bậc cao nhất của các số hạng trong căn thức), sau đó tiến hành chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x giống như giới hạn loại 1 và áp dụng các định lí về giới hạn tìm ra kết quả cuối cùng

Ví dụ 19 Tính giới hạn

2 1 lim

1

x

x x

2 2

3 3

5

5 4

5 4 5

�

�đã có phươngpháp giải

Như vậy ở ví dụ trên, bằng cách nhân liên hợp, ta đã đưa giới hạn cần tìm từ dạng vô định � �  về dạng vô định

vẫn là một giới hạn dạng vô đinh � � 

Vì vậy ta sẽ tiến hành khử dạng vô định bằng cách nhân và chia liên hợp như sau:

Vì biểu thức3 x33x2  x22x chứa các căn thức không cùng bậc nên ta thêm bớt

một lượng thích hợp để tách thành tổng hai giới hạn và tiến hành nhân liên hợp để khử dạng vô định

( ) ( )lim

x x x

�

�đã có phương pháp giải

111

x + x+ 2

� �

Bài giải:

     

2

2 2

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Để kiểm tra tính ứng dụng của đề tài, tôi đã tiến hành thực nghiệm đối với mộtlớp cơ bản và một lớp nâng cao và thu được kết quả như sau:

Bảng 1: Kết quả bài kiểm tra trước khi thực nghiệm

Lớp Sĩ số Dưới điểm 5 Từ 5 đến 8 điểm Trên 8 điểm

Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ

Bảng 2: Kết quả bài kiểm tra sau khi thực nghiệm

Lớp Sĩ số Dưới điểm 5 Từ 5 đến 8 điểm Trên 8 điểm

Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ

Tuy nhiên, dù đã cố gắng tìm tòi nhưng đề tài cũng không thể bao quát được hếtvấn đề mà chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu sót và hạn chế Rất mong các đồng nghiệpquan tâm và có những bổ sung, góp ý cho đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn

II KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT

Để việc giảng dạy trong nhà trường đạt hiệu quả tối ưu nhất, kính mong các cấplãnh đạo bổ sung thêm nhiều tài liệu sách tham khảo, tạo điều kiện giúp đỡ học sinh

và giáo viên nghiên cứu học tập, nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ

Nhà trường cần thường xuyên tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy

Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm đểlàm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề

Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nhằm rèn luyện các kĩ năng cần thiết và phát triển tư duy, nâng cao chất lượng học tập

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Cam, ThS Lê Văn Phước (2008), Tuyển chọn 400 bài tập đại số và giải

tích 11, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

[2] Trần Văn Hạo (2007), Đại số và Giải tích 11 cơ bản, NXB Giáo dục.

[3] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Đại số và Giải tích 11 nâng cao, NXB

SỞ GD&ĐT ĐĂK LĂK

Đơn vị

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––– PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM * ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

Xếp loại:

* ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KH- GD NHÀ TRƯỜNG

Xếp loại:

* ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KH- GD CẤP TRÊN