TIỂU LUẬN NHÓM môn học xử lý số tín HIỆU đề tài tín HIỆU và hệ THỐNG rời rạc THEO THỜI GIAN

Khái niệm:- Hệ rời rạc là một thiết bị hoặc thuật toán làm việc với tín hiệu rời rạc,được gọi là đầu vào input hay kích thích excitation, theo một vài quytắc, để tạo ra một tín hiệu rời

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI

HỌC VIỆN HÀNG KHÔNG VIỆT NAM

KHOA ĐIỆN TỬ - VIỄN THÔNG

BÀI TIỂU LUẬN NHÓM MÔN HỌC: XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

ĐỀ TÀI:

TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC THEO THỜI GIAN

Gvhd: Th.s Đoàn Bảo Sơn

Svth : Lê Khánh Duy 1853020009

Nguyễn Trường Đăng 1853020007 Trần Thúy Hằng 1853020042 Cao Thị Phương Thảo 1853020064

Vũ Duy Tùng 1853020068

LỜI CAM ĐOAN

Nhóm tôi xin cam đoan bài tiểu luận này là công trình nghiên cứu của bảnthân, được đúc kết từ quá trình học tập và nghiên cứu thực tiễn trong thờigian qua Các thông tin và số liệu được sử dụng trong bài tiểu luận cuối kìnày là hoàn toàn trung thực

Thành phố Hồ Chí Minh năm 2021

Người cam đoan

HỌC VIỆN HÀNG KHÔNG VIỆT NAM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

KHOA ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG HK Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

TP.Hồ Chí Minh, ngày tháng năm

NHIỆM VỤ TIỂU LUẬN

HỌ VÀ TÊN: : Lê Khánh Duy MSSV: 1853020009

Nguyễn Trường Đăng 1853020000

Trần Thúy Hằng 1853020042

Cao Thị Phương Thảo 1853020064

Vũ Duy Tùng 1853020068

Tên tiểu luận cuối kì:

TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC THEO THỜI GIAN

1 Nhiệm vụ tiểu luận cuối kì:

2 Ngày giao đề tài :

3 Ngày nộp tiểu luận:

4 Họ tên cán bộ hướng dẫn: Th.s Đoàn Bảo Sơn

TRƯỞNG KHOA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHÍNH

( Ký và ghi rõ họ tên) ( Ký và ghi rõ họ tên)

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình làm tiểu luận môn học này, để hoàn thành được đề tài theođúng yêu cầu và thời gian quy định của nhà trường cũng như của khoa ĐT-VTHÀNG KHÔNG không chỉ là sự cố gắng của nhóm tôi mà còn có sự giúp đỡ, chỉdẫn tận tình của thầy ĐOÀN BẢO SƠN và các thầy, cô trong khoa

Xin chân thành cảm ơn:

Thầy Đoàn Bảo Sơn đã hết lòng giúp đỡ nhóm tôi trong quá trình thực

hiện tiểu luận Vì tiểu luận yêu cầu vê kiến thức mới nên nhóm tôi cũng khôngtránh khỏi những nghi vấn, thắc mắc nhưng nhận được sự giúp đỡ và giảnggiải tận tình của thầy nên các vấn đề đó đã được giải quyết

Học viện đã tạo điều kiện học tập cũng như hoàn thành báo cáo tiểu

luận một cách tốt nhất

Trong lần làm bài tiểu luận này với đề tài đã được thầy giao cho, chúng tôiluôn cố gắng hoàn thành một cách tốt nhất, tuy vậy bài báo cáo khó có thể tránhkhỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý, chỉ dẫn thêm của giáo viênhướng dẫn thầy Đoàn Bảo Sơn và cùng Quý thầy, cô tại trường

Xin chân thành cảm ơn và kính chúc các thầy cô sức khỏe!

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

TpHCM, ngày … tháng …… năm …

Giáo viên hướng dẫn

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

LỜI NÓI ĐẦU

1.2 Mục tiêu nghiên cứu:

Mục tiêu chính của nhóm chúng tôi là trình bày rõ các nội dung:

Sau đó nắm rõ và mô phỏng lại một vài mục kiến thức qua phần mềm MatLab

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức liên quan đến đề tài

- Phạm vi nghiên cứu: Nằm trong phạm vi mà qua quá trình thầy Đoàn BảoSơn giảng dạy nhóm tôi tiếp thu được cùng với các nghiên cứu mà thầyhướng dẫn tìm hiểu thêm ở ngoài bài giảng trên lớp

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu các kiến thức có sẵn mà thầy Đoàn Bảo Sơn hướng dẫn, bên cạnh đónghiên cứu thêm các kiến thức trên mạng và trong các cuốn sách liên quan tới

1.5 Kết cấu của đề tài:

Đề tài bao gồm 2 phần và 4 chương:Phần 1: Tổng quan về đề tài

Chương 1: Giới thiệu

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

Chương 3: Kết quả mô phỏng

Phần 2: Kết luận và kiến nghị

Chương 4: Kết luận và kiến nghị

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Các nội dung lý thuyết liên quan đến vấn đề nghiên cứu:

2.1.1 Tín hiệu rời rạc:

2.1.1.1 Khái niệm:

- Tín hiệu rời rạc là tín hiệu chỉ xác định trên một tập rời rạc của thời gian

- Tín hiệu rời rạc x(n) là hàm số nguyên n nên x(n) không xác định tại

+ Các khoảng thời gian giữa 2 mẫu liên tiếp

+ Các biến n không phải là số nguyên

- Nếu x(n) được tạo ra bằng cách lấy mẫu tín hiệu tương tự xa (T)

thì x(n)≡ xa (nT), với T là chu kỳ lấy mẫu

2.1.1.2 Các cách biểu diễn tín hiệu

+ Chuỗi hữa hạn thoản điều kiện x(n) = 0 với n<0: x(n) = {0,1,2,3,4}

2.1.1.3 Các tín hiệu rời rạc cơ bản

- Chuỗi sung đơn vị : δ (n)={1,n=0

0,n≠ 0

- Tín hiệu nhảy bậc đơn vị: u(n)={1, n≥0

2.1.1.4 Phân loại tín hiệu rời rạc:

 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất:

- Năng lượng E của tín hiệu x(n):

n=−∞

∞

|x(n)|2

- Năng lượng của tín hiệu có thể là vô hạn hoặc hữu hạn.

- Nếu E có giá trị hữu hạn( 0< E <∞) thì x(n) là tín hiệu năng lượng

- Ký hiệu khác của năng lượng: Ex.

- Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc là x(n):

 Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn.

- Tín hiệu x(n) là tuần hoàn với chu kỳ N > 0 nếu và chỉ nếu x(n+N)=x(n)

với mọi n

- Nếu không có giá trị nào của N thỏa mãn công thức trên thì tín hiệu x(n) là

tín hiệu không tuần hoàn

- Năng lượng của tín hiệu tuần hoàn x(n) là hữu hạn trong khoản 0 < n <

N-1, vô hạn trong khoảng ∞ ≤ n≤ ∞

- Công suất trung bình của tín hiệu tuần hoàn bằng với công suất trung bình

Tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu công suất.

 Tín hiệu đối xứng ( chẵn) và tín hiệu phản đối xứng ( lẻ):

- Tín hiệu có giá trị thực x(n) là tín hiệu đối xứng (chẵn) nếu:

2.1.2.1 Khái niệm:

- Hệ rời rạc là một thiết bị hoặc thuật toán làm việc với tín hiệu rời rạc,được gọi là đầu vào (input) hay kích thích (excitation), theo một vài quytắc, để tạo ra một tín hiệu rời rạc khác, được gọi là đầu ra (output) hay đápứng (reponse)

- Trong rất nhiều áp dụng thực tiễn, cần thiết kế một thiết bị hoặc một thuậttoán để thực hiện những thao tác trên các tín hiệu rời rạc Thiết bị haythuật toán này được gọi là một hệ thống rời rạc Một cách tổng quát bằng

biến đổi một tín hiệu rời rạc được gọi là tín hiệu đầu vào thành một tínhiệu rời rạc khác được gọi là tín hiệu đầu ra Tín hiệu đầu vào còn đượcgọi là tín hiệu kích thích vàtín hiệu đầu ra là tín hiệu đáp ứng Gọi x(n) làtín hiệu đầu vào và y(n) là tín hiệu đầu ra, ta có mối quan hệ

y(n) = {x(n)} ℱ

Hình 2.1.2.1.1: Sơ đồ khối hệ thống rời rạc

2.1.2.2 Biểu diễn đầu vào (input) – đầu ra( output) của hệ thồng

- Đáp ứng của hệ thống

- Giá trị y(n) tại điểm n = n o phụ thuộc vào giá trị x(n) tại n = n o và giá trị đầu vào tác động lên hệ thống vào các thời điểm trước và sau n = n o

Áp dụng : Cho x(n) với n ≥ n o , xác định đáp ứng của hệ thống với n ≥ n o (n

= n o, n o+1,…)

y(n o¿= y(n o−1)+x(n o)y(n o+1 ¿= y(n o)+x(n o+1)

+N = 0 : Hệ thống tĩnh+0¿N <∞: Hệ thống nhớ hữu hạn+N = ∞: Hệ thống nhớ vô hạn

2.1.2.4.2 Hệ thống bất biến và thay đổi theo thời gian:

- Hệ thống bất biến: quan hệ vào – ra không thay đổi theo thời gian

x(n) → y(n)x(n-k) → y(n-k)Cách xác định hệ thống bất biến:

Nếu y(n, k) ≠ y(n – k) chỉ với một giá trị của k thì hệ thống là

thay đổi theo thời gian.

2.1.2.4.3 Hệ thống tuyến tính và phi tuyến

- Nguyên lý xếp chồng: Đáp ứng của hệ thống đối với tổng các

tín hiệu bằng tổng các đáp ứng của hệ thống đối với mỗi tín hiệu thànhphần

- Một hệ thống là tuyến tính nếu và chỉ nếu:

[ a1x1 (n) + a2x2 (n)] = a1[ x1 (n)] + a2[ x2 (n)]

- Hệ thống phi tuyến: không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng.

2.1.2.4.4 Hệ thống nhân quả và không nhân quả.

- Hệ thống được gọi là nhân quả nếu đầu ra tại thời điểm n [y(n)] chỉ phụ thuộc vào đầu vào tại thời điểm hiện tại và trước đó [x(n), x(n – 1), x(n – 2), …] mà không phụ thuộc vào đầu ra trong tương lai [x(n + 1), x(n + 2),

…]

y(n) = F[x(n), x(n – 1), x(n – 2),…]

- Ngược lại, hệ thống không nhân quả

2.1.2.4.5 Hệ thống ổn định và không ổn định.

- Hệ thống BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) ổn định nếu và chỉ nếu mỗi đầu vào giới hạn tạo ra một đầu ra giới hạn Chuỗi x(n) và y(n) được gọi là giới hạn khi tồn tại các số Mx và My thỏa mãn:

LTI là viết tắt của Linear Time-Invariant, có nghĩa là thời gian

tuyến tính bất biến , xuất phát từ toán ứng dụng, được áp dụng trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là xử lý tín hiệu LTI nghiên cứu đáp ứng của

hệ thống tuyến tính trong khoảng thời gian bất biến đối với một tín hiệu nguồn bất kì Qũy đạo của hệ thống này được quan sát, theo dõi

và đo lường khi nó di chuyển trong thời gian Vì vậy, hệ thống này còn được gọi là tuyến tính dịch chuyển bất biến để tạo cho lý thuyết này tính tổng quát nhất có thể, trong trường hợp các hệ thống thời gian rời rạc nói chung (tức là lấy mẫu) Đơn giản mà nói, mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của một hệ thống là tuyến tính.

 Nếu tín hiệu vào là x1(t), tính hiệu ra tương ứng là y1(t), tương tự tính hiệu nhập là x2(t), tính hiệu xuất là y2(t).

 Nếu tín hiệu nhập là a1x1+a2x2 thì tín hiệu ở ngõ xuất ra là

2.1.3.2 Phân tích hệ thống LTI:

2.1.3.2.1 Phương pháp giải trực tiếp:

y(n) = F[y(n-1), y(n-2), … ,y(n-N), x(n), x(n-1),…, x(n-M)]

- Phân tích tính hiệu thành tổng các tín hiệu thành phần

- Dùng tính chất tuyến tính của hệ (nguyên lý xếp chồng) để tìm đáp ứngxung

- Phân tích hệ LTI bằng phương pháp 2:

Tín hiệu đầu vào x(n):

x(n) =∑

k c k x k(n)( 2 )

Đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu thành phần xk(n):

y(k)=T[x k (n)](3)

Giả sử điều kiện ban đầu bằng 0, theo tỷ lệ của hệ tuyến tính thì đáp ứng của ckxk(n) là ckyk(n)

 Đối với hệ thống LTI: Gọi : [h(n)=T[δ (n)](5)

Công thức số (7) cho thấy đáp ứng y(n) của hệ LTI là hàm của tín hiệu vào x(n)

và đáp ứng xung đơn vị h(n) và được gọi là tổng tích chập Nói cách khác: y(n)bằng x(n) tích chập với h(n)

 Cách tính tích chập: Input x(n); Impulse reponse: h(n)

Đáp ứng tại thời điểm n=n0:

Bước 1: Gập (Folding): Gập h(k) tại k=0 để tạo ra h(-k)

Bước 2: Dịch (Shifting): Dịch h(-k) sang phải(trái) một khoảng n0 nếu

n0 dương (âm), tạo ra h(n0-k)

Bước 3: Nhân: Nhân x(k) với h(n0-k) để tạo ra chuỗi

Dịch đồ thị h(-k) sang phải 1 đơn vị để tạo ra h(1-k)

Nếu n<0 Tính đáp ứng xung tại n=…-3,-2,-1

 Tính chất kết hợp: [x(n)*h1(n)]*h2(n)=x(n)*[h1(n)*h2(n)]

Vế trái ở đây chính là tín hiệu ra trong trường hợp: x[n] là đầu vào của hệ đáp ứng xung h1[n], đầu ra y1[n] là đầu vào của hệ có đáp ứng xung h2[n] Đây chính là 2 hệ mắc nối tiếp Vế phải ở đây chính là tín hiệu ra trong trường hợp x[n] là đầu vào của hệ có đáp ứng xung là h1[n]*h2[n] Như vậy, hai hệ mắc nối tiếp sẽ có đáp ứng xung là chập của hai đáp ứng xung thành phần Hơn nữa, từ tính chất giao hoán ta thấy có thể đổi chỗ 2

hệ mắc nối tiếp cho nhau mà không làm thay đổi quan hệ vào-ra chung của hệ tổng quát

Tính chất phân phối: x(n)*[h1(n) + h2(n)] = x(n)*h1(n) + x(n)*h2(n)

Vế trái là tín hiệu ra khi x[n] được đưa vào hệ có đáp ứng xung là h1[n]+h2[n] Vế phải là tín hiệu ra tổng của 2 tín hiệu ra khi x[n] đồng thời được đưa vào 2 hệ có đáp ứng xung h1[n] và h2[n] Đây chính là 2 hệ mắcsong song Như vậy, hai hệ mắc song song sẽ có đáp ứng xung là tổng của

2 đáp ứng xung thành phần

2.1.4 Phương trình sai phân:

2.1.4.1 Khái niệm

dưới dạng hàm của giá trị trước đó của chính nó Phương trình sai phân bậc n làphương trình trong đó độ trễ dài nhất của biến sô phụ thuộc bằng n thời kỳ. 

IIR(Infinite-duration Impulse Response): không thể thực thi được

2.1.4.3 Mô tả hệ LTI bằng phương trình sai phân hệ số hằng:

- Phương trình sai phân bậc 1 của hệ đệ quy: y(n) = ay(n-1) + x(n) (5)

- Giả thiết: x(n), n≥0, điều kiện đầu y(-1)

(7) là tích chấp của x(n) và đáp ứng xung h(n)=a n u(n)(8)

Hệ có phương trình sai phân bậc 1 như (6) là hệ nhân quả

⇒ Hệ đệ quy lỏng(relaxed) [điều kiện đầu bằng 0] được mô ta bằng phương trình sai phân bậc 1 như (5) là hệ IIR tuyến tính thay đổi theo thời gian và đáp ứng xung h(n) như (8)

⇒ Đáp ứng đầu vào zero (zero-input) hay đáp ứng tự nhiên :

(1)y(n)= y zi(n)+ y zs (n)

(2)Đáp ứng ở trạng thái zero [yzs(n)] thỏa mãn nguyên lý xếp chồng(3)Đáp ứng đầu vào zero [yzi(n)] thỏa mãn nguyên lý xếp chồng

- Tính bất biến của hệ đệ quy: Trong phương trình (12) , ak, bk là các hằng

số ⇒ Hệ đệ quy được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ sốhằng là hệ tuyến tính bất biến (LTI)

- Tính ổn đỉnh của hệ đệ quy: Hệ đệ quy được mô tả bằng phương trình saiphân tuyến tính hệ số hằng ổn định BIBO nếu và chỉ nếu mỗi đầu vào giớihạn và mỗi điều kiện đầu giới hạn thì đáp ứng của toàn hệ thống là giớihạn

2.1.4.4 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng

phương pháp giải trực tiếp

Phương pháp trực tiếp: Cho x(n), n≥0 và các điều kiện đầu ⇒ tìm y(n), n≥0

∑

k=0

N

a k y(n−k) =0(13)Nghiệm thuần nhất: yh(n)=𝜆n (14)

