Dao động là chuyển động có giới hạn trong không gian, được lặp đi lặp lại nhiều lần quanh một vị trí cân bằng 2.. Suy ra: đây là phương trình động lực học của dao động hay phương trình v
Trang 1Chương I: DAO ĐỘNG CƠ HỌC Vấn đề 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
I KHÁI NIỆM VỀ DAO ĐỘNG.
1 Dao động là chuyển động có giới hạn trong không gian, được lặp đi lặp lại nhiều lần quanh một vị trí cân bằng
2 Dao động tuần hoàn.
a Khái niệm là dao động mà trạng thái chuyển động được lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau
b Chu kỳ là khoảng thời gian T ngắn nhất trạng thái dao động lặp lại như cũ Hay chu kỳ là thời gian thực hiện một dao động toàn phần
c Tần số là số dao động tuần hoàn trong một đơn vị thời gian Ký hiệu f và f
II THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CON LẮC LÒ XO.
- Con lắc lò xo gồm 1 hòn bi, khối lượng m, gắn vào lò xo có
độ cứng K, khối lượng lò xo không đáng kể
- Đặt con lắc nằm ngang như hình vẽ
- Hòn bi chuyển động không ma sát dọc theo một trục nằm
ngang
cố định
- Chọn gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng, hệ tọa độ như hình vẽ
- Từ vị trí cân bằng kéo vật đến vị trí x Lực tác dụng lên viên bi gồm trọng lực , phản lực của thanh, lực đàn hồi
Đặt Suy ra: đây là phương trình động lực học của dao động (hay phương trình vi phân
- Sự phụ thuộc li độ x theo thời gian gọi là phương trình dao động
- Như vậy dao động điều hòa là dao động mà li độ x được mô tả dưới dạng hàm sin hay cosin theo thời gian.
- Lực gọi là lực kéo về hay còn gọi là lực hồi phục.
1 T
P r
N r
F r
{
O
k
F N P ma kx ma kx ma a x 0
m
r
m
x && 2x 0
x A cos( t )
F r kx r
F
N
P
A Hình 1.1
Trang 2III CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
1 Phương trình dao động điều hòa: trong đó :
+ A là biên độ, luôn dương,
+ là pha của dao động tại thời điểm t, biết được pha dao động ta xác được trạng thái dao động của vật (trạng thái dao động là bao hàm li độ, vận tốc, gia tốc, lực hồi phục,….)
+ là pha ban đầu của dao động, cho ta biết được trạng thái ban đầu của vật và phụ thuộc cách chọn gốc tọa độ, gốc thời gian với
+ là tần số góc, là đại lượng trung gian cho phép ta xác định được chu kỳ T và tần số f, với con lắc lò xo thì tần số góc luôn có một giá trị xác định
+ Ba đại lượng , T, f liên quan với nhau cùng đặc trưng cho một tính chất biến đổi nhanh hay chậm của pha
+ Đồ thị: chọn t = 0;
ÁP DỤNG
Vd1.1: Một vật dao động điều hòa với phương trình (cm;s) Xác định biên độ, pha đầu, tần số góc, chu kỳ, tần số Tính pha dao động tại thời điểm t = 0,3 s
Giải
Phương trình viết lại: cm
+ Biên độ: A = 2 cm
+ Pha ban đầu: φ = π rad/s
+ Tần số góc: ω = 10π rad/s
+ Chu kỳ: T = 2π/ω = 0,2 s
+ Tần số: f
+ Pha dao động (t = 0,3 s) = 10πt + π = 10π.0,3 + π = 4π (rad/s)
Vd 2.1: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20 cm, thực hiện 30 dao động trong 2 phút Viết phương trình dao động, chọn gốc thời gian t = 0: vật có li độ cực đại
x A cos( t ) max
x A cos( t ) 1 t
0
2cos 10
x t
2 cos 10
x t
1
5(Hz) T
x
-A
A
t 2
T
O
Hình 2.1
Trang 3+ Dao động điều hòa có quỹ đạo là một đoạn thẳng do đó biên độ A =chiều dài quĩ đạo2 = 10 cm
+ 1 dao động toàn phần tương ứng thời gian 1 chu kỳ (T), vật thực hiện N dao động trong thời gian t
Vậy: T =Nt =2 phút
30 =120
30 = 4 s
+ Tại thời điểm t = 0: x = A
Phương trình dao động: cm.
