SKKN xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo euler” nhằm phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất của học sinh THPT

Nhìn nhận các vấn đề xung quanh các bài toán trên, chúng tôi nhận thấy một số vấn đề liên quan đến thực trạng dạy và học các vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp Xác suất, thực trạng nội

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Hội đồng thẩm định sáng kiến tỉnh Ninh Bình

1 Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tôi gồm:

T

Nơi công tác

Chức danh

Trình độ chuyên môn

Tỷ lệ % đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến

Ghi chú

1 Doãn Huy Tùng

THPTKim Sơn A

Thư ký

Đồngtác giả

2 Đinh Cao Thượng

THPTKim Sơn A

Phó hiệutrưởng Thạc sỹ 20%

Đồngtác giả

3 Lê Thị Lan Anh

THPTKim Sơn A

Phó hiệutrưởng Thạc sỹ 20%

Đồngtác giả

4 Nguyễn Xuân Trường THPT

Yên Mô A

Phó hiệutrưởng Thạc sỹ 20%

Đồngtác giả

Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo Euler” nhằm phát triển năng lực giải toán Tổ hợp - Xác suất của học sinh THPT.

2 Lĩnh vực và năm áp dụng sáng kiến:

- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và đào tạo.

- Năm áp dụng sáng kiến: Bắt đầu từ năm học 2019 - 2020

3 Các từ viết tắt:

- THPT: Trung học phổ thông

- SGK: Sách giáo khoa

4.1. Thực trạng và giải pháp cũ thường làm - Hạn chế của giải pháp cũ

Trong chương trình toán THPT các bài toán đếm và xác suất luôn là các bài toánkhiến đa số học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng

Xét bài toán nổi tiếng trong toán học Tổ hợp Xác suất “Chia kẹo Euler”

“ Có bao nhiêu cách chia n chiếc kẹo cho k em bể ”.

Kết quả và cách tư duy lời giải của bài toán này được ứng dụng giải quyết một sốbài toán sau:

+ Trích đề thi đầu vào sinh viên lớp Công nghệ thông tin Chất lượng cao (2021-2022)

Alice vừa đoạt giải quán quân trong một kì thi lập trình danh giá Ban tổ chức

trao thưởng theo cách thức sau: Có n hộp xếp trên một hàng dài và trong n hộp đó có k hộp có quà đặc biệt Alice được phép chọn ra đúng k hộp và lấy tất cả quà trong k hộp

đã chọn Ban tổ chức cho Alice biết rằng, không có hai hộp quà đặc biệt nào được xếp

cạnh nhau Nhằm tăng xác suất chọn được cả k hộp quà đặc biệt Alice quyết định sẽ chọn k hộp quà mà không có hai hộp nào cạnh nhau.

Yêu cầu: Cho hai số nguyên dương n và k Gọi C là số cách chọn k hộp mà không có

hai hộp nào đứng cạnh nhau trong dãy n hộp, hãy tính C%(10A9+7)(trong đó % là phéptoán chia lấy dư)

+ Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2020 - 2021 (VMO)

Bài 6: Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau

khi chia có thể có hộp không có viên bi nào)

a Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhaunếu có một hộp có số bi trong hau cách chia là khác nhau)

+ Trích đề tham khảo kì thi tốt nghiệp THPT năm 2020

Câu 39 Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang xếp ngẫu nhiên 6 học

sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó,

- (Bài toán liên quan vấn đề trồng rừng) Ông An trồng 3 cây lim, 4 cây long

não và 5 cây xà cừ trên một hàng một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để không có 2 cây

xà cừ nào được trồng cạnh nhau?

- (Bài toán bầu cử): Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A được a phiếu bầu,

ứng cử viên B được b phiếu bầu (a > b) Cử tri bỏ phiếu tuần tự từng người Có baonhiêu cách sắp xếp việc bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về số phiếu bầu?

- (Bài toán mua vé): Có m + n ' người đang đứng quanh quầy vé, trong đó

có n người chỉ có tiền 5.000 và m người chỉ có tiền 10.000 Đầu tiên ở quầy không có tiền, vé giá 5.000 Hỏi có bao nhiêu cách xếp m + n người thành một hàng để không

một người nào phải chờ tiền trả lại?

Nhìn nhận các vấn đề xung quanh các bài toán trên, chúng tôi nhận thấy một số vấn đề liên quan đến thực trạng dạy và học các vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp Xác suất, thực trạng nội dung các đề thi cũng như ưu, nhược điểm của các giải pháp trong dạy và học để giải quyết các bài toán trong nội dung này .

o Các bài toán nêu trên đều ở mức vận dụng và vận dụng cao có nội dung thực

tiễn, xuất phát từ những vấn đề trong thực tế Điều này phù hợp với cách tiếp cậnchương trình PT mới 2018 nhằm phát triển năng lực giải quyết tình huống

® Để giải quyết các bài toán cần sử dụng toán nền tảng (kiến thức chương II

ĐS&GT 11 Tổ hợp - Xác suất theo chương trình hiện tại và còn được trang bị trong nộidung chương trình cả 3 khối 10,11,12 theo chương trình GDPT mới 2018) và sử dụngphương pháp tư duy được đề cập đến trong bài toán “Chia kẹo Euler”

