Chuyên đề cân bằng tổng quát của vật rắn bồi dưỡng HSG Vật lí 10

 - Khi truyền cho quả cầu trên một vận tốc v theo phương ngang thì: + Hai quả cầu sẽ quay quanh khối tâm của nó với gia tốc hướng tâm a  v + Khối tâm sẽ chuyển động tịnh tiến theo phươ[r]

Chuyên đề 12:

CÂN BẰNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN

A Tóm tắt kiến thức

I Ngẫu lực

- Định nghĩa: Ngẫu lực là một hệ gồm hai lực song song, ngược chiều và cùng độ lớn

- Tính chất:

+ Ngẫu lực không có hợp lực

+ Momen của ngẫu lực đối với một trục quay bất kì vuông góc với mặt phẳng ngẫu lực

đều bằng: M Fd (d là tay đòn của ngẫu lực)

- Tác dụng: Dưới tác dụng của ngẫu lực vật chuyển động quay theo một chiều nhất định:

+ Vật không có trục quay: Ngẫu lực làm vật quay quanh khối tâm của vật

+ Vật có trục quay không qua khối tâm: Ngẫu lực làm vật quay quanh trục quay đó

II Điều kiện cân bằng tổng quát của vật rắn

Điều kiện cân bằng tổng quát của vật rắn là:

+ Tổng các lực tác dụng lên vật bằng 0: F 0

+ Tổng momen lực làm vật quay theo chiều kim đồng hồ bằng tổng các momen lực làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ: Mth Mng

B Những chú ý khi giải bài tập

* Về kiến thức và kĩ năng

- Khi vận dụng điều kiện cân bằng tổng quát để giải các bài toán về cân bằng của vật rắn cần:

+ Xác định đầy đủ cá lực tác dụng vào vật

+ Áp dụng điều kiện cân bằng tổng quát của vật rắn:

 F  0 Fx 0;Fy 0

 Mth Mng

(Chú ý lựa chọn hệ trục tọa độ và trục quay thích hợp để việc vận dụng các hệ thức trên được đơn giản)

- Đối với các bài toán về chuyển động của vật rắn cần chú ý: chuyển động bất kì của vật rắn là tổng hợp của chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay:

+ Khi vật chuyển động tịnh tiến: đối với khối tâm thì Mth Mng

+ Bánh xe, vành tròn lăn trên mặt đường: điểm tiếp xúc của bánh xe với mặt đường là trục quay tức thời nên momen của trọng lực, phản lực của mặt đường đối với trục quay đó bằng 0

+ Vật chuyển động trên đường vòng: hợp lực tác dụng lên vật phải có giá đi qua khối tâm

* Về phương pháp giải

Với dạng bài tập về cân bằng tổng quát của vật rắn Phương pháp giải là:

- Xác định vật cần xét sự cân bằng

- Xác định các lực tác dụng vào vật (điểm đặt, hướng) trên hình vẽ

- Sử dụng các điều kiện cân bằng:

n





- Từ điều kiện cân bằng, xác định các đại lượng theo yêu cầu của đề bài

Chú ý:

- Xác định đúng tay đòn lực

- Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng

C Các bài tập vận dụng

11.1 Khối hình hộp đáy vuông, khối lượng m20kg, cạnh a0,5m, chiều cao b1

m đặt trên sàn nằm ngang Tác dụng lên hộp lực F

nằm ngang đặt ở giữa hộp Hệ số

ma sát giữa khối và sàn là 0, 4 Tìm F để khối hộp bắt đầu mất cân bằng (trượt hoặc lật)

Bài giải

* Khi vật bắt đầu trượt:

- Các lực tác dụng lên hộp: trọng lực P

, phản lực Q

, lực ma sát Fms

, lực kéo F



- Khi vật bắt đầu trượt Fms N Qvà:

0

ms

P Q F   F

    

+ Chiếu (1) lên trục Ox ta được: Q P mg  20.10 200 N

+ Chiếu (1) lên trục Oy ta được: F Fms Q0, 4.200 80 N

* Khi vật bắt đầu lật:

