SKKN xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo euler” nhằm phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất của học sinh THPT

Kết quả và cách tư duy lời giải của bài toán này đượ̣c ứng dụng giải quyết một số́bài toán sau: + Trích đề thi đầu và̀o sinh viên lớp Công nghệ thông tin Chấ́t lượ̣ng cao 2022 ĐHCN-

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Hội đồng thẩm định sáng kiến tỉnh Ninh Bình

1 Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tôi gồm:

Trình Tỷ lệ %

tạo ra môn sáng kiến

Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Xây dựng một số dạng toán

đếm dựa trên bài toán “chia kẹo Euler” nhằm phát triển năng lực giải toán Tổ hợp Xác suất của học sinh THPT.

-2 Lĩnh vực và năm áp dụng sáng kiến:

- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và đào tạo.

- Năm áp dụng sáng kiến: Bắt đầu từ năm học 2019 – 2020

3 Các từ viết tắt:

1

- SGK: Sách giáo khoa

4 Nội dung sáng kiến

4.1 Thực trạng và giải pháp cũ thường làm - Hạn chế của giải pháp cũ

Trong chương trì̀nh toán THPT các bài toán đêm va xac suất luôn là các bài toán khiến đa số học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng

Xét bài toán nổi tiếng trong toán học Tổ hợ̣p Xác suấ́t “Chia kẹo Euler”

“Có bao nhiêu cách chia n chiếc kẹo cho k em bé”.

Kết quả và cách tư duy lời giải của bài toán này đượ̣c ứng dụng giải quyết một số́bài toán sau:

+ Trích đề thi đầu và̀o sinh viên lớp Công nghệ thông tin Chấ́t lượ̣ng cao 2022) (ĐHCN-ĐHQGHN)

(2021-Alice vừa đoạt giải quán quân trong một kì̀ thi lập trì̀nh danh giá Ban tổ chức

trao thưởng theo cách thức sau: Có n hộp xếp trên một hàng dài và trong n hộp đó có k hộp có quà đặc biệt Alice đượ̣c phép chọn ra đúng k hộp và lấ́y tấ́t cả quà trong k hộp

đã̃ chọn Ban tổ chức cho Alice biết rằng, không có hai hộp quà đặc biệt nào đượ̣c xếp

cạnh nhau Nhằm tăng xác suấ́t chọn đượ̣c cả k hộp quà đặc biệt Alice quyết đị ̣nh sẽ chọn k hộp quà mà không có hai hộp nào cạnh nhau.

Yêu cầu: Cho hai số́ nguyên dương n và k Gọi C là số́ cách chọn k hộp mà không có

hai hộp nào đứng cạnh nhau trong dã̃y n hộp, hã̃y tính C%(10^9+7)(trong đó % là phép

toán chia lấ́y dư)

+ Trích đề thi họ̣c sinh giỏi quố́c gia năm họ̣c 2020 – 2021 (VMO)

Bài 6: Một học sinh chia tấ́t cả 30 viên bi vào 5 cái hộp đượ̣c đánh số́ 1, 2, 3, 4, 5 (sau

khi chia có thể có hộp không có viên bi nào)

a Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhaunếu có một hộp có số́ bi trong hau cách chia là khác nhau)

+ Trích đề tham khả̉o kì thi tố́t nghiệp THPT năm 2020

Câu 39 Có 6 chiếc ghế đượ̣c kê thành một hàng ngang Xếp ngẫu nhiên 6 học

sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó,

sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh Xác suấ́t để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng:

A B C D

+ Mộ̣t số́ bà̀i toá́n khá́c

- (Bài toán liên quan vấn đề trồng rừng) Ông An trông 3 cây lim, 4 cây long

não va 5 cây xa cư trên môt hang môt cach ngâu nhiên Tinh xac suất đê không co 2 cây

xa cư nao được trông canh nhau?

- (Bài toán bầu cử): Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A đượ̣c a phiếu bầu,

ứng cử viên B đượ̣c b phiếu bầu (a > b) Cử tri bỏ phiếu tuần tự từng người Có baonhiêu cách sắp xếp việc bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về số́ phiếu bầu?

- (Bài toán mua vé): Có m + n người đang đứng quanh quầy vé, trong đó

có n người chỉ có tiền 5.000 và m người chỉ có tiền 10.000 Đầu tiên ở quầy không có tiền, vé giá 5.000 Hỏi có bao nhiêu cách xếp m + n người thành một hàng để không một

người nào phải chờ tiền trả lại?

Nhìn nhận các vấn đề xung quanh các bài toán trên, chúng tôi nhận thấy một

số vấn đề liên quan đến thực trạng dạy và học các vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp Xác suất, thực trạng nội dung các đề thi cũng như ưu, nhược điểm của các giải pháp trong dạy và học để giải quyết các bài toán trong nội dung này.

 Các bài toán nêu trên đều ở mức vận dụng và vận dụng cao có nội dung thựctiễn, xuấ́t phát từ những vấ́n đề trong thực tế Điều này phù̀ hợ̣p với cách tiếp cậnchương trì̀nh PT mới 2018 nhằm phát triển năng lực giải quyết tì̀nh huố́ng

 Để giải quyết các bài toán cần sử dụng toán nền tảng (kiến thức chương IIĐS&GT 11 Tổ hợ̣p – Xác suấ́t theo chương trì̀nh hiện tại và còn đượ̣c trang bị ̣ trong nộidung chương trì̀nh cả 3 khố́i 10,11,12 theo chương trì̀nh GDPT mới 2018) và sử dụngphương pháp tư duy đượ̣c đề cập đến trong bài toán “Chia kẹo Euler”

 Sách giáo khoa viết còn mang tính hàn lâm: các bài tập chỉ chủ yếu dừng lạimức nhận biết và thông hiểu; trong khi nội dung này đượ̣c đề cập đến trong các đề thiđại học ; thi THPT Quố́c gia trước đây (bây giờ là kì̀ thi tố́t nghiệp THPT); thi học sinh

3

giỏi tỉnh, quố́c gia; thi kiểm tra đánh giá năng lực của các trường Đại học…có cả mứcvận dụng và vận dụng cao Mặt khác các bài tập đượ̣c đề cập trong sách giáo khoa cũngkhông đượ̣c phân chia theo dạng và đị ̣nh hướng các phương pháp tư duy cho học sinh.

 Sách tham khảo; nguồn tài liệu trên mạng Internet…hầu như không đề cập đếnmột cách hệ thố́ng các bài toán theo phương pháp tư duy đượ̣c trì̀nh bày trong lời giảibài toán “Chia kẹo Euler” mà chỉ xuấ́t hiện rải rác

 Vấ́n đề dạy học của giáo viên:

Khi giảng dạy các phần kiến thức thuộc nội dung tô hợp xac suất giáo viên gặpphải rấ́t nhiều khó khăn trong việc đị ̣nh hướng cũng như hướng dẫn học sinh tiếp cận lờigiải cho bài toán, chia cac dang toan sao cho hợp lý nhất Thông thương đa số giao viênchi day sao cho hoc sinh năm được cang nhiêu bai cang tốt, đê tư đo khi đi thi găp baiquen thuôc la co thê lam được Hoặc nếu có đị ̣nh hì̀nh chia dạng để dạy cho học sinh thì̀cũng chỉ là chia theo đặc điểm của đố́i tượ̣ng tham gia vào bài toán (đếm người; đếm đồvật; đếm hì̀nh học…), mà rõ ràng trong mỗi dạng đó có rấ́t nhiều cách tư duy để giải

quyết (đa dạng phương pháp trong cù̀ng một dạng) Điều này hạn chế tính logic trong việc xâu chuỗi các bài toán trong cùng một cách tư duy, gây khó khăn cho việc học sinh phải ghi nhớ rất nhiều phương pháp giải trong cùng một dạng toán Từ đó không phát huy được tính chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình giải toán.