© Sách giáo khoa viết còn mang tính hàn lâm: các bài tập chỉ chủ yếu dừng lại

mức nhận biết và thông hiểu; trong khi nội dung này được đề cập đến trong các đề thiđại học ; thi THPT Quốc gia trước đây (bây giờ là kì thi tốt nghiệp THPT); thi học sinh

© Sách tham khảo; nguồn tài liệu trên mạng Internet hầu như không đề cập đến

một cách hệ thống các bài toán theo phương pháp tư duy được trình bày trong lời giảibài toán “Chia kẹo Euler” mà chỉ xuất hiện rải rác

© Vấn đề dạy học của giáo viên:

Khi giảng dạy các phần kiến thức thuộc nội dung tổ hợp xác suất giáo viên gặpphải rất nhiều khó khăn trong việc định hướng cũng như hướng dẫn học sinh tiếp cận lờigiải cho bài toán, chia các dạng toán sao cho hợp lý nhất Thông thường đa số giáo viênchỉ dạy sao cho học sinh nắm được càng nhiều bài càng tốt, để từ đó khi đi thi gặp bàiquen thuộc là có thể làm được Hoặc nếu có định hình chia dạng để dạy cho học sinh thìcũng chỉ là chia theo đặc điểm của đối tượng tham gia vào bài toán (đếm người; đếm đồvật; đếm hình học.), mà rõ ràng trong mỗi dạng đó có rất nhiều cách tư duy để giải

quyết (đa dạng phương pháp trong cùng một dạng) Điều này hạn chế tính logic trong việc xâu chuỗi các bài toán trong cùng một cách tư duy, gây khó khăn cho việc học sinh phải ghi nhớ rất nhiều phương pháp giải trong cùng một dạng toán Từ đó không phát huy được tính chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình giải toán.

cùng với đó là các phương pháp dạy học đổi mới phát triển năng lực của học sinh.

- Hệ thống lý thuyết được trình bày một cách cô đọng và ngắn gọn nhất

- Các dạng bài tập được xây dựng một cách hệ thống, có phân chia các mức độ,quá trình hình thành lời giải có sự phân tích về cách tư duy và con đường tìm lời giảitrên cơ sở giả thiết từ đó giúp học sinh tạo được thói quen tư duy liên kết khi gặp cácbài toán lạ

- Bài tập được thiết kế chủ yếu theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện chohọc sinh có khả năng phát huy hết năng lực của bản thân

* Nội dung giải pháp trong sáng kiến (Phụ lục 1)

Có thể được tóm tắt như sau:

- Phần thứ nhất: Cung cấp lại một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản của đại số tổ

hợp và xác suất

- Phần thứ hai: Giới thiệu nội dung bài toán “chia kẹo Euler”, cách giải và các kết quả.

- Phần thứ ba: Xây dựng một số dạng toán thường gặp vận dụng kết quả và cách tư duy

của bài toán “chia kẹo Euler”, cụ thể gồm 7 dạng:

+ Dạng 1: Đếm số nghiệm nguyên của phương trình, bất phương trình.

+ Dạng 7: Các bài toán vận dụng “tư duy vách ngăn’ ”.

- Phần thứ tư: Hệ thống bài tập vận dụng dưới hình trắc nghiệm.

- Phần thứ năm: Thiết kế hệ thống câu hỏi đánh giá, kiểm tra sau nội dung kiến thức

giúp học sinh nắm được bài và vận dụng kiến thức vào giải quyết các tình huống có liênquan trong quá trình học tập

Như vậy: Giải pháp mới đã giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trong quá trình học

tập Kiến thức cần thiết chỉ nằm trong khuôn khổ của sách giáo khoa hiện hành, khôngphải nhớ quá nhiều dạng bài tập một cách máy móc, không phải tốn kém trong quá trìnhmua tài liệu tham khảo Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh có thể tựchủ động tìm lời giải độc lập cho một bài toán dựa trên lượng kiến thức đã có sẵn Do

đó học sinh có thể chủ động và linh hoạt trước một bài toán không phải áp đặt theo mộtkhuôn mẫu định sẵn

Các giải pháp mới nêu ra đều sử dụng phần lớn những kiến thức mà học sinhđược học ngay trên lớp Sự liên kết giữa các phần kiến thức cùng với những định hướngban đầu khiến cho bài toán trở nên quen thuộc và dễ tiếp cận Việc vận dụng một cáchphù hợp vào từng bài toán cụ thể luôn tạo ra sự mới mẻ nhưng cũng rất quen thuộc vớihọc sinh Các bài tập vận dụng giải pháp mới hầu như là những bài toán đã xuất hiệntrong các tài liệu tham khảo cũng như trong các Đề thi đại học trong những năm gầnđây nhưng được tiếp cận một cách hoàn toàn mới mẻ nhưng đồng thời rất gần gũi vớimức độ suy luận của các em học sinh

5 Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được

5.1 Hiệu quả về kinh tế:

+ Tài liệu in ấn giá thành thấp

+ Học sinh có thể tự học và tự nghiên cứu tài liệu do đó tránh được việc học thêmgây lãng phí và tốn kém

