Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch tô màu chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình [r]
Trang 1C hương fe BẤTPHƯƠNGTRÌNH _ BAT DANG THỨC
CHUYEN DE 4
BAT PHUONG TRINH VA HE BAT PHUONG TRINH BAC NHAT HAI AN
§3 BAT PHUONG TRINH VA HE BAT PHUONG TRINH BAC NHAT HAI AN
A TOM TAT LY THUYET
1 Bat phwong trinh bac nhat hai an
a) Bat phương trình bậc nhất hai ấn và miền nghiệm của nó
se Bát phương trình bậc nhất hai ân x, y là bât phương trình có một trong các dạng:
ax+by+ec<0,ax+by+ec>0,ax+by+ec<0,ax+by+ec>0 trong đó a, b, c là những số thực đã cho, ø và
b không đông thời băng 0; x và y là các ẩn số
Mỗi cặp số (xo: yo) sao cho axo + byo < c gọi là một nghiệm của bất phương trình ax+by+c<0,
Nghiệm của các bất phương trình dạng ax+ by > c,ax+ by <e,ax+ by > c cũng được định nghĩa tương tự
e Trong mặt phăng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhật hai ân được biểu điễn bởi một
điêm và tập nghiệm của nó được biêu diễn bởi một tập hợp điêm Ta gọi tập hợp điêm ay là miễn nghiệm của bât phương trình
b) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thắng (đ):ax+by+c=0 chia mặt phẳng thành hai nửa
mặt phẳng Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (đ)) gồm các điểm có toa độ thỏa mãn bất phương trình ax+by+c>0 , nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (đ)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax+by+c<0
Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax+ by+c <0, ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau:
Bước 1 Vẽ đường thăng (đ): ax+by+c<0
Bước 2 Xét một điểm 4 (xạ; y„) không năm trên (2)
« - Nếu ax +byạ +e<0 thì nửa mặt phẳng (không kẻ bờ (2)) chứa điểm # là miền nghiệm của bất phương trình ax+by+e<0
«e _ Nếu ax +byạ +c >0 thì nửa mặt phăng (không kẻ bờ (#)) không chứa điểm ⁄ là miền nghiệm của bất phương trình ax+by+c>0
Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax+y+c <0 hoặc zx+y+c >0 thì miền nghiệm là nửa
mặt phăng kể cả bờ
2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Tương tự hệ bắt phương trình một ân, ta có hệ bát phương trình bậc nhất hai an
Trang 2Trong mat phăng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bắt phương trình trong hệ là miễn nghiệm của hệ Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong
hệ
Đề xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn
lại
Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phăng
tọa độ, miên còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miên nghiệm của hệ bât phương trình đã cho
Câu nào sau đây sai?
Miễn nghiệm của bất phương trình =x+2+2(y—2)< 2(1— x) là nửa mặt phẳng chứa điểm
Lời giải
Chọn C
Ta có: =x+2+2(y—2)<2(I—x) ©-x+2+2y—-4<2-2x€©x+2y<4
Dễ thấy tại điểm (4:2) ta có: 4+2.2=8>4
Câu nào sau đây đúng?
Miễn nghiệm của bắt phương trình 3(x—1)+4(y—2)< 5x—3 là nửa mặt phăng chứa điểm
Lời giải Chọn A
3(x-I)+4(y-2)<5x—3 ©3x~3+4y—8<5x~3 ©2x—4y+8>0 © x—2y+4>0
Dễ thấy tại điểm (0;0) ta có: 0—2.0+4=4>0
Câu nào sau đây sai?
Miễn nghiệm của bắt phương trình x+3+2(2y+5)< 2(1—x) là nửa mặt phăng chứa điểm
A (-3;-4) B (—2;—5) C (-L-6) D (0;0)
Lời giải
Chon D
Ta có: x+3+2(2y+5)<2(I—x) ©x+3+4y+10<2—2x©3x+4y+8<0
Dễ thây tại điểm (0:0) ta có: 3.0+4.0+8 >0 (mâu thuần)
Câu nào sau đây đúng?
Miễn nghiệm của bắt phương trình 4(x—1)+5(y—3)>2x—9 là nửa mặt phăng chứa điểm
Loi giai
Chon D
Ta có: 4(x—1)+5(y—3)>2x—9 ©4x—4+5y—15>2x—9 ©2x+5y—10 >0
Dễ thay tại điểm (2;5) ta có: 2.2+5.5—10 >0 (đúng)
Câu nào sau đây đúng?
Trang 2/13
Trang 3
Cau 6:
Cau 7:
Cau 8:
Cau 9:
Cau 10:
“+ -I>0
2 3
Miền nghiém ctia hé bat phương trinh 4 2(x—1)+ > <4 là phần mặt phẳng chứa điểm
x>0
Lời giải
Chọn A
Nhận xét: chỉ có điểm (2;1) thỏa mãn hệ
Điêm nào sau đây không thuộc miên nghiệm của hệ bât phương trình ?