 Vấ́n đề học của học sinh:

Đa số́ học sinh tiếp thu kiến thức một cách thụ động, lười tư duy tì̀m tòi và sángtạo; khả năng tự học chưa cao Do đó, khi tiếp cận bài toán thuộc nội dung này tuy rằng

có thể hiểu đượ̣c lời giải nhưng khả năng vận dụng để giải quyết các bài toán khác cònhạn chế do chưa hiểu rõ phương pháp tư duy

4.2 Giải pháp mới:

- Sáng kiến đượ̣c hì̀nh thành theo dạng một chủ đề dạy học (Phụ lục 2), cung cấ́p

các dạng bài tập (7 dạng) với nội dụng gắn với thực tiễn:

+ Vận dụng kết quả của bài toán “Chia kẹo Euler” (Dạng 1 đến dạng 6)

+ Vận dụng tư duy của lời giải bài toán “Chia kẹo Euler” đó là tư duy

“vách ngăn”.

cù̀ng với đó là các phương pháp dạy học đổi mới phát triển năng lực của học sinh.

- Hệ thố́ng lý́ thuyết đượ̣c trì̀nh bày một cách cô đọng và ngắn gọn nhấ́t.

- Các dạng bài tập đượ̣c xây dựng một cách hệ thố́ng, có phân chia các mức độ,quá trì̀nh hì̀nh thành lời giải có sự phân tích về cách tư duy và con đường tì̀m lời giảitrên cơ sở giả thiết từ đó giúp học sinh tạo đượ̣c thói quen tư duy liên kết khi gặp cácbài toán lạ

- Bài tập đượ̣c thiết kế chủ yếu theo hì̀nh thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho học sinh có khả năng phát huy hết năng lực của bản thân

* Nộ̣i dung giả̉i phá́p trong sá́ng kiế́n (Phụ lục 1) Có thể đượ̣c tóm tắt như sau:

- Phần thứ nhất: Cung cấ́p lại một cách có hệ thố́ng các kiến thức cơ bản của đai số tô

hợp va xac suất

- Phần thứ hai: Giơi thiêu nôi dung bai toan “chia keo Euler”, cach giai va cac kêt qua.

- Phần thư ba: Xây dưng môt số dang toan thương găp vân dung kêt qua va cach tư duy

cua bai toan “chia keo Euler”, cu thê gôm 7 dang:

+ Dạng 1: Đêm số nghiêm nguyên cua phương trình, bất phương trình.

+ Dạng 2: Đêm số cach phân phối đô vât, san phẩm.

+ Dạng 7: Cac bai toan vân dung “tư duy vach ngăn”.

- Phần thư tư: Hê thống bai tâp vân dung dươi hình trăc nghiêm.

- Phân thứ năm: Thiết kế hệ thố́ng câu hỏi đánh giá, kiểm tra sau nội dung kiến thức

giúp học sinh nắm đượ̣c bài và vận dụng kiến thức vào giải quyết các tì̀nh huố́ng có liênquan trong quá trì̀nh học tập

Như vậy: Giải pháp mới đã̃ giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trong quá trì̀nh học

tập Kiến thức cần thiết chỉ nằm trong khuôn khổ của sách giáo khoa hiện hành, khôngphải nhớ quá nhiều dạng bài tập một cách máy móc, không phải tố́n kém trong quá trì̀nhmua tài liệu tham khảo Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh có thể tự chủđộng tì̀m lời giải độc lập cho một bài toán dựa trên lượ̣ng kiến thức đã̃ có sẵn Do đóhọc sinh có thể chủ động và linh hoạt trước một bài toán không phải áp đặt theo mộtkhuôn mẫu đị ̣nh sẵn

5

Các giải pháp mới nêu ra đều sử dụng phần lớn những kiến thức mà học sinhđượ̣c học ngay trên lớp Sự liên kết giữa các phần kiến thức cù̀ng với những đị ̣nh hướngban đầu khiến cho bài toán trở nên quen thuộc và dễ tiếp cận Việc vận dụng một cáchphù̀ hợ̣p vào từng bài toán cụ thể luôn tạo ra sự mới mẻ nhưng cũng rấ́t quen thuộc vớihọc sinh Các bài tập vận dụng giải pháp mới hầu như là những bài toán đã̃ xuấ́t hiệntrong các tài liệu tham khảo cũng như trong các Đề thi đại học trong những năm gầnđây nhưng đượ̣c tiếp cận một cách hoàn toàn mới mẻ nhưng đồng thời rấ́t gần gũi vớimức độ suy luận của các em học sinh.

5 Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được

5.1 Hiệu quả̉ về kinh tế́:

+ Tai liệu in ấ́n giá thành thấ́p

+ Học sinh có thể tự học và tự nghiên cứu tài liệu do đó tránh đượ̣c việc học thêmgây lã̃ng phí và tố́n kém

5.2 Hiệu quả̉ xã hộ̣i

+ Có tính thực tiễn cao: Kiến thức chỉ nằm trong SGK hiện hành Sáng kiến tập

trung vào việc phân tích tư duy giúp học sinh tì̀m lời giải Hệ thố́ng ví dụ và bài tậpmang tính sáng tạo, đáp ứng đượ̣c yêu cầu về đổi mới Bài tập đượ̣c xây dựng kết hợ̣pgiữa tự luận và trắc nghiệm; đặc biệt bài tập tự luyện chỉ xây dựng dưới hì̀nh thức trắcnghiệm phù̀ hợ̣p với tì̀nh hì̀nh thi cử hiện tại Các bài toán trong đề thi đại học trướcđây; đề thi tố́t nghiệp THPT trong những năm gần đây; đề thi HSG tỉnh và quố́c gia vàcác đề ĐGNL của các trường ĐH sử dụng cách đị ̣nh hướng tư duy của giải pháp có thểgiải quyết một cách dễ dàng

+ Hình thành các phẩm chất năng lực của học sinh, phù̀ hợ̣p với các yêu cầu

của chương trì̀nh giáo dục PT mới: Học sinh chủ động, sáng tạo trong học tập Phát huyđượ̣c sự hứng thú và niềm đam mê trong học tập Từ đó tự tin tham gia các kì̀ thi kiểmtra đị ̣nh kì̀ hoặc các cuộc thi học sinh giỏi;

+ Tính kết nối và chia sẻ: Thông qua trao đổi và chia sẻ sáng kiến này với các

giáo viên trong trường cũng như các đơn vị ̣ khác đã̃ giúp giáo viên trong việc dạy họctheo phương pháp mới, xác đị ̣nh đượ̣c các nội dung trọng tâm của bài, giáo viên sửdụng như tài liệu tham khảo, sáng kiến giúp cho giáo viên giảm bớt đượ̣c nhiều côngsức trong việc soạn bài, chuẩ̉n bị ̣ bài lên lớp Đặc biệt, giúp giáo viên có đượ̣c một số́dạng toán hay để có thể áp dụng trong quá trì̀nh biên soạn đề thi Trong nhóm tác giảcủa sáng kiến, đều từng là thành viên ban soạn thảo đề thi của Sở; ngân hàng đề thi của

Sở và có người tham gia ban soạn thảo đề của Bộ

+ Tính giáo dục định hướng: đị ̣nh hướng cho học sinh khi học tập và nghiên cứu

cần đề cao phương pháp tư duy và khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết các vấ́n đềthực tiễn

Đặc biệt, khi ứng dụng sáng kiến trong môn Toán tại trường THPT Kim Sơn A, huyện Kim Sơn, tỉnh Ninh Bì̀nh đã̃ cho kết quả nổi bật như sau:

(Áp dụng sáng kiến) (Áp dụng sáng kiến)

(01 giải Ba, 01 giải KhuyếnTHPT cấ́p tỉnh (02 giải Khuyến khích)

khích)

Kết quả Học sinh giỏi lớp 03/03 đạt giải 03/03 đạt giải

( 01 giải Nhì̀, 01 giải Ba, 01

giải Khuyến khích)

Số́ lượ̣ng học sinh đượ̣c

nhận giải thưởng Đinh

(Có tổng điểm ba môn của các (Có tổng điểm ba môn của

Bộ Lĩnh do có kết quả

cao trong kỳ thi THPT khố́i thi truyền thố́ng trên các khố́i thi truyền thố́ng

27,25 điểm) trên 27,0 điểm).