5.2 Hiệu quả xã hội

+ Có tính thực tiễn cao: Kiến thức chỉ nằm trong SGK hiện hành Sáng kiến tập

trung vào việc phân tích tư duy giúp học sinh tìm lời giải Hệ thống ví dụ và bài tậpmang tính sáng tạo, đáp ứng được yêu cầu về đổi mới Bài tập được xây dựng kết hợpgiữa tự luận và trắc nghiệm; đặc biệt bài tập tự luyện chỉ xây dựng dưới hình thức trắcnghiệm phù hợp với tình hình thi cử hiện tại Các bài toán trong đề thi đại học trướcđây; đề thi tốt nghiệp THPT trong những năm gần đây; đề thi HSG tỉnh và quốc gia vàcác đề ĐGNL của các trường ĐH sử dụng cách định hướng tư duy của giải pháp có thểgiải quyết một cách dễ dàng

+ Hình thành các phẩm chất năng lực của học sinh, phù hợp với các yêu cầu

của chương trình giáo dục PT mới: Học sinh chủ động, sáng tạo trong học tập Phát huyđược sự hứng thú và niềm đam mê trong học tập Từ đó tự tin tham gia các kì thi kiểmtra định kì hoặc các cuộc thi học sinh giỏi;

+ Tính kết nối và chia sẻ: Thông qua trao đổi và chia sẻ sáng kiến này với các

giáo viên trong trường cũng như các đơn vị khác đã giúp giáo viên trong việc dạy họctheo phương pháp mới, xác định được các nội dung trọng tâm của bài, giáo viên sửdụng như tài liệu tham khảo, sáng kiến giúp cho giáo viên giảm bớt được nhiều côngsức trong việc soạn bài, chuẩn bị bài lên lớp Đặc biệt, giúp giáo viên có được một sốdạng toán hay để có thể áp dụng trong quá trình biên soạn đề thi Trong nhóm tác giảcủa sáng kiến, đều từng là thành viên ban soạn thảo đề thi của Sở; ngân hàng đề thi của

Sở và có người tham gia ban soạn thảo đề của Bộ

+ Tính giáo dục định hướng: định hướng cho học sinh khi học tập và nghiên

cứu cần đề cao phương pháp tư duy và khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết cácvấn đề thực tiễn

Đặc biệt, khi ứng dụng sáng kiến trong môn Toán tại trường THPT Kim Sơn A,huyện Kim Sơn, tỉnh Ninh Bình đã cho kết quả nổi bật như sau:

Số lượng học sinh được

nhận giải thưởng Đinh

Điểm trung bình môn

Toán trong kì thi tốt

THPT cấp tỉnh (01 giải nhì). (02 giải Ba, 01 giải Khuyến

Số lượng học sinh

được nhận giải thưởng

Đinh Bộ Lĩnh do có

kết quả cao trong kỳ

thi THPT Quốc gia

Điểm trung bình môn

Toán trong kì thi tốt

- Các thầy cô trong nhóm tác giả đều là những người hướng dẫn và giảngdạy trực tiếp bộ môn Toán cho em Nguyễn Thị Thu Hằng - học sinh lớp 12B1 trườngTHPT Kim Sơn A đạt vòng nguyệt quế chương trình chung kết năm “Đường lên đỉnhOlympia” năm thứ 20

- Năm học 2020 - 2021: giảng dạy em Nguyễn Hoàng Anh lớp 12B1trường THPT Kim Sơn A đạt điểm 9.8 môn Toán, trở thành thủ khoa của tỉnh NinhBình ở 2 khối thi là B và D07

6 Điều kiện và khả năng áp dụng:

6.1 Điều kiện áp dụng:

- Học sinh lớp 11,12 THPT theo chương trình hiện hành; sau này cả lớp10,11,12 THPT và học sinh THCS (theo chương trình GDPT mới)

- Kiến thức nền tảng: TỔ HỢP XÁC SUẤT

+ Phù hợp với nội dung chương trình GDPT hiện hành và CT GDPT mới 2018;

xu thế ra đề thi trong các kì thi quốc gia; kì thi ĐGNL

+ Trong tình hình dịch bệnh như hiện nay, việc dạy và học có thể phải tiến hànhtheo hình thức trực tuyến Khi đó rõ ràng việc tương tác giữa thầy và trò có hạn chếhơn, yêu cầu với người học cũng cao hơn ở tính tự giác và tìm tòi Vì vậy, càng thấyđược tính khả thi của giải pháp được đề cập đến

Ninh Bình, tháng 05 năm 2021

Doãn Huy Tùng

PHỤ LỤC 1

Phần 1 MÔ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến được thiết kế theo dạng chủ đề dạy học đã được nhóm tác giả áp dụng trong quá trình giảng dạy ôn tập cho các lớp và ôn thi học sinh giỏi tại 02 nhà trường THPT Kim sơn A và THPT Yên Mô A Tùy theo mức độ của học sinh từng lớp mà các tác giả đã đưa vào các phần nội dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn.

Nội dung sáng kiến được nhóm tác giả xây dựng thành các dạng toán thường gặp trong đó vận dụng kết quả và tư duy lời giải của bài toán “chia kẹo Euler”, ở mỗi dạng được thiết kế theo cấu trúc:

Ví dụ - Lời giải - Nhận xét, hướng suy luận và tư duy.