- Các lực tác dụng lên hộp: trọng lực P

, phản lực Q

, lực kéo F

- Khi vật bắt đầu lật (quay quanh A) thì: MF MP

0,5

b

Vậy: Vật bắt đầu mất cân bằng khi F 80N

12.2 Thanh AB chiều dài l10m, khối lượng m200kg đặt trên hai giá đỡ

C D AC  m, BD m Hai vật nặng 3 m1800kg, m2 300kg treo tại

E A AE  m

Áp dụng điều kiện cân bằng của vật rắn, tính các lực đàn hồi của giá đỡ

Bài giải

- Các lực tác dụng lên giá đỡ: trọng lực P

; các lực căng dây T T T 1, 2 1 P T1, 2 P2

; các phản lực Q Q 1, 2

- Thanh AB nằm cân bằng nên:

+ Hợp lực bằng 0: P T T       1 2 Q1Q2 0

+ Đối với trục quay ở D:

MM M M (2)

Q CD P AD P GD P ED

1

m GD m ED m AD g

Q

CD

Với CD l AC DB 10 2 35m;GD GB DB    5 3 2m

ED   AD l DB    

1

200.2 800.4 300.7 10

3000

- Thay vào (1’) suy ra: Q2 200.10 800.10 300.10 3000 4000N   

Vậy: Các lực đàn hồi của giá đỡ tác dụng lên thanh AB là Q1 3000N và Q2 4000N

12.3 Đĩa tròn đồng chất, trọng lượng 40N đặt thẳng đứng trên mặt phẳng nghiêng góc

30

   Đĩa cân bằng nhờ dây nối AB

Biết giữa đĩa và mặt nghiêng có ma sát Tìm lực căng của dây

Bài giải

- Các lực tác dụng lên đĩa: trọng lực P

, phản lực Q

, lực ma sát Fms

, lực căng dây

T

- Vì đĩa cân bằng nên áp dụng quy tắc momen lực với trục quay qua O ta được:

  0

ms

M M M M 

 

1

1 2

N





 Vậy: lực căng của dây là T 10,7N

12.4 Thanh AB chiều dài l 2m, khối lượng m kg 3

a)Thanh được treo cân bằng trên hai dây tại I và B như hình; AI 25cm

Dựa trên điều kiện cân bằng của vật rắn, tính các lực tác dụng lên thanh

b)Thanh được treo bằng một dây ở đầu B, ở đầu A tựa trên cạnh bàn Tính các lực tác dụng lên thanh khi thanh cân bằng, biết    30

Bài giải a) Khi thanh được treo cân bằng trên hai dây tại I và B

- Các lực tác dụng lên thanh: trọng lực P

, các lực căng dây T T 1, 2

- Thanh năm cân bằng nên:

+ Hợp lực bằng 0:    P T T 1 2 0

(1)

+ Đối với trục quay qua G:

1 2

M M (2)

T GI T GB

  , với GB m 1

1 0, 25 0,75m

GI GA AI    

0,75T T

Giải hệ (1) và (2) ta được: T117,14N;T2 12,86N

Vậy: Các lực tác dụng lên thanh là P30N;T117,14N;T2 12,86N

b) Thanh được treo bằng một dây ở đầu B, đầu A tựa trên cạnh bàn

- Các lực tác dụng lên thanh: trong lực P

, lực căng dây T

, phản lực Q

, lực ma sát Fms

- Thanh nằm cân bằng nên:

+ Hợp lực bằng 0: P T Q F       ms 0

(3)

sin sin

ms

Và Q P cosTcos (3’’)

+ Đối với trục quay qua A: MT MP (4)

30

P

Thay vào (3’) và (3’’) ta được:

30.sin 30 15.sin 30 7,5N

ms

F      và Q30.cos 30 15.cos 30 13N

Vậy: Cácc lực tác dụng lên thanh khi thanh cân bằng là P30N,T 15N,Fms 7,5N và Q13N 12.5 Thanh AB có đầu A tựa trên sàn, đầu B được treo bởi dây BC Biết BCAB a

Xác định giá trị hệ số ma sát giữa AB và sàn đề AB cân bằng

Bài giải

- Các lực tác dụng lên thanh: trọng lực P

, lực căng dây T

, phản lực Q

, lực ma sát Fms

.