Quố́c gia

ĐTB môn Toán là 8,32 ĐTB môn Toán là 8,15

Điểm trung bì̀nh môn (ĐTB môn Toán của tỉnh là (ĐTB môn Toán của tỉnh là

7

Kết quả Học sinh giỏi 04/06 đạt giải 06/06 đạt giải

(03 giải Nhì̀, 02 giải Ba và 01lớp 12 cấ́p tỉnh ( 04 giải Khuyến khích)

giải Khuyến Khích)

Số́ lượ̣ng học sinh 08 học sinh 12 học sinh

đượ̣c nhận giải thưởng (Có tổng điểm ba môn của các (Có tổng điểm ba môn của cácĐinh Bộ Lĩnh do có khố́i thi truyền thố́ng trên khố́i thi truyền thố́ng trên

thi THPT Quố́c gia

ĐTB môn Toán là 7,83 ĐTB môn Toán là 7,64

Điểm trung bì̀nh môn (ĐTB môn Toán của tỉnh là (ĐTB môn Toán của tỉnh là

- Các thầy cô trong nhóm tác giả đều là những người hướng dẫn và giảngdạy trực tiếp bộ môn Toán cho em Nguyễn Thị ̣ Thu Hằng – học sinh lớp 12B1 trườngTHPT Kim Sơn A đạt vòng nguyệt quế chương trì̀nh chung kết năm “Đường lên đỉnhOlympia” năm thứ 20

- Năm học 2020 – 2021: giảng dạy em Nguyễn Hoàng Anh lớp 12B1trường THPT Kim Sơn A đạt điểm 9.8 môn Toán, trở thành thủ khoa của tỉnh Ninh Bì̀nh ở

2 khố́i thi là B và D07

6 Điều kiện và khả năng áp dụng:

6.1 Điều kiện á́p dụng:

- Học sinh lớp 11,12 THPT theo chương trì̀nh hiện hành; sau này cả lớp 10,11,12 THPT và học sinh THCS (theo chương trì̀nh GDPT mới)

- Kiến thức nền tảng: TỔ HỢP XÁC SUẤT

8

6.2 Khả̉ năng á́p dụng:

+ Đáp ứng nhu cầu dạy học của giáo viên: đổi mới phương pháp dạy học tích cựcnhằm phát triển năng lực phẩ̉m chấ́t (Do giải pháp đượ̣c trì̀nh bày dưới dạng một chủ

đề dạy học)

+ Đáp ứng cho nhiều đố́i tượ̣ng học sinh, phát triển năng lực giải quyết vấ́n đề thực tiễn của học sinh cũng như nâng cao khả năng tư duy

+ Phù̀ hợ̣p với nội dung chương trì̀nh GDPT hiện hành và CT GDPT mới 2018;

xu thế ra đề thi trong các kì̀ thi quố́c gia; kì̀ thi ĐGNL…

+ Trong tì̀nh hì̀nh dị ̣ch bệnh như hiện nay, việc dạy và học có thể phải tiến hànhtheo hì̀nh thức trực tuyến Khi đó rõ ràng việc tương tác giữa thầy và trò có hạn chếhơn, yêu cầu với người học cũng cao hơn ở tính tự giác và tì̀m tòi Vì̀ vậy, càng thấ́yđượ̣c tính khả thi của giải pháp đượ̣c đề cập đến

Ninh Bình, thá́ng 05 năm 2021

Doan Huy Tùng

9

PHỤ LỤC 1

Phần 1 MÔ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến đượ̣c thiết kế theo dạng chủ đề dạy học đã̃ đượ̣c nhóm tác giả áp dụng trong quá trì̀nh giảng dạy ôn tập cho cac lơp va ôn thi hoc sinh gioi tại 02 nhà trường THPT Kim sơn A và THPT Yên Mô A Tù̀y theo mức độ của học sinh từng lớp mà các tác giả đã̃ đưa vào các phần nội dung để giảng dạy cho phù̀ hợ̣p với tì̀nh hì̀nh thực tiễn.

Nội dung sáng kiến đượ̣c nhom tac gia xây dưng thanh cac dang toan thương găp trong đo vân dung kêt qua va tư duy lơi giai cua bai toan “chia keo Euler”, ơ môi dang được thiêt kê theo cấu truc:

Vi du – Lơi giai – Nhân xet, hương suy luân va tư duy.

Sáng kiến ngoài là nguồn tài liệu cho các thầy cô trong quá trì̀nh giảng dạy còn là tư liệu để các

em học sinh tự học một cách tố́t nhấ́t Các em học sinh có thể đọc lời giải và các hướng dẫn suy luận trong các ví dụ từ đó vận dụng vào làm các bài tập trong hệ thố́ng bài tập đượ̣c trì̀nh bày trong sáng kiến.

Phần 2 MÔT SỐ DANG TOAN THƯƠNG GẶP VÂN DUNG KÊT QUA VA TƯ DUY LƠI GIAI CUA BAI TOAN “CHIA KẸO EULER”

2.1 KIÊN THỨC CƠ BAN

2.1.1 Hai quy tăc đêm cơ ban

Số phân tư cua tâp hợp hưu han A được ki hiêu la hoăc

2.1.1.1 Quy tăc công

Môt công viêc đươc hoan thanh bởi môt trong hai hanh đông Nêu hanh đông nay co m cach thưc hiên, hanh đông kia co n cach thưc hiên không trung vơi bât ki cach nao cua hanh đông thư nhât thi công viêc đo co m + n cach thưc hiên.

Nêu A va B la cac tâp hơp hữu han không giao nhau, thi:

+ Quy tăc công con được mơ rông đối vơi cac tâp hợp hưu han, co giao khac rông Co

thê chưng minh được răng, vơi hai tâp hợp hưu han A va B bất kì, ta co:

(quy tắc bao ham va loai trư) Hoăc vơi 3 tâp hợp hưu han A,B,C ta co:

2.1.1.2 Quy tăc nhân

Môt công viêc đươc hoan thanh bởi hai hanh đông liên tiêp Nêu co m cach thưc hiên hanh đông thư nhât va ưng vơi môi cach đo co n cach thưc hiên hanh đông thư hai thi co m.n cach hoan thanh công viêc.

Chú ý: Quy tăc nhân co thê mơ rông cho công viêc được hoan thanh bơi nhiêu hanh đông liên

tiêp.

2.1.2 Hoan vi – Chỉnh hơp – Tô hơp

2.1.2.1 Hoan vi

Cho tâp A gôm n phân tư Môi kêt qua cua sư săp xêp thư tư n phân tư cua tâp hợp A

được goi la môt hoán vị của n phân tư đo.