5x-y+4<0
Lời giải
ChonC
Nhận xét : chỉ có điểm (0;0) không thỏa mãn hệ
2x-5y-l>0
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình 4 2x+ y+5 >0 ?
x+y+1<0O
Lời giải
ChonC
Nhận xét: chỉ có điểm (0;—2) thỏa mãn hệ
x—y>0
Miền nghiệm của hệ bất phương trình + x— 3y+ 3< 0 là phần mặt phăng chứa điểm
x+y-5>0
Lời giải
Chọn A
Nhận xét: chỉ có điểm (5;3) thỏa mãn hệ
3x+y>9
Miễn nghiệm của hệ bắt phương trình 3 ` s _ là phần mặt phẳng chứa điểm
y<6
Lời giải
ChonD
Nhận xét: chỉ có cặp số (8:4) thỏa bắt phương trình 3x+ y >9
Miền nghiệm của bất phương trình 3x+ 2( yt 3) > A(x+ 1) —y+3 1a phan mat phang chia diém
nao?
Trang 4
Cau 11:
Cau 12:
Cau 13:
Cau 14:
Cau 15:
A (3:0) B (3; 1) C (1: 1) D (0:0)
Lời giải ChonC
Nhận xét: chỉ có cặp số (I;1) thỏa bất phương trình
Miền nghiệm của bất phương trình 5(x+2)-9 <2x-2y+7 là phần mặt phắng không chứa điểm nào?
A (-2;1) B (2;3) C (2;-1) D (0;0)
Lời giải ChonC
Nhận xét: chỉ có cặp số (2;3) không thỏa bất phương trình
Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình 2x+ y< 12
Lời giải ChonC
Nhận xét: chỉ có c&p s6 (0;1) khéng théa bat phuong trinh
Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bắt phương trình x— 4y+5> 0?
Lời giải ChonB
Ta thay cặp số (—2: 1) vào bất phương trình x—4y+5>0 được -2—4+5>0(sai) đo dó cặp số (—2: 1) không là nghiệm của bắt phương trình x—4y+5>0
Miễn nghiệm của bất phương trình —-3x+ y+22<0 không chứa điểm nào sau đây?
A A(1; 2) B 8(2; 1) Cc cũ ;) D D(3; 1)
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trước hết, ta vẽ đường thăng (d):-3x+ y+2=0 y
Ta thấy (0 ; 0) không là nghiệm của bắt phương trình
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ (d ) không chứa điểm
A.A(-1;—2) B.BÍ~r: =1] II II
C.C(0 ; -3) D.D(-4; 0)
Hướng dẫn giải
Trang 4/13
Trang 5
Chon B
Dau tiên, thu gọn bât phương trình đê bài đã cho y
vê thành 3x+4y+11<0
Ta vẽ đường thắng (2) :3x+4y+TI1=0
Ta thấy (0 ; 0) không là nghiệm của bất phương WJ Wy
Vậy miên nghiệm là nửa mặt phăng (không kê bờ
(d)) không chứa điểm (0; 0)
Câu 16: Miễn nghiệm của bất phương trình 2x+ y >1 không chứa điểm nào sau đây?
Hướng dẫn giải
Chọn D
Trước hết, ta vẽ đường thăng (đ):2x+ y =1 vÌ
Ta thấy (0 ; 0) không là nghiệm của bất phương trình
đã cho
Vậy miên nghiệm của bât phương trình là nửa mặt
phẳng (không kế bờ (đ)) không chứa điểm (0; 0)
YY
LL
Cau 17: Miền nghiệm của bất phương trình (1 +3 )x _ (1 V3 y>2 chứa điểm nào sau đây?
A A(1;—1) B B(-1;-1) C C(-1;1) D D(-V3 ; V3)
Hướng dẫn giải
Chọn A
(4):(1+V3)x-(1- V3) y=2
Ta thấy (0 ; 0) không là nghiệm của bắt phương trình
đã cho
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ (d ) không
chứa điểm (0; 0)
Câu 18: Miễn nghiệm của bất phương trình x—2+ 2( y— 1) >2x+4 chứa điểm nào sau đây?
A A(1;1) B B(1;5) C C(4; 3) D D(0; 4)
Hướng dẫn giải
Trang 6
Cau 19:
Cau 20:
Cau 21:
Cau 22:
Đâu tiên ta thu gọn bât phương trình đã cho vê
thành —x+2y—8 >0
Ta thấy (0 ; 0) không là nghiệm của bất phương
kế bờ (đ)) không chứa điểm (0; 0) ⁄
Miễn nghiệm của bất phương trình 2x—^/2y+A/2—2<0 chứa điểm nào sau đây?
