Chuyên đề đại số sơ cấp HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Điển

Dùng các định lý trên ta dễ dàng kiểm tra tính lồi lõm của cáchàm số.... Dùng các định lý trên ta dễ dàng kiểm tra tính lồi lõm của cáchàm số... Dùng các định lý trên ta dễ dàng kiểm tra

Chuyên đề đại số sơ cấp

HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN

Chuyên đề đại số sơ cấp

HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN

Chuyên đề đại số sơ cấp

HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN

Chuyên đề đại số sơ cấp

HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN

Số điện thoại: 0944520629

Chuyên đề đại số sơ cấp

HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN

Số điện thoại: 0944520629Email: vutruong2100@gmail.com

Cấu trúc

Khái niệm

Khái niệm

Ký hiệu I (a, b) là một trong bốn tập hợp (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]trên đường thẳng thực

Ý nghĩa hình học

a) Hàm y = f (x) = c (c = const) là lồi trên toàn bộ trục số R

a) Hàm y = f (x) = c (c = const) là lồi trên toàn bộ trục số Rb) Hàm y = f (x) = x2 là lồi trên toàn bộ R.

a) Hàm y = f (x) = c (c = const) là lồi trên toàn bộ trục số Rb) Hàm y = f (x) = x2 là lồi trên toàn bộ R.

a) Hàm y = f (x) = c (c = const) là lồi trên toàn bộ trục số Rb) Hàm y = f (x) = x2 là lồi trên toàn bộ R.

a) Hàm y = f (x) = c (c = const) là lồi trên toàn bộ trục số Rb) Hàm y = f (x) = x2 là lồi trên toàn bộ R.

d) Hàm f (x) = − ln x là hàm lồi chặt trên (0, +∞)

a) Hàm y = f (x) = c (c = const) là lồi trên toàn bộ trục số Rb) Hàm y = f (x) = x2 là lồi trên toàn bộ R.

d) Hàm f (x) = − ln x là hàm lồi chặt trên (0, +∞)

Ví dụ c), d) sẽ được kiểm tra lại trong phần các định lý về hàm lồi

Tính chất 1.3.1

Giả sử f1(x), f2(x), , fn(x) là các hàm lồi xác định trên

I(a, b).Cho λi >0 ∀i = 1, n Khi đó hàm số:

λ1f1(x) + λ2f2(x) + · · · + λnfn(x)cũng là hàm số lồi trên I (a, b)

Tính chất 1.3.1

Giả sử f1(x), f2(x), , fn(x) là các hàm lồi xác định trên

I(a, b).Cho λi >0 ∀i = 1, n Khi đó hàm số:

λ1f1(x) + λ2f2(x) + · · · + λnfn(x)cũng là hàm số lồi trên I (a, b)

Tính chất 1.3.2

Nếu f (x) là hàm số liên tục và lồi trên I (a, b) Khi đó nếu:

i) g(x) là hàm lồi và đồng biến trên tập giá trị của f (x)thì g(f (x)) cũng là hàm lồi trên I (a, b)

ii) g(x) là hàm lõm và nghịch biến trên tập giá trị của

f(x) thì g (f (x)) là hàm lõm trên I (a, b)

Định lý 1.4.1

Hàm y = f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm f0(x) hữu hạntrên I (a, b) là hàm lồi trên I (a, b) khi và chỉ khi f0(x) đồng biếntrên đó

Định lý 1.4.1

Hàm y = f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm f0(x) hữu hạntrên I (a, b) là hàm lồi trên I (a, b) khi và chỉ khi f0(x) đồng biếntrên đó

Định lý 1.4.2

Hàm y = f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm f0(x) cũng liêntục trên I (a, b) là hàm lồi trên I (a, b) khi và chỉ khi f00(x) ≥ 0thỏa mãn ∀x ∈ I(a, b)

Định lý 1.4.3

Cho hàm y = f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm f0(x) hữu hạntrên I (a, b), khi đó nếu y = f (x) là hàm lồi trên I (a, b) khi và chỉkhi ∀u, v ∈ I(a, b) ta có:

f(u) − f (v) ≥ (u − v)f0(v )