- Thanh nằm cân bằng nên:

+ Hợp lựuc bằng 0:

0

ms

P T Q F   

    

3 sin 60

2

ms

2

T

Q P T   mg (1’’)

+ đối với trục quay qua A: MT MP (2)

sin 60 sin 60

ms

- Thanh chưa trượt (cân bằng) nên 3

4

ms

mg

F Q

3 4

0,58

ms

mg F



Vậy: Để thanh AB cân bằng thì 0,58

12.6 Người trọng lượng P1500N đứng trên ghế treo trọng lượng P2 300N như hình vẽ

Chiều dài AB1,5m Hỏi người cần kéo dây một lực bao nhiêu và đứng ở vị trí nào để hệ

cân bằng? Bỏ qua trọng lượng ròng rọc

Bài giải

- Đối với hệ “người và ghế”

+ Các lực tác dụng lên hệ gồm: trọng lực P P P P  1 2

, các lực căng dây , ,T T T   

+ Hệ cân bằng: P T T       T0

T T T P

với

2

T

F T T

1 2 500 300

P P P

- Đối với ghế:

+ Các lực tác dụng lên ghế: trọng lực P2

, áp lực N1

, cá lực căng dây ,T T  

+ Với trục quay qua A , ta có: MT MP2 MN1MT 0

2

1

2

2

P

AB

N

   



- Đối với người: người cân bằng trên ghế nên: P Q T    1 1 0

- Thay (3) vào (2) ta được:

300

Vậy: Đề hệ cân bằng thì người cần kéo dây một lực là F 200N và đứng ở vị trí C cách đầu A một đoạn

0, 25

12.7 Thang có khối lượng m20kg được dựa vào tường trơn nhẵn dưới góc

nghiêng 

Hệ số ma sát giữa thang và sàn là  0,6

a) Thang đứng yên cân bằng, tìm các lực tác dụng lên thang nếu  45

b) Tìm các giá trị của  để thang đứng yên không trượt trên sàn

c) Một người khối lượng m40kg trèo lên thang khi  45 Hỏi người này

lên đến vị trí O’ nào trên thang thì thang sẽ bị trượt Chiều dài thang l2m

Bài giải a) Các lực tác dụng lên thang khi  45

- Các lực tác dụng lên thang: trọng lực P

, lực ma sát Fms

, các phản lực Q Q 1, 2

- Thang cân bằng nên:

+ Hợp lực bằng 0:     P F ms Q1Q2 0

+ đối với trục quay qua A: MP  MQ  2MQ  1 M F ms (2)

2

2

AB

2

100

2 tan 2 tan 45 2.1 N

P

Q





ms

Vậy: Các lực tác dụng lên thang khi  45 là P Q 1200N;Fms Q2 100N b) Giá trị của  để thang không trượt:

Khi thang chưa trượt thì:

1

2 tan

ms

P



2 2.0,6 1, 2





40



Vậy: Để thang không trượt thì  40

c) Vị trí O’ trên thang để thang bị trượt

- Các lực tác dụng lên thang: trọng lực ,P P 

, lực ma sát Fms

, các phản lực Q Q 1, 2

- Thang cân bằng nên:

+ hợp lực bằng 0:      P P Fms Q1Q2 0

Q P P m m g

Và Fms Q2 Q1 0,6.600 360N (3’’)

+ Đối với trục quay qua A: 2 1 0

ms

M MM M M  (4)

2

AB

2

200

P

AO

P





1,3 2

400

2

m AO





Vậy: Thang sẽ bị trượt khi người leo đến vị trí O’ vớiAO1,3m

12.8 Thang trọng lượng P100N dựa vào tường trơn sàn nhám Cần nghiêng thang góc  đối với sàn bao nhiêu để người có trọng lượng P1400N có thể trèo lên tận đỉnh thang?

Biết hệ số ma sát giữa thang với sàn là  0,3 3

Bài giải

- Các lực tác dụng lên thang: trọng lực P P , 1

, lực ma sát Fms

, các phản lực Q Q 1, 2

- Thang chưa trượt khi Fms N

+ Hợp lực bằng 0:      P P F 1 msQ1Q2 0

(1)

Và Fms Q2 Q10,3 3.500 150 3N (1’’)

+ Đối với trục quay quanh A:

ms

2

AB

450cos 150 3 sin

Vậy: để người trèo lên được đến đỉnh thang thì    60

12.9 Thang dựa vào tường, hợp với sàn góc  Biết hệ số ma sát giữa thang với tường là 10,5, với sàn

là 2 0, 4 Khối tâm thang ở giữa thang Tìm giá trị nhỏ nhất của  mà thang không trượt

