Thời gian: 150phút, không kể thời gian giao đề Câu I2đ.. Cho hình bình hành ABCD, các đường cao CE, CF E thuộc AB, F thuộc AD.. Cho tam giác ABC có các đường phân giác BE, CF cắt nhau ở
Trang 1Phòng GD&ĐT
o0o Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi
Năm học 2007-2008 Môn: Toán 8.
(Thời gian: 150phút, không kể thời gian giao đề)
Câu I(2đ)
a/ Giả sử a và b nguyên tố cùng nhau với số 3 và a + b chia hết cho 3
Chứng minh rằng: Đa thức xa + xb + 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1
b/ Cho x + y + z = 0 Chứng minh rằng: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Câu II(2đ)
a/ Giải và biện luận phương trình:
2
14 6
2
) 5 (
x
m x
x m m
b/ Cho c2 + 2(ab - bc - ca) = 0 và b ≠ c; a + b ≠ c
Hãy so sánh và
2 2
2 2
c b b
c a a
c b
c a
Câu III(2đ)
a/ Cho a, b, c là các số tự nhiên thoả mãn a – b là số nguyên tố và
3c2 = c(a+b) + ab Chứng minh rằng: 8c + 1 là số chính phương
b/ Cho x, y thoả mãn x2 + 4xy + 5y2 – 2008 = 0 và x.y 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2x2 + 6xy + 10y2
Câu IV(1đ)
Tìm tất cả các số tự nhiên x, y và số nguyên tố z sao cho 1 12 12
y x
z
Câu V(3đ)
a/ Cho hình bình hành ABCD, các đường cao CE, CF (E thuộc AB, F thuộc AD) Chứng minh rằng: AD.DF + AB.AE = AC2
b/ Cho tam giác ABC có các đường phân giác BE, CF cắt nhau ở O và
Xác định tính chất của tam giác ABC
2
1
CF
CO
BE
BO
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh:……….SBD………
Học sinh trường:……….
đề chính thức
Trang 2Phòng GD&ĐT
o0o hướng dẫn chấm học sinh giỏi
Năm học 2007-2008 Môn: Toán 8.
1a(1đ)
- Vì a, b nguyên tố cùng nhau với 3 nên a, b không chia hết cho 3 mà
a + b chia hết cho 3 nên giả sử a = 3k+1; b=3t+2
- Ta có xa + xb + 1 = x3k+1 + x3t+2 + 1= (x3k+1 – x) + (x3t+2 – x2) + (x2+x+
1)
- Vì x3k+1 – x = x(x3k – 1) chia hết cho x2+x+ 1
x3t+2 – x2 = x2(x3t – 1) chia hết cho x2+x+ 1
(x2+x+ 1) chia hết cho x2+x+ 1
- Vậy xa + xb + 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1
0,25 0,25
0,25 0,25 I
1b(1đ)
- Vì x + y + z = 0 z = - x - y
- Ta có x5 + y5 + z5 = x5 + y5 + (- x – y)5 =…….= 5xyz(x2 + y2 + xy)
- Suy ra 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(2x2 + 2y2 + 2xy)
= 5xyz[(x+y)2 + y2 + x2] =5xyz(x2 + y2 + z2) đpcm
0,25 0,50 0,25
2a(1đ)
-ĐKXĐ x 2
- Quy đồng đưa PT về dạng (m2 – 5m + 6)x = m – 2
(m – 2)(m – 3)x = m – 2
- Nếu m = 2 ta có 0x = 0 PT vô số nghiệm x 2
- Nếu m = 3 ta có 0x = 1PT vô nghiệm
- Nếu m 2; 3 ta có là nghiệm khi
3
1
m
x
2
7 2
3
1
m
Vậy m = 2 PT có vô số nghiệm x 2
m = 3 hoặc PT vô nghiệm
2 7
m 2; 3; là nghiệm
2
7
3
1
m x
0,25 0,25 0,25
0,25 II
2b(1đ)
- Ta có c2 + 2(ab - bc - ca) = 0 c2 – 2c(b + a) + (a + b)2 – a2 – b2 =
0
(c - a - b)2 – a2 – b2 = 0
) 2 )(
(
) 2 )(
( )
(
) (
2 2 2 2 2
2 2 2
a b c b c b
b a c a c a a b a c b
b b a c a
- Do đó
c a c
b a b c b c
c a b a c a c c b b
c a a
) 2 )(
(
) 2 )(
(
2 2 2
2
2 2
0,25
0,25 0,5
Trang 3- Đặt a – b = x; a + b = y ;
2
y x
a
2
x y
b
- Ta có 3c2 = c(a+b) + ab
) 2 )(
6 ( 16
4 4
4 12 4
3
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
c y c y x c c cy y x
x y cy c x
y cy c
- Vì x nguyên tố và y + 6c > y – 2c nên 2 chính
2
1 8 1 2
6
x c c
y
x c y
phươn
0,25 0,25 0,25 0,25
III
3b(1đ)
5 4
10 6
2
y xy x
P
- Nếu y = 0 thì x2 = 2008 hay x 2008 P = 2.2008 = 4016
- Nếu y 0, chia cả tử và mẫu cho y2 và đặt , ta có
y
x
t
5 4
4016 4016
5 4
2 2
5 4
10 6 2
2
t t
t P
t t
t t
t
t t P
- Vì t2 + 4t + 5 >0 và t 0 nên P ≤ 4016
Dấu “=” khi t = 0 hay x = 0 và
5
2008 5
2008
y
Vậy Max P = 4016 khi y = 0 ; x 2008 hoặc x = 0;
5
2008
y
0,25
0,25 0,25
0,25
IV
(1đ)
- Biến đổi về dạng (y2 - z)(x2 – z) = z2
2 2
1 1 1
y x
z
- Vì z nguyên tố và vai trò x, y như nhau nên
+ Nếu x y z (vô lý vì z nguyên tố)
z z x
z
2 2
+ Nếu mà z nguyên tố nên x = y = z = 2
z x
z y z z x
z z y
2
2
2 2 2
2
0,5
0,25
0,25
Trang 4- Vẽ hình đúng
- Kẻ DH, BK lần lượt vuông góc với AC
- c/m được ADH đồng dạng với ACF AD.AF = AC.AH (1)
- c/m được ACE đồng dạng với ABK AB.AE = AC.AK (2)
- c/m được ADH = CBK AH = CK (3)
- Từ (1), (2), (3) ta có AD.AF + AB.AE = AC(AH + AK) = AC2
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
V 5b(1,5đ)
- Vẽ hình đúng
- Đặt BC = a, AC = b, AB = c áp dụng tính chất đường phân giác của
tam giác tính được ; ;
c a
ab CE
b
c a EO
BO
c b a
c a BE
BO
- Tương tự tính được
c b a
b a CF
CO
2
2
1 ) (
) )(
(
c b a c
b a
c a b a
0,25 0,50
0,25 0,50