Vd 3.1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = Acos(ωt + φ) Tại thời điểm t vật có li độ 3 cm Hỏi tại thời điểm t’ = t + ωπ li độ của vật bằng bao nhiêu?
Giải
+ Tại thời điểm t : x(t) = Acos(ωt + φ) = 3 cm
+ Tại thời điểm t : x(t’) = Acos[ω(t + ωπ) + φ] = Acosω(ωt + π + φ) = - Acos(ωt + φ) = - 3 cm
Chú ý: Tại thời điểm t : x = x0 thì tại thời điểm t + (2k + 1)T2 : x = - x0
2 Phương trình vận tốc: v =
+ v > 0: vật chuyển động theo chiều dương, v < 0: vật chuyển động theo chiều âm
+ Vận tốc cực đại khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương V CĐ = ωA
+ Vận tốc cực tiểu khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm V CT = - ωA
+ Ở vị trí vật có vận tốc bằng không và ngay sau đó vật đổi chiều Trong một chu kỳ vật đổi chiều chuyển động 2 lần(vận tốc đổi chiều 2 lần)
+ Đồ thị : chọn t = 0;
ÁP DỤNG
Vd 1.2: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 5cos(10t + 0,25π) cm Viết biểu thức vận tốc và tính tốc độ dao động cực đại, tốc độ dao động nhỏ nhất Hỏi tại lúc t = 0: vật chuyển động theo chiều nào?
Giải
+ Biểu thức vận tốc: v = -ωAsin(ωt + φ) = -50sin(10t + 0,25π) cm/s
2
(rad / s)
x 10 cos t
2
x A sin( t )
x A
0
Hình 3.1
V
-A
A
t 2
T
O
Trang 4+ Tốc độ dao động cực đại: vmax = ωA = 50 cm/s
+ Tốc độ dao động nhỏ nhất: = 0
+ t = 0: v = -50cos0,25π = -25 cm/s > 0: Vật chuyển động theo chiều âm
Vd 2.2: Một vật dao động điều hòa , khi qua vị trí cân bằng tốc độ của vật là 20π cm/s, vật có li độ cực tiểu -0,5 cm Tính số lần vật đổi chiều chuyển động trong 1 phút
Giải
+ Tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng vmax = ωA
+ Li độ cực tiểu xCT = - A cm
+ Trong 1 chu kỳ 0, 05 s vật đổi chiều 2 lần, nên trong 1 phút = 60 s số lần vật đổi chiều = ��.��,�� = 2400 lần.
Vd 3.2: Một chất điểm dao động điều hòa với tốc độ dao động cực đại 30π cm/s Chất điểm này thực hiện 5 dao động trong một giây Viết phương trình dao động biết t = 0: chất điểm có vận tốc -15π cm/s và đang chuyển động chậm dần
Giải
+ Tần số: f = 5 Hz 10π rad/s
+ Biên độ : A = 3 cm Li độ x = 3cos(ωt + φ) và vận tốc v = -30πsin(ωt + φ)
min
v
2
0,5 A A 0,5
max 20
,5
v
A
40
2 f
max
v
v = -15π chậm dần
v = -15π nhanh dần 0
vmax
t = 0:
3cos 0
30 sin 15
x
v
cos 0
1 sin
2 5 6
Trang 5Vậy: x = 3cos(10πt +��� ) cm.
Vd 4.2: Một chất điểm dao động điều hòa với tần số 4 Hz, tại thời điểm t vật có li độ - 2 cm Hỏi tại thời điểm t + 0,0625 s chất điểm có tốc độ bằng bao nhiêu?
Giải
+ Tần số góc : ω = 2πf = 8π rad/s
+ x(t) = Acos(8πt + φ) = - 2 cm
+ v(t + 0,125) = -ωAsin[8π(t + 0,0625) + φ] = -8πAsin(8πt + ) = -8πAcos(8πt + φ) = -8π(-2) = 16π cm/s
+ Gia tốc cực đại aCĐ = ω2A khi vật ở vị trí x = -A
+ Gia tốc cực tiểu aCT = - ω2A khi vật ở vị trí x = A
+ Gia tốc bằng không khi vật đi qua vị trí cân bằng và ngay sau đó đổi chiều
+ luôn hướng về vị trí cân bằng và độ lớn .