Sáng kiến ngoài là nguồn tài liệu cho các thầy cô trong quá trình giảng dạy còn là tư liệu để các

em học sinh tự học một cách tốt nhất Các em học sinh có thể đọc lời giải và các hướng dẫn suy luận trong các ví dụ từ đó vận dụng vào làm các bài tập trong hệ thống bài tập được trình bày trong sáng kiến.

Phần 2 MỘT SÓ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VẬN DỤNG KẾT QUẢ VÀ TƯ DUY LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN “CHIA KẸO EULER”

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì:

+ Quy tắc cộng còn được mở rộng đối với các tập hợp hữu hạn, có giao khác rỗng Có

thể chứng minh được rằng, với hai tập hợp hữu hạn A và B bất kì, ta có:

Chủ ỷ: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho công việc được hoàn thành bởi nhiều hành động liên

tiếp.

2.1.2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

2.1.2.1 Hoán vị

Cho tập A gồm n phần tử Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A

được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

d p = fì\=iì

±

2.I.2.2 Chỉnh hợp

Cho tập A gồm n phần tử Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của

tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

là xác suất của biến cố A, kí hiệu là ■ ■

Chú ý: ■ là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A,

là biến cô đôi của biến cô A.

2.2 BÀI TOÁN “CHIA KẸO EULER”

2.2.1 Nội dung bài toán:

Có bao nhiêu cách chia n cái kẹo giống nhau cho k em bé?

Số các tổ hợp:

khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số

!ì Q

2.2.2 Lời giải:

Trước hết ta xét các bài toán sau:

Bài toán 1: “Cớ bao nhiêu cách chia n cái kẹo giong nhau cho k em bé sao cho em nào cũng

có kẹo, ■ ”.

Đặt n cái kẹo trên một hàng ngang, khi đó giữa n chiếc kẹo sẽ có n - 1 khoảng trống.

Nếu ta đặt k - 1 chiếc que vào k - 1 khoảng trống bất kì trong số n - 1 khoảng trống trên ta thấy n chiếc kẹo sẽ được chia thành k phần để cho k em bé theo thứ tự.

Do đó số cách chia kẹo bằng số cách chọn k - 1 khoảng trống trong số n - 1 khoảng trống tức

là

Nhận xét:

+ Từ lời giải trên ta nhận thấy, khi xếp các đối tượng trên một hàng thì giữa các đối

tượng luôn hình thành khoảng trống (hay còn gọi vách ngăn), và dễ thấy rằng để hai đối tượng trên

hàng đó không đứng cạnh nhau ta chỉ cần xếp một đối tượng khác vào khoảng trống đó Để cho đơn

giản ta gọi đây là “tư duy vách ngăn”

+ Nếu gọi số kẹo nhận được của k em bé ứng với mỗi cách chia lần lượt là

thì ■ Và hiển nhiên, số nghiệm của phương trình đó bằng chính số cách chia Từ đó

ta có kết quả bài toán sau.

Bài toán 2: “Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình

Nhận xét: Đến đây, theo sự tương ứng giữa số cách chia kẹo và số nghiệm của phương trình thì

đáp sô của bài toán chia kẹo Euler là:

2.3 MỘT SÓ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Từ kết quả của bài toán chia kẹo Euler cũng như cách tư duy để tìm ra kết quả đó, ta rút ra được một số kết luận quan trọng sau:

* KÊT LUẬN 1: Số cách chia (phânphối) n cái kẹo (sản phẩm) cho k em bé (đối tượng) sao

cho em nào cũng có kẹo (đối tượng nào cũng có sản phẩm) hay số nghiệm nguyên dương của phương

, X| í V í — í V = n: lì >k:iì.k e ¥ c* '

* KÊT LUẬN 2: Số cách chia (phânphối) n cái kẹo (sản phẩm) cho k em bé (đối tượng) hay

số nghiệm nguyên không âm của phương trình ■ " là:

Đặt ■

* KÊT LUẬN 3: Hình thành “tư duy vách ngăn’” trong việc giải quyết các bài toán đếm có

giả

thiết yêu cầu các đối tượng được xếp hoặc không xếp cạnh nhau.

Sau đây ta sẽ xét một số dạng toán đếm thường gặp vận dụng các kết luận trên đây.

2.3.1.DẠNG 1: Đếm số nghiệm nguyên của phương trình, bất phương trình

Ví dụ 1: Cho phương trình: A| 1 4 ~ Tìm số nghiệm nguyên của

1 Số nghiệm nguyên không âm của phương trình:

2 Số nghiệm nguyên dương của phương trình:

kiện bằng số nghiệm nguyên dương của phương trình:

Khi đếm số nghiệm có điều ràng buộc:

+ Điều kiện ràng buộc dạng: đặt ẩn phụ.

+ Điều kiện ràng buộc dạng: '

- Nếu chỉ có 1 biến có điều kiện đó thì áp dụng 2 cách trên.

!■ + y: + r + r , = ]4: y 3 l,ỉ =1,4

Số nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện là:

- Nếu có nhiều biến có điều kiện ràng buộc ta áp dụng cách giải 2 nhưng cần chú ỷ quy tắc bao hàm và loại trừ Cụ thể ta xét trong ví dụ tiếp theo.