Số cac hoan vị cua n phân tư:

2.1.2.2 Chỉnh hơp

Cho tâp A gôm n phân tư Kêt qua cua viêc lấy k phân tư khac nhau tư n phân tư cua

tâp hợp A va săp xêp chung theo môt thư tư nao đo được goi la môt chỉnh hợp châp k của n phân tư

đã cho.

Số cac chinh hơp:

Chu ý:

2.1.2.3 Tô hơp

Cho tâp A gôm n phân tư Môi tâp con gôm k phân tư cua A được goi la môt tổ hợp

châp k của n phân tư đã cho.

Số cac tô hợp:

Chu ý:

2.1.3 Xac suât cua biên cô

2.1.3 Đinh nghia

Gia sư A la biên cố liên quan đên môt phep thư chi co môt số hưu han kêt qua đông

kha năng xuất hiên Ta goi ti số la xac suất cua biên cố A, ki hiêu la

Chu ý: la số phân tư cua A hay cung la số cac kêt qua thuân lợi cho biên cố A,

con la số cac kêt qua co thê xay ra cua phep thư.

2.1.3 Tinh chât

Chu ý: Tinh chất c) la công thưc công xac suất va ta co hê qua:

la biên cố đối cua biên cố A.

2.2 BAI TOAN “CHIA KẸO EULER”

2.2.1 Nôi dung bai toan:

Co bao nhiêu cach chia n cai keo giông nhau cho k em be?

2.2.2 Lơi giai:

Trươc hêt ta xet cac bai toan sau:

Bài toán 1: “Có bao nhiêu cách chia n cái kẹo giống nhau cho k em bé sao cho em nào cũng

Đăt n cai keo trên môt hang ngang, khi đo giưa n chiêc keo se co n – 1 khoang trống.

Nêu ta đăt k – 1 chiêc que vao k – 1 khoang trống bất kì trong số n – 1 khoang trống trên ta thấy n chiêc keo se được chia thanh k phân đê cho k em be theo thư tư.

Do đo số cach chia keo băng số cach chon k – 1 khoang trống trong số n – 1 khoang trống tưc

la

Nhân xét:

+ Tư lơi giai trên ta nhân thấy, khi xêp cac đối tượng trên môt hang thì giưa cac đối

tượng luôn hình thanh khoang trống (hay con goi vach ngăn), va dê thấy răng đê hai đối tượng trên

hang đo không đưng canh nhau ta chi cân xêp môt đối tượng khac vao khoang trống đo Đê cho đơn

gian ta goi đây la “tư duy vach ngăn”.

+ Nêu goi số keo nhân được cua k em be ưng vơi môi cach chia lân lượt la

thì Va hiên nhiên, số nghiêm cua phương trình đo băng chinh số cach chia Tư đo

ta co kêt qua bai toan sau.

Bài toán 2: “Tim số nghiêm nguyên dương của phương trinh

” Đap số:

Bài toán 3: “Tim số nghiêm nguyên không âm của phương trinh

”

(*) Số nghiêm phương trình đã cho băng số nghiêm nguyên dương cua phương trình (*), ap dung bai toan 2, ta được số nghiêm đo băng:

Nhân xét: Đên đây, theo sư tương ưng giưa số cach chia keo va số nghiêm cua phương trình thì

đap số cua bai toan “chia kẹo Euler” la:

2.3 MÔT SỐ DANG TOAN LIÊN QUAN

Tư kêt qua cua bai toan chia keo Euler cung như cach tư duy đê tìm ra kêt qua đo, ta rut ra được môt số kêt luân quan trong sau:

* KÊT LUÂN 1: Số cach chia (phân phôi) n cai keo (san phẩm) cho k em be (đôi tương) sao cho

em nao cung co keo (đôi tương nao cung co san phẩm) hay số nghiêm nguyên dương cua phương

* KÊT LUÂN 2: Số cach chia (phân phôi) n cai keo (san phẩm) cho k em be (đôi tương) hay

* KÊT LUÂN 3: Hình thanh “tư duy vách ngăn” trong viêc giai quyêt cac bai toan đêm co gia

thiêt yêu câu cac đối tượng được xêp hoăc không xêp canh nhau.

Sau đây ta se xet môt số dang toan đêm thương găp vân dung cac kêt luân trên đây.

2.3.1.DANG 1: Đếm số nghiêm nguyên của phương trinh, bất phương trinh

Vi du 1: Cho phương trình: Tìm số nghiêm nguyên cua

phương trình thoa mãn:

1 Số nghiêm nguyên không âm cua phương trình:

2 Số nghiêm nguyên dương cua phương trình:

kiên băng số nghiêm nguyên dương cua phương trình:

Số nghiêm la:

4 Đăt Số nghiêm phương trình thoa mãn điêu kiên băng số nghiêm phương trình:

Số nghiêm la:

5.Cach 1: Xet cac trương hợp Số nghiêm phương trình thoa mãn điêu kiên la:

Cach 2: (Sư dung biên cố đối)

+ Số nghiêm nguyên không âm cua phương trình la:

+ Số nghiêm nguyên không âm cua phương trình thoa mãn : Đăt Số nghiêm la:

Suy ra: số nghiêm phương trình thoa mãn điêu kiên:

Nhân xet:

Khi đêm sô nghiêm co điêu rang buôc:

- Nêu chỉ co 1 biên co điêu kiên đo thi ap dung 2 cach trên.

13

- Nêu co nhiêu biên co điêu kiên rang buôc ta ap dung cach giai 2 nhưng cân chu ý quy tắc bao ham va loai trư Cu thê ta xet trong vi du tiêp theo.

Vi du 2: Cho phương trình: Tìm số nghiêm nguyên cua

phương trình thoa mãn:

1

2

LƠI GIAI

1 + Số nghiêm nguyên không âm cua phương trình la:

+ Goi lân lượt la tâp cac nghiêm nguyên không âm cua phương trình thoa mãn điêu kiên: Khi đo: số nghiêm thoa mãn điêu kiên la:

- Do đo số nghiêm thoa mãn điêu kiên:

Số nghiêm phương trình thoa mãn điêu kiên băng số nghiêm nguyên không âm phương trình

vơi điêu kiên

* Goi Y la tâp tất ca cac nghiêm nguyên không âm cua phương trình (*), suy ra:

* Goi lân lượt la tâp cac nghiêm nguyên không âm cua phương trình (*) thoa mãn

lân lượt cac điêu kiên:

* Khi đo số nghiêm phương trình thoa mãn điêu kiên bai toan la:

Vi du 3: Tìm số nghiêm nguyên không âm cua bất phương trình :

LƠI GIAI

+ Cach 1: Số nghiêm nguyên không âm cua bất phương trình băng tông số nghiêm nguyên

không âm cua 12 phương trình:

Số nghiêm la:

+ Cach 2: Đăt Khi đo số nghiêm thoa mãn điêu kiên bai toan băng số nghiêm nguyên không âm cua phương trình:

Số nghiêm la:

Vi du 4: Tìm số nghiêm nguyên không âm cua bất phương trình :

thoa mãn

LƠI GIAI

Lân lượt cho va vân dung cach giai cua bai 3 ta được kêt qua số nghiêm thoa mãn điêu kiên:

2.3.2.DANG 2:Đêm sô cach phân phôi đô vât, san phâm.

Vi du 1: Co bao nhiêu cach xêp (phân phối) 4 viên bi giống nhau vao 3 chia hôp A, B, C.

+ Ta co thê hiêu đơn gian hơn răng, viêc phân phối 4 viên bi cho 3 hôp cung la công viêc chia

4 cai keo cho 3 em be Do đo co thê suy ra ngay đap an bai toan.