Định lý 1.4.3

Cho hàm y = f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm f0(x) hữu hạntrên I (a, b), khi đó nếu y = f (x) là hàm lồi trên I (a, b) khi và chỉkhi ∀u, v ∈ I(a, b) ta có:

f(u) − f (v) ≥ (u − v)f0(v )

Định lý 1.4.4

Giả sử f (x) liên tục trên đoạn [a, b] Khi đó f (x) là hàm lồi trên

I(a, b) khi và chỉ khi:

f(x1) + f (x2)

x1+ x22



∀x1, x2∈ I (a, b)

Dùng các định lý trên ta dễ dàng kiểm tra tính lồi lõm của cáchàm số.

Dùng các định lý trên ta dễ dàng kiểm tra tính lồi lõm của cáchàm số Ví dụ:

Dùng các định lý trên ta dễ dàng kiểm tra tính lồi lõm của cáchàm số Ví dụ:

Hàm f (x) = sin x

Dùng các định lý trên ta dễ dàng kiểm tra tính lồi lõm của cáchàm số Ví dụ:

Hàm f (x) = sin x là hàm lõm trên [0, π]

Dùng các định lý trên ta dễ dàng kiểm tra tính lồi lõm của cáchàm số Ví dụ:

Hàm f (x) = sin x là hàm lõm trên [0, π] vì

f00(x) = sin00x = − sin x ≤ ∀x ∈ [0, π]

Dùng các định lý trên ta dễ dàng kiểm tra tính lồi lõm của cáchàm số Ví dụ:

Hàm f (x) = sin x là hàm lõm trên [0, π] vì

f00(x) = sin00x = − sin x ≤ ∀x ∈ [0, π]

Hàm f (x) = (x + a)p với p >1

Dùng các định lý trên ta dễ dàng kiểm tra tính lồi lõm của cáchàm số Ví dụ:

Hàm f (x) = sin x là hàm lõm trên [0, π] vì

f00(x) = sin00x = − sin x ≤ ∀x ∈ [0, π]

Hàm f (x) = (x + a)p với p >1 là hàm lồi chặt trên

(−a, +∞) vì f00(x) = p(p − 1)(x + a)p−2 >0 ∀x ∈ (−a, +∞)

Dùng các định lý trên ta dễ dàng kiểm tra tính lồi lõm của cáchàm số Ví dụ:

Dùng các định lý trên ta dễ dàng kiểm tra tính lồi lõm của cáchàm số Ví dụ:

Dùng các định lý trên ta dễ dàng kiểm tra tính lồi lõm của cáchàm số Ví dụ:

Hàm f (x) = − ln x

Hàm f (x) = − ln x là hàm lồi chặt trên (0, +∞)

Hàm f (x) = − ln x là hàm lồi chặt trên (0, +∞)Thật vậy: ∀x1, x2 ∈ (0, +∞), x1 6= x2 ta có:

(√x

1−√x2)2 >0 ⇔ x1+ x2 2 >√x

1x2

f00(x) = e

x

(1 + ex)2 >0 ∀x

Do đó theo định nghĩa hàm tựa lồi thì:

Do đó theo định nghĩa hàm tựa lồi thì:

Do đó theo định nghĩa hàm tựa lồi thì:

Do đó theo định nghĩa hàm tựa lồi thì:

Do đó theo định nghĩa hàm tựa lồi thì:

Ví dụ, xét hàm số f (x) = − cos x trên (0, π) ta có:

Do đó theo định nghĩa hàm tựa lồi thì:

Ví dụ, xét hàm số f (x) = − cos x trên (0, π) ta có:

f0(x) = sin x ⇒ f00(x) = cos x không thỏa mãn điều kiện

f00(x) ≥ 0 ∀x ∈ (0, π) do đó f (x) không phải là hàm lồi trên (0, π)

Do đó theo định nghĩa hàm tựa lồi thì:

Ví dụ, xét hàm số f (x) = − cos x trên (0, π) ta có:

f0(x) = sin x ⇒ f00(x) = cos x không thỏa mãn điều kiện

f00(x) ≥ 0 ∀x ∈ (0, π) do đó f (x) không phải là hàm lồi trên (0, π)Nhưng ∀x1, x2 >0 thỏa mãn x1+ x2 < π ta lại có:

Do đó theo định nghĩa hàm tựa lồi thì:

Ví dụ, xét hàm số f (x) = − cos x trên (0, π) ta có:

f0(x) = sin x ⇒ f00(x) = cos x không thỏa mãn điều kiện

f00(x) ≥ 0 ∀x ∈ (0, π) do đó f (x) không phải là hàm lồi trên (0, π)Nhưng ∀x1, x2 >0 thỏa mãn x1+ x2 < π ta lại có:

⇒ f (x) = − cos x là hàm tựa lồi trên [0, π]

Hàm f có đạo hàm hữu hạn và lồi trên I (a, b).

Trong (∗) thay y = xi ta được

f(x) − f (xi) ≥ xf0(xi) − xif0(xi) ∀ i = 1, n

Trong (∗) thay y = xi ta được

Trong (∗) thay y = xi ta được

Trong (∗) thay y = xi ta được

Hàm lồi theo từng biến

Hàm lồi theo từng biến

Kí hiệu D = {(x1, x2, , xn)|xi ∈ [ai, bi] i = 1, n}

Hàm lồi theo từng biến

Kí hiệu D = {(x1, x2, , xn)|xi ∈ [ai, bi] i = 1, n}Miền D được gọi là n- khối hộp

Hàm lồi theo từng biến

Kí hiệu D = {(x1, x2, , xn)|xi ∈ [ai, bi] i = 1, n}

Miền D được gọi là n- khối hộp

Những điểm (x1, , xn) mà xi = ai hoặc xi = bi ∀i = 1, , nđược gọi là đỉnh của khối hộp Như vậy một n−khối hộp có 2n

đỉnh

Hàm lồi theo từng biến

Kí hiệu D = {(x1, x2, , xn)|xi ∈ [ai, bi] i = 1, n}

Miền D được gọi là n- khối hộp

Những điểm (x1, , xn) mà xi = ai hoặc xi = bi ∀i = 1, , nđược gọi là đỉnh của khối hộp Như vậy một n−khối hộp có 2n

Giá trị lớn nhất của hàm lồi một biến

Giá trị lớn nhất của hàm lồi một biến

Định lý 1.5.1- Giá trị lớn nhất của hàm lồi một biến

Nếu f : [a, b] → R là hàm lồi thì nó đạt giá trị lớn nhất tại a hoặc

b Nghĩa là ∀x ∈ [a, b] ta có:

f(x) 6 max{f (a), f (b)}

Giá trị lớn nhất của hàm lồi một biến

Định lý 1.5.1- Giá trị lớn nhất của hàm lồi một biến

Nếu f : [a, b] → R là hàm lồi thì nó đạt giá trị lớn nhất tại a hoặc

Cho f (x) là hàm bậc nhất trên [a, b] Khi đó:

min{f (a), f (b)} 6 f (x) 6 max{f (a), f (b)} ∀x ∈ [a, b]

Giá trị lớn nhất của hàm lồi nhiều biến

Giá trị lớn nhất của hàm lồi nhiều biến

Định lý 1.5.2 - Giá trị lớn nhất của hàm lồi nhiều biến

Nếu hàm F (x1, x2, , xn) xác định trên D là lồi theo biến

69 + 2r p

q −r qp2 (1)

69 + 2r p

q −r qp2 (1)Chứng minh:

69 + 2r p

q −r qp2 (1)Chứng minh: Xét hàm F (a, b, c) = (a + b + c)1

a +1

b + 1c



trên D = [p, q] × [p, q] × [p, q]

69 + 2r p

q −r qp2 (1)Chứng minh: Xét hàm F (a, b, c) = (a + b + c)1

a +1

b + 1c



trên D = [p, q] × [p, q] × [p, q]

Hàm số F (a, b, c) là lồi theo mỗi biến

69 + 2r p

q −r qp2 (1)Chứng minh: Xét hàm F (a, b, c) = (a + b + c)1

a +1

b + 1c

69 + 2r p

q −r qp2 (1)Chứng minh: Xét hàm F (a, b, c) = (a + b + c)1

a +1

b + 1c

69 + 2r p

q −r qp2 (1)Chứng minh: Xét hàm F (a, b, c) = (a + b + c)1

a +1

b + 1c

Theo Định lí 1.5.2 hàm số F (a, b, c) đạt giá trị lớn nhất tại mộttrong 23 = 8 đỉnh của khối hộp Khi đó a, b, c nhận giá trị p hoặc q