Hướng dẫn giải
Chon A
(d):2x—V2y+¥2-2=0
Ta thấy (0 ; 0) là nghiệm của bất phương
trình đã cho
Vậy miên nghiệm cân tìm là nửa mặt phăng bờ
(d) chira diém (0 : 0)
xu
Trong các cặp số sau, cặp nào không là
x+y—-2<0
nghiệm của hệ bất phương trình là
2x-3y+2>0
A (0;0) B (131) C (-11) D (-1-1)
Lời giải ChonC
Ta thay cặp số (-1: 1) vào hệ ta thấy không thỏa mãn
Cho bat phương trình2x+4y < 5 có tập nghiệm là Š Khăng định nào sau đây là khang định
đúng ?
A.(EI)eS B (I;10)e S C (b-lesS D (L5)eS
Lời giải ChọnG
Ta thấy (I;—1) thỏa mãn hệ phương trình do đó (1;—1) là một cặp nghiệm của hệ phương trình
Cho bất phương trình x—2y+ 5 > 0có tập nghiệm là Š$ Khăng định nảo sau đây là khăng định
đúng?
A (2;2)eS B (1;3)eS C (-2;2)eS D (—2;4)e S
Trang 6/13
Trang 7Loi giai Chon A
Ta thay (2;2)eS vi 2-2.2+5>0
Câu 23: Miễn nghiệm của bất phương trình 3x—2y >—6 là
y
y
Ậ
Ny-2 O x `
Hướng dẫn giải
3
Ta thấy (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho Vậy miễn
nghiệm cần tìm là nửa mặt phăng bờ (đ) chứa điểm (0; 0)
Câu 24: Miễn nghiệm của bất phương trình 3x+2y >6 là 2 0 *
Trang 8—2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trước hết, ta vẽ đường thăng (đ): 3x+ 2y =6
Ta thay (0 ; 0) không phải là nghiệm của bất phương trình 4
đã cho Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phắng (không
kế bờ (đ)) không chứa điểm (0; 0)
Câu 25: Miễn nghiệm của bất phương trình 3x—2y <—6 là
y
—2
Trang 8/13
Trang 9wD
Yv"""’ O x
Chon B
Trước hết, ta vẽ đường thăng (đ): 3x—2y = ~6 Hướng dẫn giải
Ta thây (0 ; 0) không phải là nghiệm của bat phương trình đã
y
3
⁄
cho Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phăng (không kể bờ 7
Lia
Trang 10Cau 27:
Cau 28:
Cau 29:
\w"”"’ O x
Chon D
Trước hết, ta vẽ đường thăng (đ):3x+2y = ~6
Ta thây (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho Vậy
miền nghiệm cân tìm là nửa mặt phăng (không kể bờ (đ))
chứa điểm (0; 0)
Cho bắt phương trình—2x+^/3y+ x2 < 0có tập nghiệm là Š
Khăng định nào sau đây là khăng định đúng?
A.(L1)eS B Loles C (l;—2) £ S
Lời giải ChonB
Ta thay Loles vi 2 + V3.0+¥2=0
Cho hệ bất phương trình 4ˆ ` ” ””_ có tap nghiém 1a S Khang dinh nào sau đây là khẳng 2x+5y<0
định đúng?
Lời giải
ChonC
\ 1-=>0
Ta thay (5 ES vi \
21+5| 2] <0
2
Cho hé bat phuong trinh co tap nghiém la S Khang định nào sau đây là
x+ N3By +1<0 khang định đúng?
A (I;-leS B (I—\3)e S C (-LV5)es D (-4;V3)eS
Lời giải
ChonC
Trang 10/13
Trang 11Cau 30:
Cau 31:
Cau 32:
Cau 33:
Cho hé bat phuong trinh {*° 0 c6é tap nghiém 14 S Khang dinh nao sau đây là
x+ 43 y+l>0 khang định đúng?
A (-12)eS B (V2;0)eS C (I:-v3)e 8 D (3:0) S
Lồi giải ChonD
Ta thay (V3:0)es vi v3 >
V3 +3.0+1>0
x-y>3 Cho hé bat phuong trinh ' 1 "- =5 x+y có tập nghiệm Š Khăng định nào sau đây là khăng dinh dung ?
A (1;-2)eS B (21)esS C (5-6)cS D S=Ø
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì không có điêm nào thỏa hệ bât phương trình
Cho hệ bât phương trình 2 có tập nghiệm S Khang dinh nao sau đây là khăng định
4x—3y<2 đúng ?