+ Tư đo, môt cach khac ta co thê phat biêu bai toan chia keo Euler theo “ngôn ngữ” khac như

sau: Số cach phân phối n san phẩm cho k đối tượng la: (trong toan hoc đây chinh la số tô hợp

lăp châp n cua k phân tư) Do đo, khi giai cac bai toan tương tư ta co thê sư dung ngay “ngôn ngư” nay

đê giai quyêt rất nhanh gon.

Vi du 2: Môt cưa hang co 6 loai kem khac nhau Môt ngươi khach muốn mua 9 que

kem Hoi ngươi khach đo co bao nhiêu sư lưa chon?

LƠI GIAI

Số cach lưa chon cua ngươi khach chinh la số cach phân phối 9 que kem mua đươc cho 6 loai kem, do đo số cach lưa chon la:

Vi du 3: Co bao nhiêu cach xêp (phân phối) 30 viên bi giống nhau vao 5 chiêc hôp

khac nhau sao cho:

1 Cach xêp la bất kì vê số lượng viên bi trong môi hôp.

2 Hôp 1 co it nhất 5 viên bi.

3 Hôp 1 co it nhất 5 viên bi; hôp 2 va hôp 3 co không qua 6 viên bi.

LƠI GIAI

1 Ta co ngay số cach xêp (phân phối) la:

2 Do hôp 1 cân it nhất 5 viên bi nên ta lấy luôn 5 viên bi cho hôp 1, con lai 25 viên bi ta phân phối cho 5 hôp Số cach phân phối la:

3 Số cach phân phối thoa mãn băng số cach phân phối 25 viên bi cho 5 hôp va thoa mãn điêu kiên hôp 2 va 3 đêu co số bi nho hơn hoăc băng 6.

+ Số cach phân phối 25 viên bi cho 5 hôp la:

+ Số cach phân phối 25 viên bi cho 5 hôp sao cho hôp 2 chưa số bi lơn hơn hoăc băng 7 la: Tương tư: Số cach phân phối 25 viên bi cho 5 hôp sao cho hôp 3 chưa số bi lơn hơn hoăc băng 7 la:

Số cach phân phối 25 viên bi cho 5 hôp sao cho ca hôp 2 va 3 chưa số bi lơn hơn hoăc băng 7 la:

Do đo, số cach phân phối thoa mãn điêu kiên la:

Vi du 4: Co bao nhiêu cach chon ra 6 số (co thê giống nhau) tư 9 chư số tư nhiên

1,2 ,9?

LƠI GIAI

Số cach chon ra 6 số băng số cach phân phối 6 số đo cho 9 chư số tư 1 đên 9, tưc la co:

cach chon.

2.3.3.DANG 3: Đêm sô.

Vi du 1: Co bao nhiêu số tư nhiên co 5 chư số dang thoa mãn:

1.

2.

LƠI GIAI

1.Cach 1: + Ta viêt cac chư số 1,2,3, ,9 theo thư tư tăng dân.

+ Ta chon 5 số dãy 9 số đo được 1 số thoa mãn Do đo số cac số thoa mãn la:

Cach 2: + Tư tô hợp 9 chư số tư nhiên ta chon ra 5 chư số khac nhau: (Chon thanh phân) + Môi cach chon đo ta săp xêp chi dc môt số thoa mãn điêu kiên (Sắp

xêp)

Do đo số cac số thoa mãn la:

Nhân xet: cach lâp luân thư 2 la cach lâp luân thông thường vơi cac bai toan lâp sô, tưc la trai qua 2 bươc: Chọn thành phân va sắp xếp.

2.+ Chon thanh phân : chon 5 số tư 9 số (cac chư số co thê lăp lai) băng cach phân phối 5 số chon được cho 9 chư số tư nhiên, do đo số cach chon la:

+ Săp xêp: Môi cach chon đo chi co duy nhất môt số thoa mãn điêu kiên Do đo, số cac số thoa mãn la:

Vi du 2: Co bao nhiêu số tư nhiên co 5 chư số dang thoa mãn:

1.

Do đo, số cac số thoa mãn la:

Vi du 3: Co bao nhiêu số tư nhiên co 5 chư số dang thoa mãn:

LƠI GIAI

Đăt

Ap dung cach giai Vi du 1 ta được kêt qua:

Vi du 4: (Vé hạnh phúc) Môi ve xe co môt dãy 6 chư số được goi la ve hanh phuc nêu

tông 3 chư số đâu băng tông 3 chư số cuối Hoi co tất ca bao nhiêu ve hanh phuc?

LƠI GIAI

+ Nhân xet: nêu

+ Ve xe hanh phuc thì:

Do đo: số ve xe hanh phuc băng số nghiêm nguyên không âm cua phương trình (*) thoa mãn điêu kiên

+ Số nghiêm nguyên không âm cua phương trình (*):

+ Goi M i la tâp hợp cac nghiêm nguyên không âm cua phương trình (*) ma Ta

cân tinh:

+ Giao tư 3 tâp M i trơ lên đêu co phân tư băng 0.

Do đo số ve hanh phuc la:

2.3.4 DANG 4: Đêm sô tâp con.

Vi du 1: Cho tâp hợp A gôm 100 số nguyên dương đâu tiên Tìm số tâp con cua tâp hợp A

co 3 phân tư sao cho không co 2 phân tư nao cua môi tâp con đo la hai số tư nhiên liên tiêp?

+ Số tâp con thoa mãn băng số nghiêm nguyên cua phương trình (*) thoa mãn (1).

+ Dê dang tinh được số nghiêm băng:

Cach 2: + Ta đăt 3 phân tư cua tâp con được chon vao 98 khoang trống được tao ra tư 97 số

không được chon trong tâp con, số cach đăt la: Đo cung chinh la số tâp con thoa mãn điêu kiên.

Nhân xet: Rõ rang cach đêm sô 2 co vẻ ngắn va nhanh hơn, cach lam đo vân dung tư duy vach

ngăn đê giai quyêt Tuy nhiên, cach lam đo chỉ ap dung vơi bai co yêu tô không liên tiêp Còn

cach lam sô 1 ap dung ngay ca khi khoang cach giữa cac phân tử cua tâp con tuy ý.

Vi du 2: Môt thang lam viêc tai công ty, Lan được nghi phep 4 ngay Hoi Lan co bao

nhiêu cach chon 4 ngay nghi phep trong thang 1 năm 2021 sao cho không co 2 ngay nghi phep nao liên tiêp?

Vi du 3: Cho tâp hợp A gôm 2021 số nguyên dương đâu tiên Co bao nhiêu tâp con cua A

co 3 phân tư sao cho tông cac phân tư cua tâp con đo băng 2019?

+ Số nghiêm nguyên dương cua phương trình (*) la:

+ Số nghiêm nguyên dương ma a = b = c la: 1 nghiêm la (673;673;673).

Suy ra số nghiêm la: , (trư đi c nhân gia trị 673 va 2019).

+ Tương tư vơi 2 trương hợp cung co số nghiêm la 1008.

Do đo số nghiêm thoa mãn yêu câu:

+ Vì môi tâp con co 3 phân tư cua A thoa mãn yêu câu sinh ra 3! nghiêm đã tinh được.

Do đo số tâp con thoa mãn la:

2.3.5 DANG 5: Đêm hinh hoc.

Vi du 1: Cho đa giac đêu co 2021 đinh Co bao nhiêu tam giac, tư giac co đinh la đinh cua

đa giac đêu đã cho sao cho không co canh nao la canh cua đa giac đêu đã cho?

LƠI GIAI

Tư gia thiêt suy ra cac đinh cua tam giac, tư giac không la cac đinh kê nhau cua cac đinh đa giac ban đâu, tư đo cho ta ý tương cach giai như dang toan tâp con Nhưng do cac đinh cua đa giac được xêp trên đương tron nên khi đêm ta cân cố định môt đinh trươc, tưc la chon 1 đinh cua tam giac,

tư giac thoa mãn trươc.

+ Đêm sô tam giac thỏa mãn : Gia sư tam giac ABC la tam giac co 3 đinh la cac đinh cua đa

giac đêu đã cho ma không canh nao la canh cua đa giac.

- Chon đinh A co 2021 cach chon.

- Chon 2 đinh con lai: Goi la số đinh giưa A va B; B va C; C va A.

Khi đo:

Số cach chon 2 đinh con lai chinh la số nghiêm nguyên dương cua phương trình (*) va băng:

- Do môi tam giac được đêm 3 lân nên số tam giac cân đêm la:

+ Tương tư vơi số tư giac thoa mãn:

Nhân xet: Dê dang co thê suy ra bai toan tông quat: đêm số k – giac tư n – giac đêu sao cho

không co canh nao cua k – giac la canh cua n – giac Đap số la:

Vi du 2: Cho đa giac đêu co 2013 đinh Ngươi ta tô mau đo cho 100 đinh cua đa giac đêu

đo Hoi co bao nhiêu cach tô mau sao cho giưa 2 đinh được tô co it nhất 3 đinh không được tô mau?

LƠI GIAI

+ Chon đinh tô đâu tiên : co 2013 cach chon.

+ Chon 99 đinh con lai: Goi la số đinh giưa 100 đinh vơi nhau Khi đo:

19

Dê dang đêm được số nghiêm phương trình (*) thoa mãn (1) la:

Đo cung chinh la số cach chon 99 đinh con lai.

+ Do môi 100 – giac đo được đêm 100 lân, nên số cach tô mau la:

Vi du 3: Cho tam giac co diên tich băng 27 Môt điêm P năm trong tam giac được goi la

“điểm tốt” nêu co thê tìm được 27 tia chung gốc P chia tam giac thanh 27 tam giac con co

cùng diên tich? Đêm số điêm P?

LƠI GIAI

+ Nhân xet: - Cac tia PA, PB, PC đêu thuôc 27 tia chung gốc P cua điêm tốt P.

- đêu la cac số nguyên dương.

+ Vơi môi điêm tốt P , đăt

Dê thấy số nghiêm nguyên dương cua phương trình (*) la

Bô đê: “Vơi môi điêm P năm trong tam giac ABC, ta luôn co:

”

Tư hê thưc nay ta dê dang chưng minh được răng vơi môi bô (x; y; z) chi tôn tai duy nhất môt điêm P.

Do đo, số điêm tốt P la: 325.

2.3.6 DANG 6: Lươi toa đô.

Vi du 1: Cho 1 lươi gôm cac ô vuông, cac nut được đanh số tư 0 đên m theo chiêu tư trai

sang phai va tư 0 đên n theo chiêu tư dươi lên trên (như hình ve):

Hoi co bao nhiêu đương đi khac nhau tư nut (0; 0) đên nut (m; n) nêu chi cho phep

đi trên canh cac ô vuông theo chiêu tư trai sang phai hoăc tư dươi lên trên.

LƠI GIAI + Môt con đương đi thoa mãn yêu câu bai toan trên trai qua m + n bươc do môi bươc chi co 2 cach di chuyên (đây cung chinh la con đương ngăn nhất đê di chuyên tư nut (0;0) đên nut (m; n)).

+ Trong m + n bươc đo, ta chon ra m bươc đê đê di chuyên sang phai, con n bươc con lai ta di

chuyên lên trên Khi đo số con đương di chuyên la:

Vi du 2: Trên ban cơ 5x4 ô vuông như hình ve dươi đây, ngươi chơi chi được di chuyên

quân theo cac canh cua hình vuông, môi bươc đi được môt canh Co bao nhiêu cach di chuyên quân tư điêm A đên điêm B băng 9 bươc?

LƠI GIAI

Di chuyên quân tư A đên B băng 9 bươc do đo đây chinh la con đương di chuyên ngăn nhất, tưc la ơ môi bươc di chuyên chi được phep lên trên hoăc sang phai Do đo theo ý trên ta suy ra số cach

di chuyên la:

2.3.7 DANG 7: Vân dung tư duy vach ngăn.

Vi du 1: Thây Bình trông 3 cây lim, 4 cây long não va 5 cây xa cư trên môt hang môt

cach ngâu nhiên Tinh xac suất đê không co 2 cây xa cư nao được trông canh nhau?

LƠI GIAI

+ Biên cố A: “Không co 2 cây xa cư nao được trông canh nhau”

- Trông 7 cây gôm lim va long não co 7! cach.

- Môi cach trông 7 cây đo, giưa 7 cây co 8 khoang trống, ta chon 5 khoang trống trong 8

khoang trống đo đê trông cac cây xa cư, số cach chon vị tri la:

- Môi cach chon vị tri đo co 5! cach trông cac cây xa cư.

Do đo:

Vi du 2: Trong môt giai bong đa co 10 trân đấu được diên ra trong vong 30 ngay Hoi ban

tô chưc co bao nhiêu cach săp xêp lịch thi đấu cac trân đấu sao cho 2 trân đấu kê nhau phai cach nhau it nhất môt ngay?

LƠI GIAI

Dưa theo gia thiêt ta suy ra ngay thư 1 va ngay thư 30 môi ngay co 1 trân Do đo số cach săp xêp cac trân băng số cach đăt 8 trân con lai vao 19 khoang trống giưa 20 ngay ma không co trân đấu

diên ra Do đo, số cach săp xêp lịch thi đấu la:

Vi du 3: Môt lơp co 36 hoc sinh được xêp theo môt hang ngang sao cho khoang cach giưa

hai ngươi canh nhau la 0,5 met Co bao nhiêu cach chon ra 10 hoc sinh trong hang đo đê sau khi chon ra không tôn tai khoang trống lơn hơn 1 met giưa hai hoc sinh canh nhau trong số cac hoc sinh con lai trong hang?

LƠI GIAI

Yêu câu bai toan chinh la số cach chon ra 10 ngươi trong hang sao cho không co 2 ngươi nao đưng canh nhau Giưa 26 ngươi không được chon co 27 khoang trống, số cach đăt 10 ngươi được chon vao 27 khoang trống cung chinh la số cach chon thoa mãn yêu câu.

Do đo, số cach chon la:

Vi du 4: Co bao nhiêu cach xêp 4 ban nư va 6 ban nam vao 10 ghê ngôi ma không co hai

ban nư nao được xêp canh nhau, nêu:

1 Ghê xêp thanh hang ngang.

2 Ghê xêp quanh ban tron.

LƠI GIAI

1 Số cach xêp 6 ban nam: 6!

Giưa 6 ban nam co 7 khoang trống, chon 4 khoang trống trong số đo va xêp 4 ban nư, số cach xêp la:

Do đo số cach xêp thoa mãn la:

2 Số cach xêp 6 ban nam quanh ban tron la: 5!

Giưa 6 ban nam co 6 khoang trống, chon 4 khoang trống trong số đo va xêp 4 ban nư, số cach xêp la:

Do đo, số cach xêp la:

2.4 BAI TÂP TRẮC NGHIÊM TỰ LUYÊN

DANG 1: ĐÊM SỐ NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 1: Tì̀m số́ nghiệm nguyên dương của bấ́t phương trì̀nh:

Câu 2: Hệ phương trì̀nh có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thỏa mã̃n ?