Theo Định lí 1.5.2 hàm số F (a, b, c) đạt giá trị lớn nhất tại mộttrong 23 = 8 đỉnh của khối hộp Khi đó a, b, c nhận giá trị p hoặc qNếu các số a, b, c nhận n giá trị p và 3 − n giá trị q (n ≤ 3) thì :

Theo Định lí 1.5.2 hàm số F (a, b, c) đạt giá trị lớn nhất tại mộttrong 23 = 8 đỉnh của khối hộp Khi đó a, b, c nhận giá trị p hoặc qNếu các số a, b, c nhận n giá trị p và 3 − n giá trị q (n ≤ 3) thì :

đó n(3 − n) = 2

Theo Định lí 1.5.2 hàm số F (a, b, c) đạt giá trị lớn nhất tại mộttrong 23 = 8 đỉnh của khối hộp Khi đó a, b, c nhận giá trị p hoặc qNếu các số a, b, c nhận n giá trị p và 3 − n giá trị q (n ≤ 3) thì :

đó n(3 − n) = 2

⇒a+ b + c1

a +1

b + 1c



69 + 2rp

rqp

2

Từ ví dụ trên ta có các bài toán tổng quát.

Từ ví dụ trên ta có các bài toán tổng quát.

2

4 nếu n chẵn và kn= n

2− 1

Từ ví dụ trên ta có các bài toán tổng quát.

Cho a1, a2, , an∈ [p, q] (p ≥ 0) Tìm giá trị lớn nhất của biểuthức :

P = (α1a1+ · · · + αnan)β1

a1 + · · · +βan

n



Ví dụ 1.5.2

Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

xy+ yz + zx − 2xyz ≤ 277

Ví dụ 1.5.2

Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

xy+ yz + zx − 2xyz ≤ 277Chứng minh:

Ví dụ 1.5.2

Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

xy+ yz + zx − 2xyz ≤ 277Chứng minh:

Ta có:

xy+ yz + zx − 2xyz = x(y + z) + yz − 2xyz

= x(1 − x) + yz − 2xyz

Ví dụ 1.5.2

Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

xy+ yz + zx − 2xyz ≤ 277Chứng minh:

Ta có:

xy+ yz + zx − 2xyz = x(y + z) + yz − 2xyz

= x(1 − x) + yz − 2xyzMặt khác: yz 6 (y + z)2

2

4

Cố định x xét hàm số:

f(yz) = x(1 − x) + yz − 2xyz − 277 trên



0,(1 − x)24



Cố định x xét hàm số:

f(yz) = x(1 − x) + yz − 2xyz − 277 trên



0,(1 − x)24



f là hàm tuyến tính theo yz nên f đạt giá trị lớn nhất tại 0 hoặc(1 − x)2

4

Cố định x xét hàm số:

f(yz) = x(1 − x) + yz − 2xyz − 277 trên



0,(1 − x)24



60

Cố định x xét hàm số:

f(yz) = x(1 − x) + yz − 2xyz − 277 trên



0,(1 − x)24



Cố định x xét hàm số:

f(yz) = x(1 − x) + yz − 2xyz − 277 trên



0,(1 − x)24



Từ đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh

Kết luận:

Đối với những bài toán tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) mà sử dụngđịnh lí về giá trị cực biên của hàm lồi thường có dạng tìm giá trịlớn nhất (nhỏ nhất) trên một đoạn xác định (đối với hàm mộtbiến) hoặc trên một khối hộp (đối với hàm nhiều biến) Đối vớinhững bài có thêm điều kiện phụ thì ta thường đưa hàm số về mộtbiến và ta tìm được đoạn xác định của biến đó Khi đó ta mới ápdụng được tính chất của hàm lồi Phương pháp này được gọi làphương pháp đại lượng cực biên hoặc nhìn vào điểm nút

x∈ (0; 1)

x∈ (0; 1)

Ta có f (x) liên tục trên (0; 1) và:

1 −x12



a−1 2

x3

a−1 2

x3

⇒ f00(x) > 0 ∀x ∈ (0; 1)

a−1 2

x3

⇒ f00(x) > 0 ∀x ∈ (0; 1)

⇒ f (x) là hàm lồi trên (0; 1)

Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi f (x) với



Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi f (x) với



Hay:

1n

a

= (n

2+ 1)a

na

Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi f (x) với



Hay:

1n

Xét hàm f (x) = ln x là hàm lõm trên (0; +∞).

