Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một điểm trên đường chéo AC sao cho 0... Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC.. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu củ
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mụn thi: Toỏn Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phỳt Cõu 1 (2,0 điểm)
Rỳt gọn biểu thức: B = 32 3 3 23 2
Cõu 2 (4,0 điểm)
a) Tỡm số dư trong phộp chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 cho x2 + 8x + 12
b) Tỡm mọi số nguyờn x sao cho x3 - 2x2 + 7x - 7 chia hết cho x2 + 3
Cõu 3 (4,0 điểm).
Giải cỏc phương trỡnh:
a) 1 3 3 3 3
b) 3 3 2
Cõu 4 (4,0 điểm).
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc biểu thức
a) A = 3x 1 x 2 4x 3
b) B =
2 2
14x 8x 9 3x 6x 9
Cõu 5 (4,0 điểm)
Cho tam giỏc ABC cõn tại A M, D tương ứng là trung điểm của BC, AM H
là hỡnh chiếu của M trờn CD AH cắt BC tại N, BH cắt AM tại E Chứng minh rằng:
a) Tam giỏc MHD đồng dạng với tam giỏc CMD
b) E là trực tõm tam giỏc ABN
Cõu 6 (2,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh CD và
N là một điểm trên đường chéo AC sao cho 0 Gọi F là điểm đối xứng của
90
BNM
A qua N Chứng minh rằng FB AC.
Mụn thi: Toỏn Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phỳt
Bài 1: (2 điểm)Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015
Trang 2Bài 2: (2,5 điểm)Cho biểu thức:
2 2
a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị của A , Biết x = 1
2
c Tìm giá trị của x để A < 0 d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Bài 3 : (2 điểm) a) Giải phương trình :
18
1 42 x 13 x
1 30
x 11 x
1 20
x 9 x
1
2 2
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
A = 3
c b a
c b
c a
b a
c b
a
Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường
chéo BD Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi
H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2
Đề 3 Bài 1: a) Thực hiện phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2)
b) Xác định a sao cho ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2
c) Tìm nghiệm của đa thức: x3 - 2x - 4
(c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a)
(3n 2)(3n 5) 3 3n 2 3n 5
c) Tính 150 150 150 150
5.8 8.11 11.14 47.50
Bài 3: Giải các phương trình
a) 2x 1 2x 1 4 2 2 b)
x x 1 x x 1 x(x x 1)
3
1993 1995 1997
Bài 4: Cho ABC vuông tại A Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACE vuông cân ở C CD cắt AB tại M, BE cắt AC tại N
a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang
b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = 4 cm; MC = 5cm
c) Chứng minh AM = AN
Bài 5: Cho M là điểm nằm trong ABC, từ M kẻ MA’ BC, MB’ AC, MC’
AB
Trang 3(A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng: = 1
MA ' MB ' MC '
(Với ha, hb, hc là ba đường cao của tam giác hạ lần lượt từ A, B, C xuống ba cạnh của
)
ABC
ĐỀ 4 Câu 1
a) Trong ba số a, b, c có 1 số dương, 1 số âm và 1 số bằng 0; ngoài ra còn biết
thêm 2 Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0
a b (b c)
b) Cho x + y = 1 Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 + 3xy
Câu 2: a) Giải phương trình: x 2 3 1
b) Giả sử a, b, c là ba số đôi một khác nhau và a b c 0
b c c a a b
Chứng minh rằng: a 2 b 2 c 2 0
(b c) (c a) (a b)
Câu 3: Cho tam giác ABC; gọi Ax là tia phân giác của BAC , Ax cắt BC tại E
Trên tia Ex lấy điểm H sao choBAE ECH Chứng minh rằng:
a) BE EC = AE EH
b) AE2 = AB AC - BE EC
Câu 4: Cho tứ giác ABCD Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD tại E;
từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC tại F
Chứng minh rằng: EF // DC
ĐỀ 5
Bài 1: Cho phân thức: P = 22 x 4
x x 20
a) Tìm TXĐ của P b) Rút gọn P c) Tính giá trị của P khi
x 5 1,5
Bài 2: So sánh A và B biết:
a) A = 2002 2004 và B = 20032
b) A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) và B = 264
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Hạ CE vuông góc với
AB, CF vuông góc với AD và BG vuông góc với AC Chứng minh:
a) ACE ABG và AFC CBG
b) AB AE + AD AF = AC2
Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có Â = 600 Một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của tia BA và DA lần lượt tại M và N
a) Chứng minh: Tích BM DN có giá trị không đổi
Trang 4b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tớnh số đo gúc BKD
Bài 5:
Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh
4(x + y) = 11 + xy
đề 6 Câu 1: Cho
2
2
x 7x 6 A
x 1
a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 0 c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Câu 2: Giải phương trình: (x + 1)2 = 4(x2 + 2x + 1)
Câu 3: Cho a, b, c thoã mãn: 1 1 1 1
a b c a b c