A B C D

Câu 3:Một nhóm học sinh gồm 4 bạn, mỗi bạn mang một số́ thứ tự Cô giáo có bao nhiêu cách chia 18 cái kẹo cho 4 bạn học sinh sao cho lấ́y số́ kẹo của mỗi bạn trừ đi số́ thứ tự của bạn đó ta luôn đượ̣c một số́ không âm?

A B C D.

Câu 4:Gọi là tập các số́ tự nhiên có 4 chữ số́ Bố́n bạn An, Bì̀nh, Chi ,Dũng chọn mỗi người một số́

từ Tính xác suấ́t để 4 số́ chọn đượ̣c của 4 bạn có tổng là 1 số́ mà tổng các chữ số́ chia hết cho

9 và chia hết cho 4042?

A B C D

DANG 2: ĐÊM SỐ CACH PHÂN PHỐ́I ĐỒ VÂT, SAN PHẨM

Câu 1: Xét tập Số́ tập con của tập là:

A B C D

Câu 2: (VMO 2021) Một học sinh chia tấ́t cả 30 viên bi vào 5 cái hộp đượ̣c đánh số́ 1,2,3,4,5 (sau khi

chia có thể có hộp không có viên bi nào) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp?

A B C D

Câu 3:Phân phố́i 60 thù̀ng hàng giố́ng hệt nhau cho 6 cửa hàng Tính số́ cách chia để mỗi cửa hàng

nhận đượ̣c ít nhấ́t 6 thù̀ng hàng?

A B C D

Câu 4:Có bao nhiêu cách chia 30 chiếc bánh cho An, Bì̀nh, Chi (có thể có bạn không đượ̣c chiếc bánh

nào) sao cho An luôn hơn Bì̀nh ít nhấ́t 5 cái bánh và số́ bánh của Chi luôn là 1 số́ lẻ ?

A.

DANG 3: ĐÊM SỐ́

Câu 1: Có bao nhiêu số́ tự nhiên thỏa mã̃n

Câu 1: Từ 2021 số́ tự nhiên đầu tiên có bao nhiêu cách chọn ra 3 số́ tự nhiên sao cho không có hai số́

liên tiếp nào đượ̣c chọn?

Câu 2:Mỗi tháng Minh đượ̣c chọn 5 ngày để nghỉ ngơi, nhưng không đượ̣c phép chọn hai ngày nghỉ

liên tiếp Hỏi Minh có bao nhiêu cách chọn ngày nghỉ cho mì̀nh?

Câu 4: (VMO 2012) Có bao nhiêu cách xếp 5 chàng trai và 2 cô gái vào 1 dã̃y có 7 ghế mà:

Mỗi ghế có một người ngồi.

Các cô gái không ngồi ở hai đầu dã̃y.

Ở giữa hai cô gái không có quá hai người.

DANG 5: ĐÊM HÌNH HỌC

Câu 1: Cho đa giác lồi n cạnh Xét tứ giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác Có bao nhiêu tứ giác có đúng

một cạnh chung với đa giác?

Câu 4: Trong không gian Oxyz, gọi S là tập hợ̣p các điểm nguyên nằm phía trong hoặc ở trên đỉnh, cạnh

và mặt của hì̀nh lập phương cạnh 999, trong đó các cạnh song song hoặc vuông góc với trục tọa

độ, một đỉnh là gố́c tọa độ và một đỉnh đố́i với nó là Hỏi mặt phẳng đi qua bao nhiêu điểm trong tập hợ̣p S?

A. 2030153 B. 482653 C.2031120 D DANG 6:LƯỚI TỌA ĐỘ :

Câu 1: Tì̀m đẳng thức đúng?

Câu 2: Trong bàn cơ 5x4 như hì̀nh vẽ, người chơi chỉ đượ̣c di chuyển quân trên các cạnh của hì̀nh

vuông, mỗi bước đi đượ̣c một cạnh của ô vuông đơn vị ̣ Có bao nhiêu cách di chuyển từ điểm A đến điểm B bằng 9 bước?

Câu 3: Một con thỏ di chuyển tử đị ̣a điểm A đến nhà tại đị ̣a điểm B bằng cách đi qua các điểm nút ( trong lưới như hì̀nh vẽ) biết nếu thỏ di chuyển đến nút C thì̀ sẽ bị ̣ cáo ăn thị ̣t Hỏi thỏ có bao nhiêu cách về nhà nhanh nhấ́t mà không bị ̣ cáo ăn thị ̣t.

Câu 4: Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A đượ̣c 5 phiếu bầu, ứng cử viên B đượ̣c 4 phiếu bầuCử

tri bỏ phiếu tuần tự từng người Có bao nhiêu cách sắp xếp việc bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về số́ phiếu bầu?

A B C D

DANG 7: TƯ DUY VÁCH NGĂN:

Câu 1: Xếp 35 học sinh lớp 12B1 thành một hàng dọc, Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 12 người sao

cho trong 12 người đượ̣c chọn không có hai người nào đứng cạnh nhau ?

Câu 4: Trong một giải cơ vua giữa các trường THPT gồm 5 đội thi đấ́u, hai đội bấ́t kỳ nào cũng phải

đấ́u với nhau 1 trận Mỗi trận diễn ra trong 1 buổi Có bao nhiêu cách sắp xếp để đội trường A không phải đấ́u hai buổi nào liên tiếp ?

ĐÁP ÁN VA HƯƠNG DẪN GIAI DANG 1: ĐÊM SỐ NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Câu 1: Tì̀m số́ nghiệm nguyên dương của bấ́t phương trì̀nh:

Giải:

Bài toán quy về tì̀m số́ nghiệm nguyên dương của phương trì̀nh (1)

Số́ nghiệm nguyên dương của phương trì̀nh (1) là

Câu 2: Hệ phương trì̀nh có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thỏa mã̃n ?

A B C D

Giải:

Bài toán quy về tì̀m số́ nghiệm không âm của phương trì̀nh (1)

Số́ nghiệm không âm của phương trì̀nh (1) là :

Câu 3: Một nhóm học sinh gồm 4 bạn, mỗi bạn mang một số́ thứ tự Cô giáo có bao nhiêu cách chia 18 cái kẹo cho 4 bạn học sinh sao cho lấ́y số́ kẹo của mỗi bạn trừ đi số́ thứ tự của bạn đó ta luôn đượ̣c một số́ không âm?

A B C D.

Giải:

Gọi lần lượ̣t số́ kẹo mà các bạn mang số́ thứ tự 1;2;3;4 nhận đượ̣c :

Bài toán quy về tì̀m số́ nghiệm không âm của phương trì̀nh(1)

27

Số́ nghiệm không âm của phương trì̀nh (1) là:

Câu 4:Gọi là tập các số́ tự nhiên có 4 chữ số́ Bố́n bạn An, Bì̀nh, Chi ,Dũng chọn mỗi người một số́

từ Tính xác suấ́t để 4 số́ chọn đượ̣c của 4 bạn có tổng là 1 số́ mà tổng các chữ số́ chia hết cho

Vì̀ (8999>3618) nên bài toán quy về tì̀m số́ nghiệm không âm của phương trì̀nh

(1) Số́ nghiệm không âm của phương trì̀nh (1) là :

DANG 2: PHÂN PHỐ́I NHÓM

Câu 1: Xét tập Số́ tập con của tập là:

A B C D

Giải:

Mỗi phần tử có hai cách chọn “có mặt” hoặc “không có mặt” trong tập con của A.

