skkn ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀBất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là bài toán có mặt ởhầu hết trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học.. Trong chương trình giảng

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ

Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là bài toán có mặt ởhầu hết trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học Không những thế nó còn

là bài toán hay và khó nhất trong các đề thi

Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn người học Việc giảngdạy để làm sao học sinh học tốt chủ đề này luôn là một vấn đề khó Chủ đề nàythường dành cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó

Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có nhiềuphương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán

mà chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi Một trongnhững phương pháp khá hiệu quả là sử dụng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng

cơ bản là khảo sát lần lượt từng biến, bằng cách xem các biến còn lại là tham số cốđịnh Không có một thuật giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thông qua ví

dụ để học sinh rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bàitoán cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải riêng cho mình

Vì những lí do trên tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái nhìn rộnghơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức

và tìm GTLN, GTNN

- Trang bị cho học sinh một phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất mang lại hiệu quả rõ nét

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy sáng tạo

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

- Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa nhiều biến

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số

- KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b].

Lưu ý 2: Khi KL về GTLN, GTNN tìm được phải nêu rõ nó đạt được khi x nhận giá

trị nào.

2) Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến bằng phép đổi biến số

Bước 1 Biểu diễn các biến số của biểu thức ban đầu theo một biến số mới

Bước 2 Tìm điều kiện cho biến số mới (dựa trên điều kiện của các biến số ban

đầu).

Bước 3 Tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới tương ứng với điều kiện

của nó.

3) Một số bất đẳng thức cơ sở thường sử dụng:

2 2 2

1 Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai, ba biến.

Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ giữa chúng rồi tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo sát.

Ví dụ 1 Cho x, y, z là các số dương Tìm GTNN của biểu thức:

P x y z3 3 xyz .

x y z xyz

+ + , do đó nếu đặt 3

x y z t

Từ đó có [ )

3;

10 ( ) (3)

x y

x y

= £ " Î ê úë û nên H(t) là hàm số nghịch biến trên đoạn này.

Từ đó có GTLN của H(t) trên đoạn 2 ;1

1

là 2

9

khi: t =

2

1 , còn GTNN trên đoạn

này của H(t) bằng 4 khi: t = 1.

+ 0

-P(t)

13/2

-7 1Vậy :

Ví dụ 4 ( ĐH Khối D – 2009 )Cho x≥ 0,y≥ 0 và x y+ = 1.Tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

S= (4x2 + 3 )(4y y2 + 3 ) 25x + xy

Hoạt động khám phá :

- Từ giả thiết x y+ = 1 có thể đưa bài toán về một ẩn không ?

- Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện x y+ để sử dụng giả thiết.

Sau khi khai triển và thế vào x y+ = 1 , ta có : S = 16x y2 2 − 2xy+ 12

- Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa S về hàm một biến số nếu ta

Bảng biến thiên

t

0 1/16 1/4

f(t) - 0 +

f(t)

12 25/2 191/16

Và (x y+ ) 2 ≥ 4xy Khi đó điều kiện bài toán trở thành : x y+ ≥ 1

Ta biến đổi được A như sau :

9 '( ) 2 2

4 '( ) 0

Ví dụ 6 (ĐH Khối A- 2006) Cho hai số thực x y, ≠ 0 thay đổi thỏa mãn điều

kiện (x y xy x+ ) = 2 +y2 −xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Ví dụ 8 Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện 2(x2 +y2 ) =xy+ 1 Tìm giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4

x y T

xy

+

= +

Chú ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và y ta được x2 +y2 ≥ 2 xy

- Biến đổi và biểu diễn theo biến t ta được: 7 2 2 1

8 4

t t T

Rõ ràng không có dấu hiệu nào để biểu diễn các biến số của biểu thức cho trong bài

toán theo một biến số mới, ta sẽ tìm GTNN của biểu thức M ban đầu thông qua việc tìm GTNN của một biểu thức trung gian T, biểu thức này được xác định qua lập luận sau:

2 Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến trong bài toán ba biến.

 Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể khảo sát lần lượt từng biến một bằng cách chọn một biến làm tham số biến thiên và cố định các biến còn lại, bài toán lúc này trở thành bất đẳng thức một biến Luôn có tâm thế nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dưới dạng là một hàm số để ta sử dụng được công cụ hiệu quả trong bài toán là đạo hàm.

 Sơ đồ tổng quát.

Giả sử tìm cực trị của biểu thức ba biến x y z, , là P x y z( , , ) với điều kiện T nào đó.