Ví dụ 2: Cho phương trình: -'| 1 1 1 -L - 1 Tìm so nghiệm nguyên của

1 + Số nghiệm nguyên không âm của phương trình là:

+ Gọi ' lần lượt là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình thỏa mãn điều

kiện: Khi đó: số nghiệm thỏa mãn điều kiện là: 1'^'1

* Gọi Y là tập tất cả các nghiệm nguyên không âm của phương trình (*), suy ra: !■’ I

* Gọi _ lần lượt là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình (*) thỏa mãn

lần lượt các điều kiện: ■

+ Cách 1: Số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình bằng tổng số nghiệm nguyên

không âm của 12 phương trình: ' ' ' '

ă c?+, =I3Ớ5.

Số nghiệm là: = 1

+ Cách 2: Đặt ■■ ■■ ■ r rr "' d? 1 Khi đó số nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán bằng số nghiệm nguyên không âm của phương trình:

+ Ta có thể hiểu đơn giản hơn rằng, việc phân phối 4 viên bi cho 3 hộp cũng là công việc chia 4

cái kẹo cho 3 em bé Do đó có thể suy ra ngay đáp án bài toán.

+ Từ đó, một cách khác ta có thể phát biểu bài toán chia kẹo Euler theo “ngôn ngữ” khác như

, A ,,

sau: Sô cách phân phôi n sản phâm cho k đôi tượng là: (trong toán học đây chính là sô tô hợp

lặp chập n của k phần tử) Do đó, khi giải các bài toán tương tự ta có thể sử dụng ngay “ngôn ngữ” này

để giải quyết rất nhanh gọn.

Ví dụ 2: Một cửa hàng có 6 loại kem khác nhau Một người khách muốn mua 9 que

kem Hỏi người khách đó có bao nhiêu sự lựa chọn?

LỜI GIẢI

Số cách lựa chọn của người khách chính là số cách phân phối 9 que kem mua đươc cho 6 loại

Ìơ = 2002.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp (phân phối) 30 viên bi giống nhau vào 5 chiếc hộp

khác nhau sao cho:

1 Cách xếp là bất kì về số lượng viên bi trong mỗi hộp.

2 Do hộp 1 cần ít nhất 5 viên bi nên ta lấy luôn 5 viên bi cho hộp 1, còn lại 25 viên bi ta phân phối cho 5 hộp Số cách phân phối là: "

3 Số cách phân phối thỏa mãn bằng số cách phân phối 25 viên bi cho 5 hộp và thỏa mãn điều kiện hộp 2 và 3 đều có số bi nhỏ hơn hoặc bằng 6.

~ A , ~ âò,- CỈW=IỮ486.

Do đó, sô cách phân phôi thỏa mãn điều kiện là: ■

Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách chọn ra 6 số (có thể giống nhau) từ 9 chữ số tự nhiên

1 Cách 1: + Ta viết các chữ số 1,2,3, ,9 theo thứ tự tăng dần.

+ Ta chọn 5 số dãy 9 số đó được 1 số thỏa mãn.

Do đó sô các sô thỏa mãn là:

Nhận xét: cách lập luận thứ 2 là cách lập luận thông thường với các bài toán lập số, tức là

trải qua 2 bước: Chọn thành phần và sắp xếp.

2 + Chọn thành phần : chọn 5 số từ 9 số (các chữ số có thể lặp lại) bằng cách phân phối 5 số chọn được cho 9 chữ số tự nhiên, do đó số cách chọn là:

+ Sắp xếp: Mỗi cách chọn đó chỉ có duy nhất một số thỏa mãn điều kiện.

Ìc 5 , =1287 , 1 '

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số dạng thỏa mãn:

1. ư >h >cxỉ >e.

Do đó, sô các sô thỏa mãn là:

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số dạng ' ilL ' thỏa mãn:

1 <ữ < b < í - <iỉ < C' < 9.

LỜI GIẢI

Í1' =11 - kí’1 = s 4- 1 I 3 0 £ Í1 1 <h <c < tl <e1 £ ] 0

Đặt

Áp dụng cách giải Ví dụ 1 ta được kết quả:

Ví dụ 4: (Vé hạnh phúc) Mỗi vé xe có một dãy 6 chữ số được gọi là vé hạnh phúc nếu

tổng 3 chữ số đầu bằng tổng 3 chữ số cuối Hỏi có tất cả bao nhiêu vé hạnh phúc?

+ Số nghiệm nguyên không âm của phương trình (*):

+ Gọi Mi là tập hợp các nghiệm nguyên không âm của phương trình (*) mà

Ví dụ 1: Cho tập hợp A gồm 100 số nguyên dương đầu tiên Tìm số tập con của tập hợp

A có 3 phần tử sao cho không có 2 phần tử nào của mỗi tập con đó là hai số tự nhiên liên

Cách 2: + Ta đặt 3 phần tử của tập con được chọn vào 98 khoảng trống được tạo ra từ 97 số

không được chọn trong tập con, số cách đặt là: Đó cũng chính là số tập con thỏa mãn điều kiện.

Nhận xét: Rõ ràng cách đếm số 2 có vẻ ngắn và nhanh hơn, cách làm đó vận dụng tư duy vách

ngăn để giải quyết Tuy nhiên, cách làm đó chỉ áp dụng với bài có yếu tố không liên tiếp Còn cách làm số 1 áp dụng ngay cả khi khoảng cách giữa các phần tử của tập con tùy ỷ.