Số́ tập con của A là

Câu 2: (VMO 2021) Một học sinh chia tấ́t cả 30 viên bi vào 5 cái hộp đượ̣c đánh số́ 1,2,3,4,5 (sau khi

chia có thể có hộp không có viên bi nào) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp?

A B C D

Giải:

Gọi lần lượ̣t là số́ bi có trong hộp đượ̣c đánh số́ 1,2,3,4,5

Số́ nghiệm nguyên không âm của phương trì̀nh (1) là :

Câu 3: Phân phố́i 60 thù̀ng hàng giố́ng hệt nhau cho 6 cửa hàng Tính số́ cách chia để mỗi cửa hàng

nhận đượ̣c ít nhấ́t 6 thù̀ng hàng?

A B C D

Giải:

Gọi số́ thù̀ng hàng đượ̣c phân phố́i cho 6 cửa hàng lần lượ̣t là

Đặt

Bài toán quy về tì̀m số́ nghiệm không âm của phương trì̀nh (1).

Số́ nghiệm không âm của phương trì̀nh (1) là :

Câu 4: Có bao nhiêu cách chia 30 chiếc bánh cho An, Bì̀nh, Chi (có thể có bạn không đượ̣c chiếc

bánh nào) sao cho An luôn hơn Bì̀nh ít nhấ́t 5 cái bánh và số́ bánh của Chi luôn là 1 số́ lẻ ?

A B C D

Giải:

Gọi số́ bánh mà mỗi bạn An, Bì̀nh, Chi nhận đượ̣c là

Ta có :

Bài toán quy về tì̀m số́ nghiệm không âm của bấ́t phương trì̀nh (1).

Số́ nghiệm không âm của bấ́t phương trì̀nh (1) là

DANG 3:ĐÊM SỐ́

Câu 1: Có bao nhiêu số́ tự nhiên thỏa mã̃n

Giải:

Chọn 5 số́ từ cách chọn thành phần.

29

Có duy nhấ́t một cách sắp xếp Số́ các số́ tự nhiên thỏa mã̃n là

Câu 2:Có bao nhiêu số́ tự nhiên thỏa mã̃n

A B C D

Giải:

Vì̀ các phần tử có thể lặp lại nên số́ cách chọn thành phần là số́ tổ hợ̣p lặp chập 5 của 10:

Số́ cách sắp xếp là 1.

Vì̀ có thể tồn tại số́ 00000 nên số́ các số́ đượ̣c tạo thành là

Câu 3:Cho tập hợ̣p Gọi là tập hợ̣p tấ́t cả các số́ tự nhiên có 6 chữ số́ đôi một khác nhau thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên một số́ thuộc Tính xác suấ́t để chọn đượ̣c số́ có tổng ba chữ số́ đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số́ cuố́i 3 đơn vị ̣

Vậy xác suấ́t cần tì̀m là

Câu 4: Lấ́y ngẫu nhiên một số́ tự nhiên có 5 chữ số́ Tính xác suấ́t để chọn đượ̣c số́ tự nhiên có dạng

Số́ các số́ cần tì̀m là do mỗi cách chọn bộ số́ ta phải loại đi bộ số́

là

Xác suấ́t cần tì̀m là

DANG 4:ĐÊM SỐ́ TẬP CON CỦA TẬP HỢP:

Câu 1: Từ 2021 số́ tự nhiên đầu tiên có bao nhiêu cách chọn ra 3 số́ tự nhiên sao cho không có hai số́

liên tiếp nào đượ̣c chọn?

Giải:

Ta áp dụng tư duy vách ngăn, đặt ba số́ đượ̣c chọn vào 2019 chỗ trố́ng (đượ̣c tạo bởi 2018 số́ còn lại.

Câu 2:Mỗi tháng Minh đượ̣c chọn 5 ngày để nghỉ ngơi, nhưng không đượ̣c phép chọn hai ngày nghỉ

liên tiếp Hỏi Minh có bao nhiêu cách chọn ngày nghỉ cho mì̀nh?

Gọi 5 ngày nghỉ lần lượ̣t là

Ycbt Tì̀m số́ nghiệm không âm của hệ :

Số́ nghiệm của hệ trên là

Câu 3: (AIME 1986) Cho xâu nhị ̣ phân: 001101001111011 có 4 cặp 01, 3 cặp 10, 5 cặp 11 và 2

31

A. . B . C.540 D 420

Giải:

Ta thấ́y rằng các xâu nhị ̣ phân thỏa mã̃n đề bài phải có dạng

XYXYXYXY trong đó X là một dã̃y các số́ 0 liên tiếp và Y là một dã̃y các số́ 1 liên tiếp Như thế, có tổng cộng 4 dã̃y

0 và 4 dã̃y 1.

Rõ ràng trong một dã̃y có độ dài là k thì̀ số́ lượ̣ng cặp giố́ng nhau là k – 1 Gọi x,y,z,t là độ dài của

4 dã̃y 0 thì̀ theo giả thiết, ta phải có

Số́ nghiệm nguyên dương của phương trì̀nh trên là

Lại gọi m, n, p, q là độ dài của 4 dã̃y 1 thì̀

Số́ nghiệm nguyên dương của phương trì̀nh này là Do hai dã̃y này chọn độc lập với nhau nên số́ xâu thỏa mã̃n là 10.56 = 560 xâu.

Câu 4: (VMO 2012) Có bao nhiêu cách xếp 5 chàng trai và 2 cô gái vào 1 dã̃y có 7 ghế mà:

Mỗi ghế có một người ngồi.

Các cô gái không ngồi ở hai đầu dã̃y.

Ở giữa hai cô gái không có quá hai người.

Giải:

Ta có cách sắp xếp vị ̣ trí các cô gái là:

Ycbt Số́ nghiệm của hệ: (và nhân thêm hoán vị ̣ 2!.5!)

Ta xét số́ nghiệm hệ là

Số́ nghiệm của hệ là

Vậy số́ cách sắp xếp là :

32

DANG 5:ĐÊM HÌNH HỌC

Câu 1: Cho đa giác lồi n cạnh Xét tứ giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác Có bao nhiêu tứ giác có đúng

một cạnh chung với đa giác?

Giải:

Gọi số́ đỉnh giữa 3 đỉnh không kề nhau của tứ giác lần lượ̣t là

Ta có hệ

Số́ nghiệm nguyên của hệ là

Vì̀ mỗi đỉnh có vai trò như nhau, và mỗi tứ giác chỉ đượ̣c tính một lần

Câu 2: (HSG Tỉnh Quảng Trị ̣ 2014) Có 17 cây cau trồng xung quanh một cái ao hì̀nh tròn Người ta muố́n chặt đi 4 cây Hỏi có mấ́y cách chặt sao cho không có 2 cây kề nhau bị ̣ chặt?

Giải:

Bố́n cây cố́ đị ̣nh lần lượ̣t là A, B,C,D

Khoảng cách giữa 4 cây lần lượ̣t là

Ý tưởng tương tự ta sẽ giải phương trì̀nh nghiệm nguyên giố́ng câu 1 Số́ nghiệm của

phương trì̀nh (1) là

Vì̀ có 17 cách chọn đỉnh A và 4 cây A,B,C,D đượ̣c lặp lại 4 lần nên số́ cách chặt là

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho hì̀nh chữ nhật với Gọi S là tập hợ̣p tấ́t cả điểm và x, y là các số́ nguyên nằm bên trong kể cả cạnh của hì̀nh chữ nhật

.Có bao nhiêu điểm A nằm trong phần tô đâm (kể cả các đoạn chắn )