- Đa thức đặc tính có N nghiệm (thực hoặc phức): 𝜆, 𝜆2, … , 𝜆N

- Nghiệm phức thường là cặp số phức liên hợp

- Có thể có nghiệm bội

- Trường hợp đa thức đặc tính có N nghiệm phân biệt:

yh(n) = C1𝜆1n + C2𝜆2n +…+CN𝜆Nn (15)

C1, C2, …,Cn: các hệ số được xác định từ điều kiện đầu

Vì x(n) = 0 nên (15) có thể được dùng để xác định đáp ứng đầu vào zerocủa hệ thống

- Trường hợp đa thức đặc tính có nghiệm bội

Dạng nghiệm (15): yh(n) = C1𝜆1n + C2𝜆2n +…+CN𝜆Nn phảiđược điều chỉnh lại

2 Nghiệm đặc biệt của phương trình sai phân

Nghiệm đặc biệt yp(n) thỏa mãn:

Hình: Một số phép biến đổi cho tín hiệu đầu vào

3 Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân

y(n) = yh(n) + yp(n)

Đáp ứng xung của hệ đệ quy tuyến tính bất biến:

Khi x(n) = δ(n) và điều kiện đầu bằng 0 (hệ lỏng): h(n) = yzs(n)

- Đối với hệ đệ quy bậc 1:

Đáp ứng xung của hệ đệ quy bậc 1: h(n) = anu(n) (19)

- Tổng quát: Hệ đệ quy tuyến tính bất biến bất kỳ:

chúng tôi không cũng như đã phát triển các công cụ phân tích và thiết kế cầnthiết để xử lý các vấn đề phức tạp như vậy Chưa bao giờ, chúng tôi đã phát triểnđầy đủ nền tảng để xem xét một số phương pháp triển khai cơ bản để thực hiệncác hệ thống LTI được mô tả bằng phương trình sai lệch hệ số không đổi tuyếntính.

2.1.5.1 Các cấu trúc để thực thi hóa tuyến tính hệ thống bất biến

y(n)=b0x(n)+b1x(n– 1) ¿)

Trong khi hệ thống thứ hai là một hệ thống đệ quy được mô tả bởi phương trìnhdưới đây:

y(n)=−a 1 y(n– 1)+v(n)(3)

Tầng 1: Hệ không đệ quy Tầng 2: Hệ đệ quy

Hình 2.1.5.1.1.2: Sơ đồ khối hệ thống đệ quy và không đệ quy

Bên cạnh đó, chúng ta có thể thấy nếu thay đổi thứ tự của các hệ thống bất biếnthời gian tuyến tính theo tầng, phản ứng tổng thể của hệ thống vẫn như cũ Vìvậy, nếu chúng ta thay đổi thứ tự của hệ thống đệ quy và không đệ quy, chúng ta

sẽ có được một cấu trúc thay thế để thực hiện hệ thống được mô tả bởi phươngtrình (1) Hệ thống kết quả được hiển thị trong hình dưới đây

Hình 2.1.5.1.1.3: Kết quả sau khi thay đổi hệ thống đệ quy và

không đệ quy

Từ hình này, chúng ta thu được hai phương trình sai khác:

 ⍵(n)=−a1⍵(n –1)+x(n) (4)

 y(n)=b0⍵(n)+b1⍵(n– 1)(5)

Có thể thấy hai phương trình sai phân (4) và (5) tương đương với phương trìnhsai phân đơn (1) Quan sát kỹ Hình 2.1.5.1.1.3 cho thấy rằng hai phần tử trễ chứacùng đầu vào w (n) và do đó có cùng đầu ra w (n - 1) Do đó, hai phần tử này cóthể được hợp nhất thành một thời gian trễ Khi đó, việc thực hiện bộ nhớ sẽthuận tiện hơn và ta được cấu trúc dạng II trực tiếp như hình dưới dây:

Hình 2.1.5.1.1.4: Cấu trúc dạng II trực tiếp

Ngược lại với cấu trúc dạng I trực tiếp, sự nhận thức mới này chỉ yêu cầu một độtrễ đối với đại lượng phụ w(n), và do đó nó hiệu quả hơn về yêu cầu bộ nhớ vàđược gọi là cấu trúc dạng trực tiếp II, thường được sử dụng nhiều trong các ứngdụng thực tế Vì vậy các cấu trúc này có thể dễ dàng được tổng quát hóa cho hệthống đệ quy bất biến thời gian tuyến tính tổng quát được mô tả bằng phươngtrình sai phân

b k .x(n−k) (6)