+ Đồ thị: chọn t = 0;
ÁP DỤNG
Vd 1.3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 2cos10t (cm) Viết biểu thức gia tốc, tính gia tốc cực tiều Tính số lần gia tốc đổi chiều trong π (s)
Giải
+ Gia tốc: a = -ω2Acos(ωt + φ) = -200cos10t (cm/s2)
+ Gia tốc cực tiểu: aCT = -ω2A = -200 cm/s2
+ Chu kỳ T = 2πω = π
5 = 0,2π s
+ Xét Tt= π
0,2π=5→t = 5T Trong một chu kỳ gia tốc đổi chiều 2 lần Do đó 5 chu kỳ gia tốc đổi chiều 10 lần
2
2
a v x A cos( t ) a 2x
a r
2
a x 0
Hình 4.1
a
-A
A
t 2
T
O O
2
A
- 2A
O
Trang 6Vd 2.3: Một vật dao động điều hòa với tốc độ cực đại 40 cm/s Khi li độ của vật 2 cm thì gia – 32 cm/s2 Tính gia tốc cực đại của vật
Giải
+ Ta có a = -ω2x với x = 2 cm và a = - 32 cm/s2 4 rad/s
+ Biên độ A = cm → gia tốc cực đại a CT = ω 2 A = 160 cm/s 2
Vd 3.3: Một vật dao động điều hòa với tần số góc 10 rad/s, tại thời điểm t vật có vận tốc 2 cm/s Hỏi tại thời điểm t’
= t + 0,05π s vật có gia tốc bằng bao nhiêu ?
Giải: cần nhớ cos(α ) = -sinα.
+ Tại thời điểm t vận tốc v = -ωAsin(ωt + φ) = -10Asin(10t + φ) = 2 cm/s
+ Tại thời điểm t + 0,05π s : gia tốc a = -ω2Acos[10(t + 0,05π) + φ] = -102Acos(10t + + φ) = 102Asin(10t + φ) = 2 cm/s2
4 Lực hồi phục hay lực kéo về: F = - kx =
+ Lực kéo về (hồi phục) làm cho vật dao động điều hòa
+ Độ lớn: Lực kéo có độ tỉ lệ với độ lớn li độ và có hướng kéo vật trở về vị trí cân bằng
+ Đổi chiều ngay sau khi vật qua vị trí cân bằng (luôn hướng về vị trí cân bằng và )
ÁP DỤNG
Vd 1.4: Một vật có khối lượng 200 g dao động điều hòa với tần số góc 5 rad/s Biên độ dao động của vật là 10 cm
a Tính độ lớn lực kéo cực đại
b Tính độ lớn lực kéo khi vật có gia tốc 200 cm/s2
Giải : cần nhớ khi tính lực phải đổi đơn vị ra kg và m
a Vì
Vd 2.4: Một vật có khối lượng 400 g dao động điều hòa với tần số 5 Hz, tại thời điểm t vật có vận tốc 40 cm/s Tính
độ lớn lực kéo về tác dụng vào vật tại thời điểm t + 0,05 s
Giải
+ Tại thời điểm t: v = -ωAsin(ωt + φ) = -10πAsin(10πt + φ) = 0,4 (m/s)
a x
max
max
a v
2
2
2
2
F m x
kv
a r F ur
max
x A F m A 0, 2.5 0,1 0, 5(N)
a x x x F m x
Trang 7+ Tại thời điểm t + 0,05:
0,4.(10π)2 |����[10�(� + 0,05) + �]| = 4π.10πA|���(10�� + � + ) |
= 4π.10πA|���(10�� + �)| = 4π.0,4 = 1,6π (N)
Vd 3.4: Dưới tác dụng của lực thì vật có khối lượng m = 500 g dao động điều hòa Xác định biên độ dao động
Giải
+
5 Mối liên hệ giữa các đại lượng: x, v, a, F.
a Sự lệch pha giữa các đại lượng.
F = ma = - kx = -mω2Acos(ωt + φ)
Do đó :
- Vận tốc nhanh pha hơn li độ một góc
- Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc một góc và ngược pha với li độ
- Gia tốc luôn cùng pha và cùng chiều với lực kéo về (lực hồi phục)
b Mối liên hệ giữa các đại lượng.