Xét hàm f (x) = ln x là hàm lõm trên (0; +∞) Theo bất đẳngthức Jensen ta có:

Xét hàm f (x) = ln x là hàm lõm trên (0; +∞) Theo bất đẳngthức Jensen ta có:

ln δk

Ck n

Xét hàm f (x) = ln x là hàm lõm trên (0; +∞) Theo bất đẳngthức Jensen ta có:

ln δk

Ck n

n

Xét hàm f (x) = ln x là hàm lõm trên (0; +∞) Theo bất đẳngthức Jensen ta có:

ln δk

Ck n

n

Ck n

k

nC

k

nln p

Xét hàm f (x) = ln x là hàm lõm trên (0; +∞) Theo bất đẳngthức Jensen ta có:

ln δk

Ck n

n

Ck n

Xét hàm f (x) = lnp

x = ln p − ln x là hàm lồi trên (0; +∞)

Xét hàm f (x) = lnp

x = ln p − ln x là hàm lồi trên (0; +∞) Theobất đẳng thức Jensen ta có:

pn−k−1n C nk+1

pn−k−1n C nk+1

Cnk+1(Cnk+1−n− k − 1n Cnk+1) ln p

pn−k−1n C nk+1

Cnk+1(Cnk+1−n− k − 1n Cnk+1) ln p = k+ 1

X

i =1

f(xi)

X

i =1

f(xi)Chứng minh:

X

i =1

f(xi)Chứng minh:

Nếu Pn

i =1

xi = 0 ⇒ xi = 0 ∀i = 1, n Khi đó hiển nhiên ta có bấtđẳng thức cần chứng minh

Trường hợp Pn

i =1

xi 6= 0

α1i, α2i >0 và α1i + α2i = 1.

α1i, α2i >0 và α1i + α2i = 1.Hơn nữa

n

P

i =1xi, 0 ∈ [0, a]

α1i, α2i >0 và α1i + α2i = 1.Hơn nữa

n

P

i =1xi, 0 ∈ [0, a] Áp dụngbất đẳng thức Jensen đối với hàm lồi f (x) ta được:

α1i, α2i >0 và α1i + α2i = 1.Hơn nữa

n

P

i =1xi, 0 ∈ [0, a] Áp dụngbất đẳng thức Jensen đối với hàm lồi f (x) ta được:

α1i, α2i >0 và α1i + α2i = 1.Hơn nữa

n

P

i =1xi, 0 ∈ [0, a] Áp dụngbất đẳng thức Jensen đối với hàm lồi f (x) ta được:

α1i, α2i >0 và α1i + α2i = 1.Hơn nữa

n

P

i =1xi, 0 ∈ [0, a] Áp dụngbất đẳng thức Jensen đối với hàm lồi f (x) ta được:

α1i, α2i >0 và α1i + α2i = 1.Hơn nữa

n

P

i =1xi, 0 ∈ [0, a] Áp dụngbất đẳng thức Jensen đối với hàm lồi f (x) ta được:

Nhận xét: Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được một kết quảtổng quát hơn:

Nhận xét: Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được một kết quảtổng quát hơn:

Cho f (x) là hàm lồi trên [0, a] và bộ n số dương α1, , αn Lấy

xi ∈ [0, a] sao cho Pn

i =1αixi ∈ [0, a] Khi đó ta có bất đẳng thứcPetrovica suy rộng như sau :

Áp dụng bổ đề trên với mỗi j = 1, 2, , n ta có:

Áp dụng bổ đề trên với mỗi j = 1, 2, , n ta có:

Áp dụng bổ đề trên với mỗi j = 1, 2, , n ta có:

Áp dụng bổ đề trên với mỗi j = 1, 2, , n ta có:

Q

j =1(ai 1+ · · · + ain)αi

Áp dụng bổ đề trên với mỗi j = 1, 2, , n ta có:

Q

j =1(ai1+ · · · + ain)αi

Áp dụng bổ đề trên với mỗi j = 1, 2, , n ta có:

Sử dụng Bài toán 1 với m = 2, α1 = 1

p, α2= 1

q ta được :

Sử dụng Bài toán 1 với m = 2, α1 = 1

Sử dụng Bài toán 1 với m = 2, α1 = 1

xi := xiyi1−q, αi = y

q i n

P

i =1

yiq

(i = 1, n)

Trong bất đẳng thức Cauchy-Holder cho p = q = 2 và các số thực

Trong bất đẳng thức Cauchy-Holder cho p = q = 2 và các số thực

Từ bất đẳng thức Cauchy-Holder ta cũng suy ra được hệ quả sau:

Từ bất đẳng thức Cauchy-Holder ta cũng suy ra được hệ quả sau:

(7)

Áp dụng Bài toán 1 với n = 2, α1= = αm = 1

m ta được:

Áp dụng Bài toán 1 với n = 2, α1= = αm = 1

Áp dụng Bài toán 1 với n = 2, α1= = αm = 1

yi và

αi = 1

m (i = 1, m) và sử dụng tính đồng biến của hàm ln x trên(0, +∞)

Chứng minh:

Lấy f (x) = x2 là hàm lồi trên R.

Lấy f (x) = x2 là hàm lồi trên R Ta có hệ quả:

Lấy f (x) = x2 là hàm lồi trên R Ta có hệ quả:

!

Chứng minh:

Chứng minh:

Xét hàm số: f (x) = sinα

x trên đoạn [0, π] Ta có:

Chứng minh:

Xét hàm số: f (x) = sinα

x trên đoạn [0, π] Ta có:

f0(x) = α sinα −1xcos x



Áp dụng bài toán trên trong 4ABC ta có các bất đẳng thức:

Áp dụng bài toán trên trong 4ABC ta có các bất đẳng thức:

4 ∀n ∈ N*

Áp dụng bài toán trên trong 4ABC ta có các bất đẳng thức:

4 ∀n ∈ N*

Đặc biệt với n = 1 thì: sin A + sin B + sin C ≤ 3

√32

Áp dụng bài toán trên trong 4ABC ta có các bất đẳng thức:

4 ∀n ∈ N*

Đặc biệt với n = 1 thì: sin A + sin B + sin C ≤ 3

√321

Áp dụng bài toán trên trong 4ABC ta có các bất đẳng thức:

4 ∀n ∈ N*

Đặc biệt với n = 1 thì: sin A + sin B + sin C ≤ 3

√321

√3

Áp dụng bài toán trên trong 4ABC ta có các bất đẳng thức:

4 ∀n ∈ N*

Đặc biệt với n = 1 thì: sin A + sin B + sin C ≤ 3

√321

√3

∗) Với n = 2 thì: sin12A+ 1

sin2B + 1

sin2C ≥ 4

rsinC

rsinC

sinnA

2

sinnB2

sinnC2

≥ 3.2n ∀n ∈ N*

rsinC

sinnA

2

sinnB2

sinnC2

≥ 3.2n ∀n ∈ N*

∗) Với n = 1 thì: 1

sinA2

sinB2

sinC2

≥ 6

rsinC

sinnA

2

sinnB2

sinnC2

≥ 3.2n ∀n ∈ N*

∗) Với n = 1 thì: 1

sinA2

sinB2

sinC2

≥ 6

∗) Với n = 2 thì: 1

sin2 A2

sin2B2

sin2C2

≥ 12

Xét hàm số: f (x) = cos x + cot x với x ∈0,π2.

Xét hàm số: f (x) = cos x + cot x với x ∈0,π2.Ta có:

f0(x) = − sin x − sin12

x = − sin x − cot2x− 1

Xét hàm số: f (x) = cos x + cot x với x ∈0,π2.Ta có: