A higher order phase field approach for crack propagation in brittle and quasi brittle structures

Crack propagation for single edge notched under mode-I loading with length-scale l0 = 0.0075 mm for a near fully separated plate, b fully separated plate in the case of second-order theo

A"Higher-Order"Phase-Field"Approach"for"Crack"Propagation"in"Brittle" and"Quasi-Brittle"Structures

Wettelijk"depot:"D/2021/10.500/107

ÑRgthgevkqp"ku"korquukdng="lwuv"uvtkxg"vq"fq"{qwt"dgut.Ò

Angela Watson

Acknowledgments

Support and assistance were invaluable throughout my dissertation writing

I would first like to acknowledge the Flemish Government funding the project under the financial support of the VLIR-UOS TEAM Project (VN2017TEA454A103) This project could not have reached its goal without this funding In addition, I am very grateful to the H2020 MSCA-RISE-project BESTOFRAC (734370), which has afforded me the opportunity to visit research institutions in order to further my scientific knowledge

I would like to give my special regards to Professor Magd Abdel Wahab

It is greatly appreciated that his excellent conceptualization and advice helped lead to exceptional results in this project

In appreciation of Professor Nguyen Xuan Hung's valuable guidance and for the unconditional and enthusiastic support throughout my doctoral journey, I would like to express my deepest gratitude

I would like to express my gratitude to my brothers, Dr Le Thanh Cuong, Dr Vu Huu Truong, and Dr Tran Minh Trang, who accompanied

me in completing this dissertation

To my colleagues at Laboratory Soete, I would like to say a heartfelt

"thank you" for their friendship, assistance, and support During our group

opinions from others that helped improve my research quality

Finally, I would like to express my enormous gratitude to my wife and

my family for everything that has been done for me This Ph.D journey would not have been possible without their encouragement and unconditional supports

Khuong Duy Nguyen Ghent, 12 December 2021

Contents

Acknowledgments iii

Contents v

List of Figures ix

List of Tables xvii

Nomenclature & Abbreviations xix

Summary xxi

Samenvatting xxvii

List of Publications xxxiii

Chapter 1 1

INTRODUCTION 1

1.1 Problem statement 1

1.2 Purpose statement 4

1.3 Research questions 8

1.4 Outline 8

Chapter 2 11

LITERATURE REVIEW 11

2.1 Fracture mechanics 11

2.2 Phase-field model 12

2.3 Heterogenous brittle failure 15

2.5 Objectives 19

2.6 Summary 20

Chapter 3 23

METHODOLOGY 23

3.1 Introduction 23

3.2 Isogeometric analysis (IGA) 24

3.2.1 NURBS basis functions 24

3.2.2 NURBS geometries 28

3.2.3 B-spline geometry refinement 31

3.2.4 Multi-patch problem 37

3.2.5 A NURBS-based finite element approach 40

3.3 Phase-field models 44

3.3.1 Phase-field approximation 44

3.3.2 A weak form of governing equations 49

3.3.3 A strong form of governing equations 52

3.3.4 Variational principles of phase-field formulations 53

3.4 Isogeometric analysis for the phase-field model 54

3.4.1 Discretization 54

3.4.2 Scheme algorithms for a phase-field fracture 56

3.4.3 Phase-field formulations 63

3.4.4 Characteristic functions 67

3.5 A mathematical model of porous functionally graded materials 70

3.6 A local refinement mesh approach 77

3.7 Pre-existing crack implementation 82

3.8 Summary 83

Chapter 4 85

RESULTS 85

4.1 Introduction 85

4.2 Crack propagation in brittle material 86

4.2.1 Homogeneous materials 86

4.2.2 Porous functionally graded materials 112

4.3 Crack propagation in quasi-brittle material 140

4.3.1 Asymmetric three-point bending concrete beam 141

4.3.2 L-shaped panel test 146

4.3.3 Mixed-mode failure of three-point bending concrete beam 149 4.4 Summary 154

Chapter 5 157

DISCUSSIONS AND SUGGESTIONS 157

5.1 Introduction 157

5.2 Conclusions 158

5.3 Suggestions for Further Research 159

Bibliography 161

List of Figures

Figure 1.1 The breakwater construction at Ca Mau province of Vietnam 3Figure 3.1 B-spline basis functions 26Figure 3.2 Quadratic B-spline curve with knot vectors

0, 0, 0,1, 2,3, 4, 4,5,5,5

= 28Figure 3.3 A comparison between NURBS and B-spline curves 29Figure 3.4 A quadratic B-spline surface with two-knot spans 30Figure 3.5 Variation of control points, basis functions, elements using knot insertion 33Figure 3.6 Variation of control points, basis functions using order elevation 34Figure 3.7 Variation of control points, basis functions using k-refinement 37Figure 3.8 Dimensions of an L-panel domain example 38Figure 3.9 Coarse mesh of the L-panel: (a) single patch and (b) multi-patch descriptions 39Figure 3.10 Refinement mesh of the L-panel: (a) single patch and (b) multi-patch descriptions 39Figure 3.11 Numerical integration in IGA 41

smeared crack 44Figure 3.13 The phase-field approach of the one-dimensional fracture surface 49Figure 3.14 A flowchart for the monolithic scheme 60Figure 3.15 A flowchart of the staggered scheme 62Figure 3.16 Different predictions of crack propagation for the single-edge notched shear test with different formulations [9] 66Figure 3.17 A material gradation of functionally graded material along the y-axis: (a) without and (b) with porosities 70Figure 3.18 Volume fraction distribution of material gradation 71Figure 3.19 Material distributions of FGM without porosities along y-axis: (a) Láme's parameter, (b) shear modulus, and (c) critical energy release rate 74Figure 3.20 Material distributions of FGM with and without porosities along y-axis: (a) Láme's parameter, (b) shear modulus, and (c) critical energy release rate 76Figure 3.21 Graded elements for FGM 77Figure 3.22 Refinement mesh of the L-panel: (a) single patch and multi-patch descriptions with (b) global refinement and (c) local refinement 78Figure 3.23 A conceptual illustration of nonconforming patches 80Figure 4.1 Boundary conditions and geometry of a single edge notched specimen under (a) mode-I and (b) mode-II loading 88

Figure 4.2 Multi-patch of single edge notched problem under mode-I loading: (a) patch definition and (b) the cubic NURBS control points for the coarsest mesh 89Figure 4.3 A refinement mesh of single edge notched problem under mode-

I loading with the effective size of h = l0 / 2 90Figure 4.4 Reaction force versus displacement for different mesh 93Figure 4.5 Crack propagation for single edge notched under mode-I loading with length-scale l0 = 0.0075 mm for (a) near fully separated plate, (b) fully separated plate in the case of second-order theory and (c) near fully separated plate, (d) fully separated plate in the case of fourth-order theory 94Figure 4.6 Reaction force versus displacement of single edge notched problem under mode-I loading in two cases of phase-field theories 95Figure 4.7 The mesh of single edge notched under mode-II loading: (a) the coarsest mesh and patch numbering and (b) the refinement mesh 97Figure 4.8 Reaction force versus displacement for a single edge notched problem under mode-II loading in two cases of phase-field theories 98Figure 4.9 A crack propagation for single edge notched problem under pure shear loading with length-scale l0 = 0.0075 mmfor (a) the second-order and (b) the fourth-order phase-field theories 99Figure 4.10 Symmetric three point bending specimen: (a) boundary conditions and geometry, (b) coarsest mesh and patch numbering, and (c) refined mesh 100Figure 4.11 Reaction force versus displacement curves of symmetric three-point bending in two cases of phase-field theories 101

the fourth-order formulation of the phase-field model at displacement

0.1 mm

u= 101Figure 4.13 The asymmetric double notched tensile problem: (a) boundary conditions and geometry [68], (b) coarsest mesh and patch definition and (c) refined mesh 103Figure 4.14 Reaction force versus displacement curves of the asymmetric double notched tensile problem in two cases of phase-field theories 104Figure 4.15 Double-crack propagation for an asymmetric double notched tensile specimen corresponds to the fourth-order phase-field theory at the (a) initial and (b) ending step 104Figure 4.16 The notched plate with holes: (a) boundary conditions and geometry, and the experimentally crack patterns: (b) fractured sample and (c) the observed crack path from Ref [9] 106Figure 4.17 The mesh of notched plate with holes example: (a) the coarsest mesh and patch numbering and (b) the refined mesh 107Figure 4.18 A notched plate example with holes: (a) the initial crack, (b) the propagated crack to the hole, (c) new appearance crack and (d) separated plate 108Figure 4.19 Reaction force versus displacement curves of the notched plate with hole example in two cases of phase-field theories 109Figure 4.20 The mesh of asymmetric notched three-point bending problem: (a) boundary conditions and geometry, (b) the coarsest mesh and patch definition, and (c) refined mesh 110

Figure 4.21 Reaction force versus displacement results of the asymmetrically three-point bending test in two cases of phase-field theories 111Figure 4.22 The asymmetrically three-point bending test: (a) crack path corresponds to the fourth-order formulation of the phase-field model, (b)experimentally observed crack pattern [122] 112Figure 4.23 Boundary conditions and geometry of a single tension edge notched plate 114Figure 4.24 The multi-patch mesh of single edge notched problem under mode-I loading: (a) the coarsest mesh, (b) the global, and (c) local refinement mesh with the effective size element h = l 0 with length-scale

0 0.0075 mm

l = 115Figure 4.25 Reaction force versus displacement 119Figure 4.26 Crack paths with cubic B-spline elements with the effective size

0 / 2

h = l , different length-scale parameters l0, Y1 rule of the mixture, and the power-law exponent parameter n=1 121Figure 4.27 Reaction force versus displacement for various power-law indexes 124Figure 4.28 Reaction force versus displacement for various power-law indexes with porous parameters 126Figure 4.29 The experimentally fractured patterns of the three-point bending beam from Ref [80]: (a) FGM, (b) non-FGM 128Figure 4.30 A three-point bending example: (a) boundary conditions and geometry (dimension in (mm)) and (b) the refined mesh 129

of the FGM three-point bending beam 129Figure 4.32 The present numerical crack patterns of the three-point bending plate: (a) FGM, (b) non-FGM 130Figure 4.33 The three-point bending plate's crack paths: (a) FGM and (b) non-FGM without porosity 131Figure 4.34 The effect of porosity parameters on the crack patterns of the FGM three-point bending plate 132Figure 4.35 The crack patterns of an asymmetrically three-point bending beam with holes: (a) an experimental result from Bittencourt [122] and (b)

a numerical result from Molnár [68] 133Figure 4.36 An asymmetrically three-point bending beam with holes test 136Figure 4.37 The numerical crack patterns of an asymmetrically three-point bending beam with holes: (a) homogeneous and (b) graded beam without porosity 137Figure 4.38 Material properties of an asymmetrically three-point bending porous FG beam with holes 139Figure 4.39 The effects of porous parameters on the crack patterns of an asymmetrically three-point bending FG beam with holes 139Figure 4.40 Asymmetric three-point bending concrete beam 142Figure 4.41 Reaction force versus displacement curves of the concrete beam 146

Figure 4.42 L-shaped panel test: (a) geometry (unit of length: mm), boundary conditions, and (b) local refinement mesh 147Figure 4.43 Reaction force versus displacement curves of the L-shaped panel test 148Figure 4.44 L-shaped panel test: (a) geometry (unit of length: mm), boundary conditions, and (b) local refinement mesh 149Figure 4.45 The geometry and boundary conditions of mixed-mode concrete beam test (unit of length: mm) 150Figure 4.46 Reaction force versus CMOD curves of the mixed-mode concrete beam 152Figure 4.47 The predicted crack patterns of the mixed-mode concrete beam compared with an experimental result from Ref [133] 154

List of Tables

Table 3-1 Set of control points of a quadratic B-spline curve 29Table 3-2 The coordination and weights of a NURBS curve 29Table 3-3 Set of control points of a quadratic B-spline surface 30Table 3-4 Set of control points of a linear B-spline surface 38Table 4-1 Computational time and number of DOFs in the different cases

of order B-spline elements 91Table 4-3 Computational time and DOF number in four cases of linear B-spline elements 116Table 4-4 Computational time and DOF number in the different cases of higher-order B-spline elements with local refinement mesh 120Table 4-5 Material properties of NiCrand ZrO2 127Table 4-6 DOF number and computational time of the multiple meshes of B-spline elements 143Table 4-7 Damage profile of the multiple meshes of B-spline elements 144

Nomenclature & Abbreviations

FEM : Finite element method

IGA : Isogeometric analysis

NURBS : Non-Uniform Rational B-splines

FGMs : Functionally graded materials

DOFs : Degree of freedoms

CZM : Cohesive zone model

3D : Three-dimensional

VUKIMS : Virtual Uncommon-Knot-Inserted Master-Slave

C : Critical energy release density

: Lamé’s first parameter

 : Phase field variable

Summary

The primary purpose of this PhD dissertation is to develop an efficient computational method based on a combination of a phase-field theory and a NURBS-based isogeometric approach (IGA) for crack propagation in a domain composed of brittle and quasi-brittle materials The work presented

in this dissertation is a part of a research project, namely "An innovative solution to protect Vietnamese coastal riverbanks from floods and erosion",

to protect the coastline of Vietnam The Flemish Government funds the project under the financial support of the VLIR-UOS TEAM Project (VN2017TEA454A103) The crucial task of the project is to investigate the applications and developments of advanced numerical methods to predict the bearing capacity of these structures subjected to ocean wave loading and coastal subsidence This dissertation contributes to developing advanced numerical methods to predict crack propagation in a concrete structure Based on the behaviors of the materials, ceramic and glass are classified as brittle materials, while a concrete-like material is considered a quasi-brittle material

In addition, the phase-field theory recently became the most popular approach in modelling crack propagation in solid mechanics Its main idea

is to use a scalar auxiliary variable, namely a phase-field variable, to model

a discontinuous zone in a continuous domain The benefits of the phase-field model are modelling complicated fracture patterns, including multiple

dimensional fracture, without using any criterion and coupling with finite element analysis as a multi-field problem

The dissertation has successfully investigated a higher-order phase-field model, including the second-order and the fourth-order formulations, to compute damages in the brittle and quasi-brittle bodies using IGA In recent years, a similarly significant advance in computational mechanics has been

to close the gap between Computer-Aided Design (CAD) and Finite Element Analysis (FEA) using IGA The key idea is to imply Non-Uniform Rational B-splines (NURBS), widely used to represent geometry in CAD software, as basis functions for the finite element analysis step The benefits

of NURBS basis functions are that they produce the exact conic geometry

at a coarse level, and therefore re-meshing can be carried out from this level without further geometry information They have also been shown to have advantages of flexibility in order to refine and elevate their order In addition, the arbitrary high-order continuity delivered automatically between elements leads to numerous advantages in problems requiring higher derivatives IGA has been studied and applied widely across computational mechanics in the last decade, including phase-field fracture modelling The high-order of the NURBS basis functions gives a promising approach for higher-order phase-field theory to an improved convergence rate Also, an interpolation order of the NURBS basis function can be chosen flexibly to determine the degree of smoothness Following several previous studies, the solutions of the fourth-order phase-field approach provide a better convergence rate and more accurate results than the second-order one However, the fourth-order phase-field equation has higher-order derivatives requiring an approximation of the numerical method to satisfy at least C1

-continuity IGA has been demonstrated to be the best candidate for this requirement because of NURBS basis functions

Unfortunately, a critical drawback in the standard IGA phase-field model is the need for an extremely fine discretization (i.e., mesh) in the predicted crack zone to capture complex crack patterns represented by the gradients of the phase-field variable Usually, a NURBS mesh can be refined

to reach an extremely fine level, but this is a global refinement mesh, and one cannot mesh in a local zone of a multi-patch problem Because the traditional IGA uses a tensor product NURBS basis function to build the global refinement mesh, it may cause numerous wasted elements for computing Therefore, this dissertation proposes to use a local refinement technique, namely Virtual Uncommon-Knot-Inserted Master-Slave (VUKIMS) The VUKIMS technique is an excellent approach to obtain a local refinement mesh using NURBS geometry in many cases of complex behavior of crack patterns, such as crack propagation adjacent to a hole or interaction of multiple cracks This technique can reduce both required memory and computational cost because numerous wasted elements can be reduced by using the local refinement mesh The studies reveal that cubic NURBS elements with the effective element size of half length-scale parameter could be used to achieve the required accuracy, while maintaining

a reasonable computational cost

Meanwhile, a few studies have been developed for quasi-brittle material with the standard phase field formulation under cohesive fracture However, they are applied to elementary geometries Also, both sharp crack topology and a peak load of these numerical results are still dependent on the length-scale number and unstable with the element size Furthermore, the general softening laws of general quasi-brittle fracture are not considered in these

phase-field model, has been introduced to overcome the drawbacks of the standard one It can be applied to both brittle and quasi-brittle material behaviors A Cornelisson's softening law is used to capture the high precision of crack propagation prediction for a concrete material with behaviors similar to the quasi-brittle one However, the non-standard phase-field formulation is still under the second-order phase-field model containing the first derivative of the phase-field variable Hence, this dissertation successfully proposes the fourth-order cohesive zone model (CZM) phase-field formulations based on the unified phase-field damage model to improve the accuracy and convergence rate of the solution As a result, the peak load and crack path results are independent of the element size and insensitive to the length-scale number by using the fourth-order CZM phase-field model These characteristics help us to choose an appropriate length-scale number and the element size to minimize computational cost and guarantee the required accuracy for the subsequent studies

Furthermore, functionally graded materials (FGMs) are made up of two different materials (e.g., metal-ceramic and ceramic-ceramic) using various gradations laws, including power, sigmoid, and exponential laws The rule

of mixture allows this material to possess a continuous and smooth gradation

in a domain It is easy to find FGMs in nature, such as the shaft of a leaf or

a feather, tree trunk, and animals' bones and skin FGMs are typically used

in structures subjected to high-temperature gradients, such as fusion reactors and aerospace structures because FGMs can reduce delamination, de-bonding, and residual stress components Technology innovation based on 3D printing shows promising potential for more efficient production of

FGMs in the future The application of this advanced technology can make FGM more prevalent in practice from medical to civil engineering However, porosities always exist as different pore sizes throughout the structures to fabricate lightweight material and the sintering process The porous structure gives a loading capacity that is lower than the loading capacity of the perfect design As a result, the influence of porosity on FGM structures' behaviors must be investigated theoretically before manufacturing

In general, the FGMs are built by mixture functions of material properties and fracture parameters depending on the physical positions in the solid They are usually described as power, sigmoid, and exponential functions considered as higher-order functions The modified mixture functions of the FGM have been proposed by adding the porosity parameter term to analyze the influence of porosity on FGM structures Hence, the modified mixture functions are still the higher-order functions that need a higher-order approximation to obtain high-accuracy results They are associated with the structures through the discrete model based on the Gauss quadrature rule Therefore, IGA plays a vital role in guaranteeing highly accurate results for the porous FGM structures because it has a more significant number of Gauss quadrature points in an element to approximate

a domain The findings reveal that the power-law index of the Voigt rule can only affect the critical force, while the porous level can significantly influence the critical force and the crack path The higher porous level may cause more severe delamination in laminated composite structures

Samenvatting

Het doel van dit proefschrift is het ontwikkelen van een efficiënte numerieke methode gebaseerd op een combinatie van een fase-veldentheorie en een op NURBS gebaseerde isogeometrische analyse (IGA) voor scheurpropagatie

in een domein dat bestaat uit broze en quasi-broze materialen Het werk gepresenteerd in dit proefschrift maakt deel uit van een onderzoeksproject, namelijk "Een innovatieve oplossing om Vietnamese kustrivieroevers te beschermen tegen overstromingen en erosie", om de kustlijn van Vietnam

te beschermen De Vlaamse overheid financiert het project met financiële steun van het VLIR-UOS TEAM Project (VN2017TEA454A103) De cruciale taak van het project is het onderzoeken van de toepassingen en ontwikkelingen van geavanceerde numerieke methoden om het draagvermogen van deze constructies die worden blootgesteld aan oceaangolfbelasting en kustverzakkingen te voorspellen Dit proefschrift draagt bij tot de ontwikkeling van geavanceerde numerieke methoden om scheurpropagatie in een betonconstructie te voorspellen Op basis van het gedrag van de materialen worden keramiek en glas geclassificeerd als broze materialen, terwijl een betonachtig materiaal als een quasi-broos materiaal wordt beschouwd

Bovendien is de faseveldentheorie tegenwoordig de populairste benadering geworden bij het modelleren van scheurpropagatie in mechanicaproblemen Het belangrijkste idee is om een scalaire

discontinue zone in een continu domein te modelleren De voordelen van het faseveldmodel zijn het modelleren van gecompliceerde breukpatronen, waaronder meerdere scheuren, samenvoegen van scheuren, vertakkingen, knikken en nucleatie, zelfs bij driedimensionale breuken, zonder gebruik te maken van enig criterium en koppeling met finiete-elementenanalyse als een interdisciplinair probleem

Dit proefschrift heeft met succes een faseveldmodel van hogere orde onderzocht, inclusief de tweede-orde en vierde-orde formuleringen, om schade in de broze en quasi-broze structuren te berekenen met behulp van IGA In de afgelopen jaren is het een even belangrijke vooruitgang in de numerieke modellering geweest om de kloof tussen Computer-Aided Design (CAD) en finiete-elementenanalyse (FEA) met behulp van IGA te dichten Het belangrijkste idee is om niet-uniforme rationale B-splines (NURBS), die veel worden gebruikt om geometrie in CAD-software weer

te geven, te impliceren als basisfuncties voor de finiete-elementenanalyse

De voordelen van NURBS-basisfuncties zijn dat ze de exacte conische geometrie op een grof niveau produceren, en daarom kan het net opnieuw worden aangebracht vanaf dit niveau zonder verdere geometrie-informatie

Er is ook aangetoond dat ze flexibiliteitsvoordelen hebben om hun bestelling

te verfijnen en te verbeteren Bovendien leidt de willekeurige continuïteit van hoge orde die automatisch tussen elementen wordt geleverd, tot talrijke voordelen bij problemen die bij hogere afgeleiden ontstaan IGA is het afgelopen decennium bestudeerd en op grote schaal toegepast in de numerieke modellering, inclusief faseveld-breukmodellering De hogere-orde van de NURBS-basisfuncties geeft een veelbelovende benadering voor hogere-orde faseveldentheorie voor een verbeterde convergentiesnelheid