Tính giá trị của biểu thức: A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3)
Câu 4: Cho ABC có A 2B 4C 4 Chứng minh: 1 1 1
AB BC CA
Câu 5:
Cho ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC Lấy D, E theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho: DME B
a) Chứng minh rằng: tích BD CE không đổi
b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc BDE
c) Tính chu vi của ADE nếu ABC là tam giác đều
đề 7 Cõu 1 : Giải phương trỡnh: a) b) 6x2 - x - 2 =
) 4 ( ) 2 (
2 4
3 2
1
x x
x
x x
x
0
Cõu 2 : Cho x + y + z = 0 Rỳt gọn : 2 2 2 2 2 2
) ( ) ( ) (y z z x x y
z y x
Cõu 3 : Chứng minh rằng khụng tồn tại x thỏa món :
a) 2x4 - 10x2 + 17 = 0 b) x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0
Cõu 4 : Cho tam giỏc ABC, điểm D nằm trờn cạnh BC sao cho ;
2
1
DC DB
điểm O nằm trờn đoạn AD sao cho OA 3 Gọi K là giao điểm của BO và AC
OD 2
Tớnh tỉ số AK : KC
Cõu 5 : Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, trực tõm H Một đường thẳng qua H cắt
AB, AC thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng tam giỏc MPQ cõn tại M
Đề 8
Trang 5Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn n2 n 1
m
n 1
b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi
giá trị nguyên dương của n
c) Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a2+b2 chia hết cho 13
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
) )(
(a b a c
bc
(b c)(b a)
ca
(c a)(c b)
ab
Câu 3: Tính tổng: S = + + + … +
3 1
1
5 3
1
7 5
2009.2011
Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh rằng biểu
thức sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z :
xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 1
Câu 5: Giải phương trình: 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 5
Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy =
600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt
tại D và E Chứng minh :
a) BD.CE=
2
BC 4
b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của BDE và CED
c) Chu vi ADE không đổi
PHÒNG GD& ĐT THỌ XUÂN
TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN LỚP 8 – VÒNG 4
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (4,0 điểm)
1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4 2
2013 2012 2013
x x x
Câu 2 (4,0 điểm)
1 Giải phương trình sau:
Trang 62 2 2 2 2 2
(2x x 2013) 4(x 5x 2012) 4(2x x 2013)(x 5x 2012)
2 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3 2 3
x 2x 3x 2 y
Câu 3 (4,0 điểm)
1 Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho
dư 24, f(x) chia cho được thương là và còn dư
2
4
2 Chứng minh rằng:
a b c b c a c a b a b c b a c a c b
Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh
AD lấy điểm F sao cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF),
AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N
1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật
2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh
rằng: AC = 2EF
3 Chứng minh rằng: 12 = 1 2 + 1 2
Câu 5 (2,0 điểm) Cho a b c, , là ba số dương thoả mãn abc 1 Chứng minh rằng :
3 1 3 1 3 1 3
a b c b c a c a b
ĐỀ BÀI
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 -2x)( x2 -2x- 1) - 6
b) Đa thức f(x) = 4x3 +ax +b chia hết cho các đa thức x-2; x+1 Tính 2a-3b
a) Cho an = 1+2+3+…+ n Chứng minh rằng an + an+1 là một số chính
phương
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số 10 22 9 4 tối giản
20 20 9
a) Cho x3 +y3+z3 =3xyz Hãy rút gọn phân thức Px yy xyz zz x
b) Tìm tích: M=
1 4 5 4 9 4 17 4
3 4 7 4 11 4 19 4
Trang 7a) Cho x = by +cz; y = ax +cz; z = ax+by và x +y + z 0; xyz 0 CMR:
2
1 a 1 b 1 c
b) Cho 1 1 1 , tính giá trị của biểu thức:
0
:
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P<1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x>1
a) CMR: CE vuông góc với DF
b) Gọi M là giao điểm của CE và DF Chứng minh rằng AM = AD
ACFH
a) Chứng minh rằng EC = BH; EC BH
b) Gọi M, N thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH Gọi I là trung điểm của BC Tam giác MNI là tam giác gì? Vì sao?
MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
a) Phân tích đa thức 2 2 2 thành nhân tử
b) Cho các số nguyên a b c, , thoả mãn (ab)3 (b c)3 (c a)3 210 Tính giá trị của biểu thức
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x y xy
b) Giải phương trình: (6x8)(6x6)(6x7)2 72
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P(x2012)2 (x2013)2
Trang 8b) Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng:
2
x x y yz z
cạnh AC Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia
BM tại D, cắt tia BA tại E
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi
c) KẻDH BC HBC Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
BH, DH Chứng minh CQPD