Bài giải

- Các lực tác dụng lên thang: trọng lực P

, các lực ma sát F ms,fms

, các phản lực Q Q 1, 2

- Thang chưa trượt khi Fms N

+ Hợp lực bằng 0:

P f F Q Q 

     

ms

Và Fms Q12Q2 (1’’)

+ Đối với trục quay qua B:

2 1 0

M M M M M  (2)

2

AB

2 2 ms.tan 2 2 tan

Vì Fms Q12Q f2; ms  P Q2 1 1Q

2Q 2 tanQ  Q Q

2 2 tan1 1 1

2 1 2 tan 1 1 2 tan 2 2

2





min

Vậy giá trị nhỏ nhất của mà thang không trượt là min 45

12.10 Thang chiều dài AB l nghiêng góc  so với sàn tại A và tựa vào tường tại B Khối tâm của C của thang cách A một đoạn

3 l

a) Chứng minh rằng thang không thể cân bằng nếu không có ma sát

b) Gọi  là hệ số ma sát giữa thang với sàn và tường,    Tính 60  nhỏ nhất để thang cân bằng

c) Khi  nhỏ nhất, thang có trượt không nếu một người có trọng lượng bằng trọng lượng thang đứng tại D cách A một khoảng 2

3

l

?

Bài giải a) Chứng minh rằng thang không thể cân bằng nếu không có ma sát

- Nếu không có ma sát, các lực tác dụng lên thang gồm: trọng lực P

, các phản lực Q Q 1, 2

Nếu thang cân bằng thì : P Q    1Q2 0

- Chiếu (1) lên phương ngang ta được: Q2  (vô lí)! 0

Vậy: Thang không thể cân bằng nếu không có ma sát

b)Giá trị nhỏ nhất của  để thang cân bằng

- Các lực tác dụng lên thang: trọng lực P

, các lực ma sát F ms,fms

, các phản lực Q Q 1, 2

- Thang chưa trượt khi Fms N

+ Hợp lực bằng 0:      P fms FmsQ1Q2 0

(1)

ms

+ Đối với trục quay qua B

2 1 0

2

21

- Vì FmsQ1Q f2; ms  P Q2 Q1

- Thay vào (1’) ta được:  2 1  2 1

3

.tan

2 Q Q  Q Q

.tan

2

2 3 tan   1 0

2

2 3 3 1 0

- Giải (3) ta được: 35 3 3 min 35 3 3 0,18

Vậy: giá trị nhỏ nhất của  để thang cân bằng là min 0,18

c) Thang có trượt không nếu một người có trọng lượng bằng trọng lượng thang đứng tại D

- Gọi P

là hợp lực của P

và P1

, vì P P và 1 P P , 1

cách hai đầu thang những khoảng bằng nhau nên suy ra khối tâm E của hệ người và thang nằm ở giữa thang

- Các lực tác dụng lên thang là: trọng lực P

, các lực ma sát F ms,fms

, các phản lực

1, 2

Q Q 

- Thang bắt đầu trượt khi:

+ Hợp lực bằng 0:      P fms FmsQ1Q2 0

2 1 ms

Và Fms Q1Q2

+ Đối với trục quay B:

2 1 0

2

1

- Thay (3’) và (3’’) vào ta được: 2Q2Q1.tan Q2 Q1

2 2 tan1 1

2 2 tan 1 0

Giải (5) ta được:   2 3 0, 27 min (phù hợp)

Vậy: Nếu một người có trọng lượng bằng trọng lượng thang đứng tại D cách A 2

3

l thì thang sẽ bị trượt 12.11 Thanh đồng chất nằm trong một chỏm cầu nhám, hệ số ma sát , độ dài thanh

bằng bán kính chỏm cầu Hỏi thanh có thể tạo với đường nằm ngang góc lớn nhất bao

nhiêu mà vẫ cân bằng? Biết thanh nằm trong mặt phẳng thẳng đứng qua tâm chỏm cầu

Bài giải

- Các lực tác dụng lên thanh: trọng lực P

, các phản lực Q Q 1, 2

, các lực ma sát F ms1,Fms2

- Thanh cân bằng khi: P Q      1Q2Fms1Fms2 0

(1)