Ví dụ 2: Một tháng làm việc tại công ty, Lan được nghỉ phép 4 ngày Hỏi Lan có bao

nhiêu cách chọn 4 ngày nghỉ phép trong tháng 1 năm 2021 sao cho không có 2 ngày nghỉ phép nào liên tiếp?

LỜI GIẢI

Tháng 1 năm 2021 có 30 ngày, khi chọn được 4 ngày nghỉ thì sẽ còn lại 26 ngày không được nghỉ.

Ta đặt 4 ngày nghỉ vào 27 khoảng trống được tạo ra từ 26 ngày không được nghỉ, mỗi cách đặt

đó cho ta một cách chọn thỏa mãn yêu cầu Do đó, số cách chọn thỏa mãn:

Ví dụ 3: Cho tập hợp A gồm 2021 số nguyên dương đầu tiên Có bao nhiêu tập con của A

có 3 phần tử sao cho tổng các phần tử của tập con đó bằng 2019?

+ Số nghiệm nguyên dương của phương trình (*) là:

+ Số nghiệm nguyên dương mà a = b = c là: 1 nghiệm là (673;673;673).

+ Số nghiệm nguyên dương mà |,,_ 1 Phương trình (*)^ - ■ _ -" lẻ.

Suy ra số nghiệm là: = ""■■■, (trừ đi c nhận giá trị 673 và 2019).

+ Tương tự với 2 trường hợp ■ cũng có số nghiệm là 1008.

.0 G,K- 3.1008- 1 = 2032128.

Do đó sô nghiệm thỏa mãn yêu câu:

+ Vì mỗi tập con có 3 phân tử của A thỏa mãn yêu câu sinh ra 3! nghiệm đã tính được.

Do đó số tập con thỏa mãn là:-" ; - ;

2.3.5 DẠNG 5: Đếm hình học.

Ví dụ 1: Cho đa giác đều có 2021 đỉnh Có bao nhiêu tam giác, tứ giác có đỉnh là đỉnh của

đa giác đều đã cho sao cho không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều đã cho?

LỜI GIẢI

Từ giả thiết suy ra các đỉnh của tam giác, tứ giác không là các đỉnh kề nhau của các đỉnh đa giác ban đâu, từ đó cho ta ý tưởng cách giải như dạng toán tập con Nhưng do các đỉnh của đa giác được xếp trên đường tròn nên khi đếm ta cân cố định một đỉnh trước, tức là chọn 1 đỉnh của tam giác,

tứ giác thỏa mãn trước.

+ Đếm số tam giác thỏa mãn: Giả sử tam giác ABC là tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa

giác đều đã cho mà không cạnh nào là cạnh của đa giác.

+ Tương tự với số tứ giác thỏa mãn: 4

Nhận xét: Dễ dàng có thể suy ra bài toán tổng quát: đếm số k - giác từ n - giác đều sao cho

I

không có cạnh nào của k - giác là cạnh của n - giác Đáp số là:

Ví dụ 2: Cho đa giác đều có 2013 đỉnh Người ta tô màu đỏ cho 100 đỉnh của đa giác đều

đó Hỏi có bao nhiêu cách tô màu sao cho giữa 2 đỉnh được tô có ít nhất 3 đỉnh không

được tô màu?

LỜI GIẢI

+ Chọn đỉnh tô đâu tiên : có 2013 cách chọn.

+ Chọn 99 đỉnh còn lại: Gọi 1 ■■ 1 là số đỉnh giữa 100 đỉnh với nhau.

Khi đó: _ _ _ ■ ■ ■ '■ 1 '

Dễ dàng đêm được sô nghiệm phương trình (*) thỏa mãn (1) là:

Đó cũng chính là số cách chọn 99 đỉnh còn lại.

~ , - 20l3 C ' ;: \ + Do mỗi 100 - giác đó được đêm 100 lần, nên số cách tô màu là: 1111

Ví dụ 3: Cho tam giác có diện tích bằng 27 Một điểm P nằm trong tam giác được gọi là

'“điểm tốt”” nêu có thể tìm được 27 tia chung gốc P chia tam giác thành 27 tam giác con có

cùng diện tích? Đêm số điểm P?

LỜI GIẢI

+ Nhận xét: - Các tia PA, PB, PC đều thuộc 27 tia chung gốc P của điểm tốt P.

i: ■ ■ i: • i: • ■ đều là các sô nguyên dương.

Ví dụ 1: Cho 1 lưới gồm các ô vuông, các nút được đánh số từ 0 đên m theo chiều từ trái

sang phải và từ 0 đên n theo chiều từ dưới lên trên (như hình vẽ):

Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau từ nút (0; 0) đên nút (m; n) nêu chỉ cho phép

đi trên cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải hoặc từ dưới lên trên.

LỜI GIẢI

+ Một con đường đi thỏa mãn yêu cầu bài toán trên trải qua m + n bước do mỗi bước chỉ có 2

cách di chuyển (đây cũng chính là con đường ngắn nhất để di chuyển từ nút (0;0) đên nút (m; n)).

