Chứng minh rằng.. Chứng minh rằng.. Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC sao cho AN=CM.. Gọi K là giao điểm của AN và CM.. Chứng minh rằng KD là tia phân giác của AKC.
Trang 1Phòng GD-đtTam
năm học 2007-2008 Môn: Toán
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1:(3 điểm)
a) Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2 4 4 4 Chứng minh rằng nếu
A2a b 2b c 2a c a b c
là 3 cạnh của một tam giác thì >0
b) Chứng minh rằng a5 a 30 (aZ)
Câu 2:(2 điểm)
Giải phương trình x2 2xyy2 3x2y 1 4 2x x2 3x2
Câu 3(1,5 điểm)
Cho 3 3 Chứng minh rằng
a b 2 a b 2
Câu 4:(1,5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Một đường thẳng d qua O song song với 2 đáy cắt 2 cạnh bên AD, BC lần lượt tại E và F Chứng minh rằng
Câu 5 (2 điểm)
Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC sao cho AN=CM Gọi K là giao điểm của AN và CM Chứng minh rằng KD là tia phân giác của AKC
-Hết -Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh……… SBD:……….
Trang 2Phòng GD Tam Dương Hướng dẫn chấm
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8
năm học 2007-2008 Môn: Toán
(Thời gian làm bài 120 phút)
1
a) 2 2 2 2 2 2 4 4 4= 4 - (
A2a b 2b c 2a c a b c 2 2
2a b 2b c 2a c a b c )
(2ab) a2 b2 c )2 2 (2ab 2 2 2
a b c 2ab a2 b2 c2
c2 (a b)2 (a b c)(a b c)(c a b)(c a b)
Do a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác nên
a b c 0; a b c 0; c a b 0; c a b 0 A 0
b) a5 a a(a4 1) a(a2 1)(a2 1)= 2
a(a 1)(a 1) (a 4) 5
=a(a 1)(a 1)(a 2)(a 2) 5a(a 1)(a 1)
Do tích của năm số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong năm số nguyên liên
tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và do (6;5)=1
Suy ra a(a 1)(a 1)(a 2)(a 2) 30 và 5a(a 1)(a 1) 30 Vậy a5 a 30
0,25 0,5 0,5 0,25
0,5 0,25
0,5 0,25
2
3
x2 2xyy2 3x2y 1 4 2x x2 3x2
(1)
(x y 1)2 x 2 (x 1)(x 2) 2x4
Do (x y 1)2 x 2 (x 1)(x 2) 0 x, y 2x 4 0 2(x 2) 0 x 2
Với x 2thì (x y 1)2 x 2 (x y 1)2 x 2; (x 1)(x 2) 2
x 3x2
Khi đó từ phương trình (1) 2 + = =
(x y 1) x 2 (x 1)(x 2) 2(x 2) 2
(x y 1)
(x 2)(2 x 1 1) 2
(x 2) x 2 0 x y 1 0 x 2; y 3
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S= 2;3
a b 2
> (do )
3ab(a b) 6 ab(a b) ab(a b) 2 3 3
a b 3 3
a b 2
>
(a b)(a ab b ) 2 2
(vô lý ) Vậy a b 2
0,5 0,25 0,25 0,25
0,5 0,25 0,5 0,5 0,5
Trang 3Xét ABD có OE//AB OE OD (Hệ quả của định lý Ta lét) (1)
Xét ABC có OF//DC OF OB (Hệ quả của định lý Ta lét) (2)
Xét ABC có OF//AB OF OC (Hệ quả của định lý Ta lét) (3)
Xét ABD có OE//DC OE AO (Hệ quả của định lý Ta lét) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra : OE+ + + = + + +
AB
CD
OF AB
OE DC
OD DB
OB BD
OC AC
AO AC
AB
OF AB
OF CD
OE DC
OD DB
OB BD
OC AC
AO AC
AB
EF DC
BD BD
AC
AB
EF
AB
1 DC
2 EF
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
5
Kẻ DI, DJ lần lượt vuông góc với AK, CK
Ta có SAND 1AN.DI = ( do chung đáy AD, cùng chiều cao hạ từ N) (1)
2
2
= ( do chung đáy CD, cùng chiều cao hạ từ M) (2) CDM
1
2
2
Từ (1) và (2) suy ra: 1AN.DI= DI=DJ (do AN=CM)
2
1 CM.DJ
(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
KD là tia phân giác
l
K
A
B
D
C
N
M
J
0,25 0,5 0,5 0,25
0,5
-O A
D
B
C