               

- Vẽ hai mặt nón ma sát MAN và MBN tại hai đầu A và B của thanh với nửa

góc ở đỉnh  sao cho tan  Lúc đó:

+ Hợp lực tác dụng lên thanh nằm trong mặt nón ma sát thì thanh cân bằng

+ Hợp lực phải có giá đồng quy thì thanh mới cân bằng

+ Góc  lớn nhất khi ba lực P R R  , ,1 2

có giá đồng quy tại giao điểm M của hai mặt nón ma sát

- Áp dụng định lí hàm sin cho:

+ Tam giác MAG ta có: sinMAG sinAMG

MG  AG (OA OB AB R OAB , đều)

MAG

MG



+ Tam giác MBG ta có: sinMBG sinBMG

sin 60

2

MGB AB

MG



2 AB

      



MG

 

Chia (2) cho (3) ta được:  



sin 60  cos  60  sin 60  cos  60 





2

3tan 3tan tan tan tan 

k k





2

4 arctan

3

k k



Vậy: Thanh có thể tạo với đường nằm ngang góc lớn nhất là arctan 4 2

3

k k

   



 để thanh cân bằng 12.12 Hai trụ nhẵn đồng chất m110kg, m2 30kg, tâm O O đặt tiếp xúc 1, 2

nhau giữa hai mặt nghiêng trơn vuông góc,    60

Tìm góc tạo bởi O O và phương ngang, áp lực của các khối trụ lên mặt phẳng 1, 2

và lực tương tác giữa hai trụ

Bài giải

- Các lực tác dụng lên trụ thứ nhất là: trọng lực P1

, phản lực Q1

, lực tương tác F1

; các lực tác dụng lên trụ thứ hai là: trọng lực P2

, phản lực Q2

, lực tương tác F2

- Điều kiện cân bằng của mỗi trụ là:

P Q F 

   

P Q F 

   

- Chiếu (1) và (2) lên hai trục Ox và Oy ta được:

1sin 60 1cos 0

2sin 30 2cos 0

1cos 60 1sin 1 0

2cos 30 2sin 2 0

- Từ (1’) và (2’) suy ra: Q1sin 60 Q2sin 30(vì F1F2)

3 sin 60 2

1 sin 30

2

Từ (1’’) và (2’’) suy ra: Q1cos 60   P1 Q2cos 30  P2

 3 cos 30 cos 60 Q 1 P2 P1

1

10.10 30.10

200

3

P P

Và Q2  3Q1  3.200 346N

- Từ (1’) và (2’) suy ra: 1 1

1

1 10.10 200

200

2

P Q Q



- Từ (1’) suy ra: 1 1

3





Vậy: Góc hợp bởi O O và phương ngang là 1 2   ; áp lực các khối trụ lên các mặt phẳng là 0

N Q  N, N2 Q2 346N; lực tương tác giữa hai trụ là F1 F2 173N

12.13 Khối lập phương tựa trên một cạnh trên nền nhà, một cạnh trên tường nhẵn

Tìm  để khối cân bằng, biết hệ số ma sát giữa khối và sàn là 

Bài giải

- Các lực tác dụng lên vật là: trọng lực P

, các phản lực Q Q 1, 2

, lực ma sát Fms

- Để khối gỗ cân bằng thì:

+ Hợp lực bằng 0:

P Q Q F 

    

Và  P Q1 0 Q1 P (1’’)

ms

+ Đối với trục quay qua A thì:

2 2

M M Q OB P AH với OB a sin

a

P P





- Khi

4



  vật sẽ bị lật ngay do trọng lực rơi ngoài chân đế

Vậy: Để khối gỗ cân bằng thì 0

4



   , với  tan 0 1







 12.14 Ba hình trụ giống nhau đặt như hình vẽ Hệ số ma sát giữa các trụ là , giữa trụ với mặt phẳng là .

Tìm điều kiện của ,  để hệ cân bằng

Bài giải

- Các lực tác dụng lên trụ 1: trọng lực P1

, phản lực Q1

, lực ma sát Fms1

và áp lực

1

N

- Điều kiện cân bằng của trụ 1 là:

P Q F N 

    

     

(1)   R1Q1Fms 1