+ Trong m + n bước đó, ta chọn ra m bước để để di chuyển sang phải, còn n bước còn lại ta di

chuyển lên trên Khi đó số con đường di chuyển là: ' ' ■

Ví dụ 2: Trên bàn cờ 5x4 ô vuông như hình vẽ dưới đây, người chơi chỉ được di chuyển

quân theo các cạnh của hình vuông, mỗi bước đi được một cạnh Có bao nhiêu cách di

LỜI GIẢI

Di chuyển quân từ A đến B bằng 9 bước do đó đây chính là con đường di chuyển ngắn nhất, tức là ở mỗi bước di chuyển chỉ được phép lên trên hoặc sang phải Do đó theo ý trên ta suy ra số cách * u c = G; = 126.

di chuyển là: * ;

2.3.7 DẠNG 7: Vận dụng tư duy vách ngăn.

Ví dụ 1: Thầy Bình trồng 3 cây lim, 4 cây long não và 5 cây xà cừ trên một hàng một

cách ngẫu nhiên Tính xác suất để không có 2 cây xà cừ nào được trồng cạnh nhau?

LỜI GIẢI

1 rp w =l2!

-+ Ta có:

+ Biến cố A: “Không có 2 cây xà cừ nào được trồng cạnh nhau”

- Trồng 7 cây gồm lim và long não có 7! cách.

- Mỗi cách trồng 7 cây đó, giữa 7 cây có 8 khoảng trống, ta chọn 5 khoảng trống trong 8

Ví dụ 2: Trong một giải bóng đá có 10 trận đấu được diễn ra trong vòng 30 ngày Hỏi ban

tổ chức có bao nhiêu cách sắp xếp lịch thi đấu các trận đấu sao cho 2 trận đấu kề nhau phải cách nhau ít nhất một ngày?

LỜI GIẢI

Dựa theo giả thiết ta suy ra ngày thứ 1 và ngày thứ 30 mỗi ngày có 1 trận Do đó số cách sắp xếp các trận bằng số cách đặt 8 trận còn lại vào 19 khoảng trống giữa 20 ngày mà không có trận đấu diễn ra Do đó, số cách sắp xếp lịch thi đấu là: '

Ví dụ 3: Một lớp có 36 học sinh được xếp theo một hàng ngang sao cho khoảng cách giữa

hai người cạnh nhau là 0,5 mét Có bao nhiêu cách chọn ra 10 học sinh trong hàng đó để sau khi chọn ra không tồn tại khoảng trống lớn hơn 1 mét giữa hai học sinh cạnh nhau trong số các học sinh còn lại trong hàng?

LỜI GIẢI

Yêu câu bài toán chính là sô cách chọn ra 10 người trong hàng sao cho không có 2 người nào đứng cạnh nhau Giữa 26 người không được chọn có 27 khoảng trống, số cách đặt 10 người được chọn vào 27 khoảng trống cũng chính là số cách chọn thỏa mãn yêu câu.

p 4A oÁ u CỊ- =8430285.

Do đó, sô cách chọn là:

Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế ngồi mà không có hai

bạn nữ nào được xếp cạnh nhau, nếu:

n 51CÍ4Í = 432ŨŨ

Do đó, sô cách xếp là:

2.4 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Tự LUYỆN

DẠNG 1: ĐẾM SÓ NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 1: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình:

Câu 3:Một nhóm học sinh gôm 4 bạn, môi bạn mang một sô thứ tự Cô giáo có bao nhiêu cách chia 18 cái kẹo cho 4 bạn học sinh sao cho lấy số kẹo của môi bạn trừ đi số thứ tự của bạn đó ta luôn được một số không âm?

Câu 4:Gọi s là tập các số tự nhiên có 4 chữ số Bốn bạn An, Bình, Chi ,Dũng chọn môi người một số

từ Tính xác suất để 4 số chọn được của 4 bạn có tổng là 1 số ■' mà tổng các chữ số chia hết cho

Câu 4: Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng

Câu 1: Từ 2021 số tự nhiên đầu tiên có bao nhiêu cách chọn ra 3 số tự nhiên sao cho không có hai số liên tiếp nào được chọn?

A ; B ' . C . D .

Câu 2:Mỗi tháng Minh được chọn 5 ngày để nghỉ ngơi, nhưng không được phép chọn hai ngày nghỉ liên tiếp Hỏi Minh có bao nhiêu cách chọn ngày nghỉ cho mình?

Câu 3: (AIME 1986) Cho xâu nhị phân: 001101001111011 có 4 cặp 01, 3 cặp 10, 5 cặp 11 và 2 cặp

00 đứng cạnh nhau Hỏi có tất cả bao nhiêu xâu nhị phân cùng tính chất như thế?

hợp tất cả điểm 1 ' và x, y là các số nguyên nằm bên trong kể cả cạnh của hình chữ nhật

.Có bao nhiêu điểm A nằm trong phần tô đâm (kể cả các đoạn chắn )

Câu 4: Trong không gian Oxyz,

gọi S là tập hợp các điểm nguyên nằm phía trong hoặc ở trên đỉnh,

cạnh và mặt của hình lập phương cạnh 999, trong đó các cạnh song song hoặc vuông góc với trục tọa

độ, một đỉnh là gôc tọa độ và một đỉnh đôi với nó là Hỏi mặt phang đi qua bao nhiêu điểm trong tập hợp S?