[tts S
4
B.S ={(x; y)|4x-3=2}
C.Biêu diễn hình học của S 1a ntra mat phang chứa gốc tọa độ và kê cả bờ đ, với đ là là đường thăng 4x—3y = 2
D.Biểu diễn hình học của Š là nửa mặt phắng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ đ, với đ là
là đường thăng 4x— 3y =2
Hướng dẫn giải
Chọn B
3
(d,):2x-T y=
(đ,):4x—3y=2
Thử trực tiếp ta thấy (0 ; 0) là nghiệm của
phương trình (2) nhưng không phải là nghiệm của
phương trình (1) Sau khi gạch bỏ các miên không
thích hợp tập hợp nghiệm của bat phuong trinh
chính là các điêm thuộc đường thăng
(đ):4x—3y=2
x4+5y<S (2) của bất phương trình (1), 5„ là tập nghiệm của bất phương trình (2) và Š là tập nghiệm của hệ thì
Trang 12Cau 34:
Cau 35:
Hướng dẫn giải
Chọn B
Trước hết, ta vẽ hai đường thăng:
(d,):2x+3y=5
3 (4,):x+y =5
Ta thấy (0; 0) là nghiệm của cả hai bất phương
trình Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai
miễn nghiệm của hai bât phương trình Say khi
gach bo các miên không thích hợp, miền không bị
gạch là miên nghiệm của hệ
Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bén hé A, B, C, D?
tu 3x+2y<6 | B {re 3x+2y<-6 | lu 3x+2y <6 | pare 3x+2y>-6 |
Hướng dẫn giải
Chọn A
Dựa vào hình vẽ ta thây đồ thị gồm hai đường thăng (đ,): y=0 và đường thắng
(d,) :3x+2y=6
Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương
Lại có (0 ; 0) thỏa mãn bất phương trình 3x+ 2y < 6
Miền tam giác ABC kê cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bết phương trình nào trong bôn bệ A, B, C, D ?
Trang 12/13
Trang 13Cau 36:
A +5x—4y>I0 B +4x—-5y<T10 Œ 5x-4y<T0 D +5x—-4y<10 5x+4y <10 5x+4y <10 4x+5y<10 4x+5y<10
Hướng dẫn giải
Dựa vào hình vẽ, ta thây đô thị gôm các đường thăng:
(d,):x=0
~ đ,):4x+5y =10
d,):5x—4y =10
Miễn nghiệm gân phần mặt phăng nhận giá trị x dương (kê cả bo (d,))
Lại có (0 ; 0) là nghiệm của ca hai bất phương trình 4x+5y <10 và 5x—4y <10
x-2y <0
Mién nghiém ctia hé bat phuong trinh { x+3y>-—2 chira điểm nào sau đây?
y-x<3
A A(1; 0) B B(-2; 3) C C(0; -1) D D(-1; 0)
Hướng dẫn giải
Chọn D
Trước hết, ta vẽ ba đường thăng:
(4) :x—2y=0 (d,) :x+3y=-~2
(d;) :y-x=3
Trang 14Ta thây (0; 1) là nghiệm của cả ba bất phương trình Điều đó có nghĩa điểm (0; 1) thuộc cả
ba miễn nghiệm của ba bât phương trình Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miễn
không bị gạch là miên nghiệm của hệ
2x+3y-6<0 Câu 37: Miễn nghiệm của hệ bất phương trình 3 x >0 chứa điểm nào sau đây?
2x—-3y-1<0
1
A A(1; 2) B B(O; 2) C.C(-1; 3) p.p[0:-2}
Hướng dẫn giải
Chọn D
Trước hêt, ta vẽ ba đường thăng: y
PR SKK
(d,):2x-3y-1=0 ^ z ` oA 2 2 A z BSN ) } cá x2 Si)
Ta thây (I ; 1) là nghiệm của các ba bât phương RE
»< ŠŠ
“x ` , >2 là 4:4 ¬ ` SSxx X2
trình, Điều này có nghĩa là diem (L: 1) thuộc cả Yi TRESS
ba miên nghiệm của ba bât phương trình Sau LZ, ⁄Z⁄ LL LPR OX | khi gạch bỏ các miện không thích hợp, miên UY BREE 2 không bị gạch là miên nghiệm của hệ 2 Yj
Cau 38: Miễn nghiệm của hệ bất phương trình WU ⁄ ⁄
chứa điêm nào sau đây?
—3x+5<0
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trước hệt, ta vẽ hai đường thăng:
1
Ta thay (1; 0) là không nghiệm của cả hai bất
phương trình Điều đó có nghĩa điểm (1; 0) ` \Z <2 về Š xe Xe me Xe oS s
không thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất
phương trình Vậy không có điêm năm trên
mặt phăng tọa độ thỏa mãn hệ bât phương
trình
bh ea”
\S >
B53 ix
<>
3—y<0 2x-3y+lI>0
A.A(3; 4) B.B(4; 3) C.C(7; 4) D D(4; 4)
Hướng dẫn giải
Câu 39: Miễn nghiệm của hệ bất phương trình | chứa điểm nảo sau đây?
Chon C
Trang 14/13