Ook kan een interpolatievolgorde van de NURBS-basisfunctie flexibel worden gekozen om de mate van gladheid te bepalen In tegenstelling tot eerdere studies, bieden de oplossingen van de vierde-orde faseveldbenadering een betere convergentiesnelheid en nauwkeurigere resultaten dan de tweede-orde De faseveldvergelijking van de vierde orde heeft echter afgeleiden van hogere orde die een benadering van de numerieke methode vereisen om ten minste aan C1-continuïteit te voldoen Het is aangetoond dat IGA de beste kandidaat is voor deze vereiste vanwege

de NURBS-basisfuncties

Helaas is een kritiek nadeel in het standaard IGA-faseveldmodel de noodzaak van een extreem fijne discretisering (d.w.z net) in de voorspelde scheurzone om complexe scheurpatronen vast te leggen die worden weergegeven door de gradiënten van de faseveldvariabele Gewoonlijk kan een NURBS-net worden verfijnd om een extreem fijn niveau te bereiken, maar dit is een globaal verfijnd net, en men kan niet in een lokale zone van een multi-patchprobleem ingrijpen Omdat de traditionele IGA een NURBS-basisfunctie van het tensorproduct gebruikt hiervoor, kan dit tal van verspilde elementen voor computergebruik veroorzaken Daarom stelt dit proefschrift voor om een lokale verfijningstechniek te gebruiken, namelijk Virtual Uncommon-Knot-Inserted Master-Slave (VUKIMS) De VUKIMS-techniek is een uitstekende benadering om een lokaal verfijningsnet te verkrijgen met behulp van NURBS-geometrie in veel gevallen van complex gedrag van scheurpatronen, zoals scheurvoortplanting naast een gat of interactie van meerdere scheuren Deze techniek kan zowel het vereiste geheugen als de rekenkosten verminderen, omdat tal van verspilde elementen kunnen worden verminderd door het lokale verfijningsnet te gebruiken Uit de onderzoeken blijkt dat kubische

lengteschaalparameter kunnen worden gebruikt om de vereiste nauwkeurigheid te bereiken, terwijl de rekenkosten redelijk blijven

Ondertussen zijn er enkele onderzoeken ontwikkeld voor het broze materiaal met de standaardfaseveldformulering onder cohesieve breuk Ze worden echter toegepast op elementaire geometrieën Ook zijn zowel de topologie van scherpe scheuren als een piekbelasting van deze numerieke resultaten nog steeds afhankelijk van het lengteschaalnummer en onstabiel met de elementgrootte Bovendien wordt in deze studies geen rekening gehouden met de algemene verzwakkingswetten van algemene quasi-broze breuken Onlangs is er een uniform faseveld-schademodel geïntroduceerd, als een niet-standaard faseveldmodel, om de nadelen van het standaardmodel te overwinnen Het kan worden toegepast op zowel broos als quasi-broos materiaalgedrag De verzwakkingswet van Cornelisson wordt gebruikt om de hoge precisie vast te leggen van de voorspelling van scheurvoortplanting voor een betonmateriaal met gedrag dat vergelijkbaar is met het quasi-broze materiaal De niet-standaard faseveldformulering bevindt zich echter nog steeds onder het tweede-orde faseveldmodel dat de eerste afgeleide van de faseveldvariabele bevat Daarom stelt dit proefschrift met succes de vierde-orde cohesieve zonemodel (CZM) faseveldformuleringen voor op basis van het uniforme faseveld-schademodel om de nauwkeurigheid en convergentiesnelheid van

quasi-de oplossing te verbeteren Daardoor zijn quasi-de resultaten van quasi-de piekbelasting

en het scheurpad onafhankelijk van de elementgrootte en ongevoelig voor het lengteschaalgetal door gebruik te maken van het vierde-orde CZM-faseveldmodel Deze kenmerken helpen ons om een geschikt lengteschaalnummer en de elementgrootte te kiezen om de rekenkosten te

minimaliseren en de vereiste nauwkeurigheid voor de volgende onderzoeken te garanderen