Mỗi ghế có một người ngồi.

Các cô gái không ngồi ở hai đầu dãy.

Ở giữa hai cô gái không có quá hai người.

A 935

( trong lưới như hình vẽ) biết nếu thỏ di chuyển đến nút C thì sẽ bị cáo ăn thịt Hỏi thỏ có bao nhiêu cách về nhà nhanh nhất mà không bị cáo ăn thịt.

Câu 4: Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A được 5 phiếu bầu, ứng cử viên B được 4 phiếu bầuCử tri bỏ phiếu tuần tự từng người Có bao nhiêu cách sắp xếp việc bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về

số phiếu bầu?

DẠNG 7: TƯ DUY VÁCH NGĂN:

D 4 "

Câu 1: xếp 35 học sinh lớp 12B1 thành một hàng dọc, Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 12 người sao cho trong 12 người được chọn không có hai người nào đứng cạnh nhau ?

Câu 1: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình: ' ' ' ' 11

Giải:

r s > ()

.V, + T, + V- +• Ỵ 1 r« = IŨ , ( i Ị

Bài toán quy về tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình (1)

Số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) là " 1

À

Bài toán quy về tìm sô nghiệm không âm của phương trình (1)

Số nghiệm không âm của phương trình (1) là :

Câu 3: Một nhóm học sinh gôm 4 bạn, môi bạn mang một sô thứ tự Cô giáo có bao nhiêu cách chia 18 cái kẹo cho 4 bạn học sinh sao cho lấy số kẹo của môi bạn trừ đi số thứ tự của bạn đó ta luôn được một số không âm?

Số nghiệm không âm của phương trình (1) là: — ■ •

Câu 4:Gọi là tập các số tự nhiên có 4 chữ số Bốn bạn An, Bình, Chi ,Dũng chọn mỗi người một số

từ Tính xác suất để 4 số chọn được của 4 bạn có tổng là 1 số mà tổng các chữ số ■' chia hết cho

Vì (8999>3618) nên bài toán quy về tìm số nghiệm không âm của phương trình (1)

Số nghiệm không âm của phương trình (1) là :

Số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) là

Câu 3: Phân phối 60 thùng hàng giống hệt nhau cho 6 cửa hàng Tính số cách chia để mỗi cửa hàng nhận được ít nhất 6 thùng hàng?

Có duy nhất một cách sắp xếp — Số các số tự nhiên thỏa mãn là

Câu 2:Có bao nhiêu số tự nliiên ‘ I ‘ ‘ J ‘ tliỏa mãn

Câu 3:Cho tập hợp 1 Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một

khác nhau thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên một số thuộc Tính xác suất để chọn được số có tổng ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số cuối 3 đơn vị

Câu 4: Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số Tính xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng

Theo giả thiết bài toán ta đặt

Ycbt Tìm số nghiệm không âm của hệ

Số nghiệm của hệ trên là ■■ ■■

Câu 3: (AIME 1986) Cho xâu nhị phân: 001101001111011 có 4 cặp 01, 3 cặp 10, 5 cặp 11 và 2 cặp

00 đứng cạnh nhau Hỏi có tất cả bao nhiêu xâu nhị phân cùng tính chất như thế?

< > E^<<^-3)='«4S

Số các số cần tìm là

do mỗi cách chọn bộ số ta phải loại đi bộ số

,V| 4 X, 4- V, -I- V 1' ,T ? 4 ỵ, = 25

.V,: > Ũ VVC-V 1

A ' 7 " 1 ' B " 4,1. C.540 D 420

Giải:

Ta thấy rằng các xâu nhị phân thỏa mãn đề bài phải có dạng

XYXYXYXY trong đó X là một dãy các số 0 liên tiếp và Y là một dãy các số 1 liên tiếp Như thế, có tổng cộng 4 dãy

lìì - 1 T /ĩ - I - ,9 - 1 Tự - I = 5 u lìì - II - p -lị = ọ.

Sô nghiệm nguyên dương của phương trình này là Do hai dãy này chọn độc lập với nhau nên số xâu thỏa mãn là 10.56 = 560 xâu.

Câu 4: (VMO 2012) Có bao nhiêu cách xếp 5 chàng trai và 2 cô gái vào 1 dãy có 7 ghế mà:

• Mỗi ghế có một người ngồi.

• Các cô gái không ngồi ở hai đầu dãy.

• Ở giữa hai cô gái không có quá hai người.

Giải:

Ta có cách sắp xếp vị trí các cô gái là:

B G B G B

Vậy số cách sắp xếp là

Ycbt ■ Số nghiệm của hệ: (và nhân thêm hoán vị 2!.5!)

Số nghiệm nguyên của hệ là

Vì mỗi đỉnh có vai trò như nhau, và mỗi tứ giác chỉ được tính một lần

=> c

Câu 2: (HSG Tỉnh Quảng Trị 2014) Có 17 cây cau trồng xung quanh một cái ao hình tròn Người ta muốn chặt đi 4 cây Hỏi có mấy cách chặt sao cho không có 2 cây kề nhau bị chặt?

Khoảng cách giữa 4 cây lần lượt là

Ý tưởng tương tự ta sẽ giải phương trình nghiệm nguyên giống câu 1