+ a.v > 0 : Vật chuyển động nhanh dần về vị trí cân bằng ( )
+ a.v < 0 : Vật chuyển động chậm dần ra xa vị trí cân bằng về biên( )
+ a.v = 0 : Vật ở vị trí cân bằng hoặc ở vị trí biên
+ Đồ thị:
2
F m x
F 20 sin(10t ) N
2
F 20 sin(10t ) 20
2
x A cos( t )
v x ' Asin( t+ ) = Acos( t+ )
2
a v ' A cos( t ) A cos( t )
2
2
max max
1
a
v v
a r v r
a r v r
a r
X
uur
V ur
Hình 4.5
Trang 8Chú Ý:
+ Vận tốc trung bình:
+ Tốc độ trung bình: =
+ Trong một chu kì:
Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian t (0 < t <0,5T)
x x x
t
0 4A
tb v
v T
A
-A 0 x
t
-A
A
0 v
t
-A2
A2
0 a
t
2T
2T
T
T
Hình 4.7
v
2
A
-A O
x
A
-A
A
F
x O
a
x
-A
Hình 4.6
2 A
2 A
m2A
-m2A
Trang 9
c Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
Xét một chất điểm M chuyển động trên đường tròn tâm O,
bán kính OM = A, quay đều với tốc độ góc
+ Tại thời điểm to = 0: hợp với trục Ox một góc
+ Tại thời điểm t : hợp với trục Ox một góc
Độ dài hình chiếu của véctơ quay xuống trục Ox:
Vậy: M chuyển động tròn đều thì hình chiếu P của nó sẽ dao động điều hòa trên đường kính AB
Thời gian Δt vật đi từ li độ x1 đến li độ x2, tương ứng thời gian quay được một góc α
CHUYỂN ĐỘNG TRÒNG ĐỀU
Tọa độ góc φ
Bán kính quỹ đạo R
Tốc độ góc ω
Chiều dài quỹ đạo bằng 2πR
Tốc độ dài v = ωR
Gia tốc hướng tâm a ht =R = ω2R
Lực hướng tâm F ht = mω 2 R
DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA Pha ban đầu φ
Biên độ dao động A Tần số góc ω Chiều dài quỹ đạo bằng 2A Tốc độ dao động cực đại ωA Gia tốc cực đại a max = ω2A
Lực kéo về cực đại F max = mω 2 A
Sơ đồ các khoảng thời gian đặc biệt
T 12
T 8
T 6
T 4
0
A
A 3 2
2 A
2
x
max
2
max
2 max v 2
max
v
v0
m ax
min
S 2A sin t
T
S 2A(1 cos t)
T
OM uuuur
OM
uuuur
OM uuuur
t
OM
uuuur
OPOM cos( t ) x A cos( t )
OM
uuuur
Δt = α
ω
t0= 0
t O
M
P
x
B A
Hình 4.8
Trang 10Bấm máy: Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x là
+ Thời điểm vật qua vị trí x lần thứ n:
+ Thời điểm vật qua vị trí x và có chiều xác định lần thứ n:
ÁP DỤNG
Vd 1.5: Một vật dao động điều hòa, thực hiện 10 dao động trong 2 s, chiều dài quỹ đạo 10 cm Lúc t = 0: vật có vận tốc cm/s và đang chuyển động nhanh dần theo chiều dương, xác định li độ lúc này
Giải
+ Tần sô f = số dao động/thời gian = = 5 Hz
+ Tần số góc = 10 rad/s
+ Biên đô A = chiều dài quỹ đạo/2 = = 5 cm
dương nên x = - 4 cm
Vd 2.5: Một vật dao động điều hòa, khi vật có li độ x1 = 4 cm thì v1 = 3π cm/s Khi vật có li độ x2 = 3 cm thì v2 = 4π cm/s Tính biên độ dao động
Giải
5 cm
Vd 3.5: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 10 cm Xác định li độ x của vật khi vật có vận tốc 6 cm/s và gia
tốc -16 cm/s2
Giải
+ Biên độ A = = 5 cm, gia tốc
1
min
x Shift sin
A T 2
t =
n 1
2
n 2
2
t =
t t (n 1)T
30
N 10
t 2
2 f
2 l
2
10
x x
2
v
2
x
Trang 11+ Ta có x = 4 cm hoặc x = -6,25 cm(loại)
Hoặc dùng công thức:
Vd 4.5: Một vật dao động điều hòa, thời gian ngắn nhất vật đi hết một chiều dài quỹ đạo là 0,2 s Khi vật có vận tốc bằng 8π cm/s thì gia tốc 30π2 cm/s2 Viết phương trình dao động, chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t =
0 lúc vật có li độ 1 cm và đang đi theo chiều dương
Giải
+ Thời gian ngắn nhất vật đi hết một chiều dài quỹ đạo rad/s
+ Phương trình dao động và vận tốc: , lúc t = 0:
Vậy phương trình dao động: cm.