Bovendien zijn functioneel gesorteerde materialen (FGM's) samengesteld uit twee verschillende materialen (bijvoorbeeld metaal-keramiek en keramisch-keramiek) met behulp van verschillende gradatiewetten, waaronder macht, sigmọde en exponentiële wetten De regel van het mengen zorgt ervoor dat dit materiaal een continue en vloeiende gradatie in een domein heeft Het is gemakkelijk om VGV's in de natuur te vinden, zoals de schacht van een blad of een veer, een boomstam

en botten en huid van dieren FGM's worden doorgaans gebruikt in structuren die onderhevig zijn aan hoge temperatuurgradiënten, zoals fusiereactoren en ruimtevaartstructuren, omdat FGM's delaminatie, onthechting en restspanningscomponenten kunnen verminderen Technologische innovatie op basis van 3D-printen toont veelbelovend potentieel voor een efficiëntere productie van VGV's in de toekomst Door

de toepassing van deze geavanceerde technologie kan VGV meer voorkomen in de praktijk, van in medische tot in civiele techniek Porositeit bestaat echter altijd in verschillende poriegroottes door de structuren heen

om lichtgewicht materiaal en het sinterproces te fabriceren De poreuze structuur geeft een laadvermogen dat lager is dan het laadvermogen van het perfecte ontwerp Als gevolg hiervan moet de invloed van porositeit op het gedrag van FGM-structuren theoretisch worden onderzocht voordat ze worden geproduceerd

Over het algemeen worden FGM's gebouwd door mengfuncties van materiaaleigenschappen en breukparameters, afhankelijk van de fysieke posities in de vaste stof Ze worden meestal beschreven als machts-, sigmọde- en exponentiële functies die worden beschouwd als functies van

door toevoeging van de porositeitparameterterm om de invloed van porositeit op FGM-structuren te analyseren Daarom zijn de gemodificeerde mengfuncties nog steeds de hogere-orde-functies die een hogere-orde-benadering nodig hebben om zeer nauwkeurige resultaten te verkrijgen Ze worden geassocieerd met de structuren via het discrete model op basis van

de Gauss-kwadratuurregel Daarom speelt IGA een cruciale rol bij het garanderen van zeer nauwkeurige resultaten voor de poreuze FGM-structuren, omdat het een groter aantal Gauss-kwadratuurpunten in een element heeft om een domein te benaderen De bevindingen laten zien dat

de power-law-index van de Voigt-regel alleen de kritische kracht kan beïnvloeden, terwijl het poreuze niveau de kritische kracht en het scheurpad aanzienlijk kan beïnvloeden Het hogere poreuze niveau kan ernstigere delaminatie veroorzaken in gelamineerde composietstructuren

List of Publications

Listed below are the original publications reproduced here with permission along with a dissertation summary

I Nguyen, K.D., Augarde, C.E., Coombs, W.M.,

Nguyen-Xuan, H., Abdel-Wahab, M., 2020 Non-conforming

multipatches for NURBS-based finite element analysis of

higher-order phase-field models for brittle fracture

Engineering Fracture Mechanics, 235:107133

https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2020.107133

4.406

II Khuong D Nguyen, Cuong-Le Thanh, H Nguyen-Xuan,

M Abdel-Wahab 2021 A hybrid phase-field

isogeometric analysis to crack propagation in porous

functionally graded structures Engineering with

Computers https://doi.org/10.1007/s00366-021-01518-0

7.963

III Khuong D Nguyen, Cuong-Le Thanh, FrankVogel, H

Nguyen-Xuan, M Abdel-Wahab 2021 Crack

propagation in quasi-brittle materials by fourth-order

phase-field cohesive zone model Theoretical and Applied

Fracture Mechanics (revision)

4.017

IV Khuong D Nguyen, H Nguyen-Xuan, M Abdel-Wahab

2021 Crack propagations in functionally graded material

using a phase-field NURBS-based finite element

approach Proceedings of the 4th International Conference

on Numerical Modelling in Engineering - Volume 2:

Numerical modelling in Mechanical and Materials

Engineering, NME 2021, 24-25 August, Ghent

University, Belgium (accepted)