 Bước 1 Xem P x y z( , , ) là hàm theo biến x , còn y z, là hằng số Khảo sát hàm này tìm cực trị với điều kiện T Ta được:

P x y z( , , ) ≥g y z( , ) hoặc P x y z( , , ) ≤g y z( , )

 Bước 2 Xem g y z( , )là hàm biến y , còn z là hằng số Khảo sát hàm này với điều kiện T Ta được : g y z( , ) ≥h z( ) hoặc g y z( , ) ≤h z( ).

 Bước 3 Cuối cùng khảo sát hàm số một biến h z( ) với điều kiện T ta tìm được min, max của hàm này.

- Khảo sát từng biến như thế nào ?

- Xem P là một hàm theo biến z, còn x, y là hằng số Khảo sát hàm số với điều

kiện đã cho suy ra giá trị nhỏ nhất của P, tức là : P x y z( , , ) ≥P x y( , ).

- Khảo sát hàm P x y( , ), ở đây có thể đưa P x y( , )về hàm số một biến không ?

- Khảo sát lần lượt từng biến như thế nào?

- Xem P là một hàm theo biến a, còn b, c là hằng số Khảo sát hàm số với điều

kiện đã cho suy ra giá trị lớn nhất của P, tức là : P a b c( , , ) ≤g b c( , ).

- Khảo sát hàm g b c( , )là một hàm theo biến c, còn b là hằng số Khảo sát hàm

số với điều kiện đã cho, suy ra GTLN của g b c( , ), tức là g b c( , ) ≤h b( ).

- Tiếp theo khảo sát hàm h b( ) suy ra ( ) 8

- Từ giả thiết abc a c b+ + = có thể đưa bài toán về ít ẩn hơn không ?

- Biến đổi giả thiết (1 ) 0

− có thể đưa P về 2 biến (

1

a c

- Xem P là hàm theo biến a còn c là hằng số.

- Khảo sát hàm biến a là f a( ) với 0 a 1

c

c c

− và

1

a c

- Hãy suy nghĩ để chuyển bài toán về ẩn mới?

- Có thể biểu diễn để biểu thức S và giả thiết đơn giản hơn hay không?

- Nếu đặt : x 1,y 1,z 1

= = = bài toàn như thế nào?

- Có thể chuyển bài toán sao cho ít ẩn hơn được không?

x y

>

32 14 9

x y

Từ bảng biến thiên suy ra : ( ) ( )5

4

g y ≥g

5 15 ( ) ( )

Suy ra T ≥ f c( ) ≥ f(1) 13 = khi a b c= = = 1.

Vậy minT = 13 khi a b c= = = 1.

Ví dụ 15 Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện x y z xyz+ + ==3 4

theo x y z xyz xy yz zx+ + ; ; + + như thế nào?

P= t − t+

- Tìm điều kiện cho ẩn mới như thế nào?

Từ các điều kiện đối với x, y, z ta được y z 4 x yz; 2

x

+ = − = do đó t x(4 x) 2

x

= − +

- tìm điều kiện đối với ẩn x và chuyển điều kiện đó theo ẩn t.

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương y, z ta có:

Đáp số : maxP= 2 2 đạt được khi x= 2;y z= = 0

minP= − 2 2 đạt được khi x= − 2;y z= = 0.

Bài 3 Cho x> 0;y> 0;z> 0 thỏa mãn điều kiện x y z+ + = 1 Tìm GTLN của biểu thức :

Bài 4 Tỡm GTNN của biểu thức :

Cỏc bài tập đưa ra từ dễ đến khú, cú những bài tập cú lời giải chi tiết nhưng cúnhững bài tập chỉ cú hướng dẫn học sinh phải biết chiếm lĩnh tri thức, phỏt triển khảnăng tư duy cho học sinh Hệ thống cỏc bài tập trong đề tài này chủ yếu là cỏc bài tậptrong cỏc đề thi Đại hoc và Cao đẳng những năm gần đõy nờn khi học sinh hiểu bài

và làm được thỡ tạo nờn hứng thỳ và động lực học tập rất tốt cho cỏc em

Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn có rất nhiều học sinhcòn bỡ ngỡ trong qúa trình giải các bài toán cực trị, lập luận cha cócăn cứ, suy diễn cha hợp logic và đặc biệt là một số dạng cha phùhợp với học sinh trung bình, yếu

Sỏng kiến kinh nghiệm này cú thể triển khai như một chuyờn đề để bồi dưỡnghọc sinh giỏi ; cũng như dựng để giảng dạy cho cỏc em học sinh ụn tập thi đại học,nhằm giỳp cỏc em học sinh cú thể vượt qua trở ngại tõm lớ từ trước tới nay cho loạibài toỏn này