Từ đỉnh A , kẻ một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G.. a Chứng minh: AE2 =EF.EG b Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổ
Trang 1Năm học 2010 – 2011
1 3 6
6 4
3 2
x x x
x
x
2
10 2
2
x
x x
a) Rút gọn M
b)Tính giá trị của M khi = x
2 1
Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0
Bài 3:
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
B =
1
) 1 ( 3 2
3
x x x x
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Với AB = a ; AD = b Từ đỉnh A , kẻ một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G
a) Chứng minh: AE2 =EF.EG
b) Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi
Bài 5 Chứng minh rằng nếu Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1
) 1 ( ) 1 (
2 2
xz y
xz y yz x
yz x
Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
Trang 2Bài 1: a) Rút gọn M
1 3 6
6 4
3
2
x x x
x
x
2
10 2
2
x
x
1 ) 2 ( 3
6 )
2 )(
2 (
2
x x
x x x
x
2
6
x
6
2 ) 2 )(
2
(
x
1
b)Tính giá trị của M khi = x
2 1
= x = hoặc x = -
x
2
1
2
1
2 1
Với x = ta có : M = = =
2
1
2
1 2
1
2 3
1 3 2
Với x = - ta có : M = = =
2
1
2
1 2
1
2 5
1 5 2
Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử
Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 -
a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0
Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác)
(b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác)
(b-c -a) <0 ( BĐT trong tam giác)
(b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác)
Vậy A< 0
Bài 3: a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5
Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + 1
= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1
Do (x-y)2 0 ; (y - 2) 2 0
Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 1
Dấu ''='' xãy ra x = y và y = 2
Vậy GTNN của A là 1 x = y =2
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
1
) 1 ( 3 2
3
x x x
x
1 ) 1 (
) 1 ( 3
2
x x
x
x
) 1 )(
1 (
) 1 ( 3
2
x x
x
1
3
2
x
Do x2 +1>0 nên B = 3 Dấu ''='' xãy ra x = 0
1
3
2
Vậy GTLN của B là 3 x = 0
Trang 3Chứng minh: AE
Do AB//CD nên ta có:
= (1)
ED
EB
EG EA
DG AB
Do BF//AD nên ta có:
= (2)
ED
EB
EA
EF
FB AD
Từ (1) và (2) Hay AE2 = EF EG
EA
EF
EG EA
b) CMR khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi
Từ (1) và (2) Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi)
AD
FB
DG AB
Bài 5: Chứng minh rằng nếu Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1
) 1 ( ) 1 (
2 2
xz y
xz y yz x
yz x
Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
Từ GT (x 2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz)
x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2
x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0
xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0
xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0
xyxyz(xyz) xzyz
Do x - y 0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)
Hoàng Minh NGụ Trường trung học cơ sở Phong Bắc
F