2
2
v
A x 25 x 2, 25x x 2, 25x 25 0
2 2
2
2
x A cos( t )
1
v cos
2
3
x 2 cos(5 t )
3
Trang 12O x v
(2
(1
Vd 5.5(QG2016) Cho hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng cùng song song với trục Ox Vị trí cân bằng của mỗi vật nằm trên đường thẳng vuôn góc với trục Ox tại O Trong hệ trục vuông góc xOv, đường (1) là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 1, đường (2) la đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li
độ của vật 2 (hình vẽ) Biết các lực kéo về cực đại tác dụng lên hai vật trong quá trình dao động là bằng nhau Tỉ số giữa khối lượng của vật 2 với khối lượng của vật 1 là
Giải:
Chọn x(cm), v(cm/s)
Từ đồ thị, ta nhận thấy và
Từ (2) và (1) suy ra
Hai dao động có cùng độ lớn lực kéo về cực đại nên
1
3
1 27
1max 1
2max 2
1
2max 1 2
2
2
v
(2)
(1)
1cm/s 1cm
Trang 13Từ (3) và (4) ta tìm được
Vd 6.5(QG2016) Một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O bán kính 10 cm với tốc độ góc 5 rad/s Hình chiếu của chất điểm lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo có tốc độ cực đại là
A 15 cm/s B 50 cm/s C 250 cm/s D 25 cm/s.
Giải:
Hình chiếu của chất điểm lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với biên độ
A = R= 10 cm và tần số góc rad/s, tốc độ cực đại là cm/s
Vd 7.5 Một chất điểm dao động điều hòa, có đồ thị li độ như hình vẽ:
Viết phương trình dao động Xác định thời điểm thứ 2017 chất điểm đạt gia tốc cực tiểu
Giải
2
1
m 27
m
5
x (cm)x
t(s)
3
2,2
2
O
3
3 2
A
M
aCT = -2A
lần 1
x (cm)x
t(s)
3
2,2
2
O
Trang 14+ Gia tốc cực tiểu aCT = -ω2A khi x = A.
+ Từ hình vẽ: A = 2 cm, Thời gian kể từ lúc t = 0 đến khi gia tốc đạt cực tiểu tương ứng với
+ Thời điểm thứ 2017 chất điểm đạt gia tốc cực tiểu ( trong một chu kỳ gia tốc đạt cực tiểu một lần)
s
Bài 8.5: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ 3, tốc độ trung bình lớn nhất trong hai phần ba chu kỳ là v0 Trong một dao động toàn phần, tính thời gian độ lớn vận tốc tức thời không vượt quá
Giải:
+ Từ giản đồ: Trong một cthời gian thỏa yêu cầu bài toán tương ứng với thời gian vectơ được một góc bằng 4α
OM
5 2cos
x t
2017 1 2017 1 2,2 2016.2,4 4840,6
0
2 v 9
max
S
t S 2A + A sin 3A v = v
2T 2
3
0
2
9
OM uuuur
T 12
A 3 2
2
O
M
M
A
M
M
Trang 15s (Ta có thể bấm máy s )
BÀI TẬP CŨNG CỐ: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(20πt + cm
a Xác định biên độ, tần số góc, tần số, chu kỳ, chiều dài quỹ đạo và pha ban đầu.
+ Biên độ: A = 4 cm
+ Tần số góc: ω = 20π rad/s
+ Tần số : f = = 10 Hz
+ Chu kỳ : T = s
+ Chiều dài quỹ đạo: l = 2A = 8 cm
+ Pha ban đầu:
b Xác định pha dao động, li độ, vận tốc, gia tốc và tính chất chuyển động của vật tại thời điểm t = 0,05 s.
+ Pha dao động:
+ Gia tốc: a = x” = -1600π2cos = 800π2 cm/s2
+ Xét: av = 32000 → Vật chuyển động nhanh dần về vị trí cân bằng theo chiều dương
c Tính vận tốc và gia tốc tại vị trí x = cm.
+ Gia tốc: a = cm/s2
d Tính gia tốc của vật đạt tốc độ 10π cm/s.
e Xác định vận tốc, tốc độ trung bình và vận tốc trung bình của vật sau khi đi được quãng đường 8 cm kể từ lúc t = 0
3 4arccos
T 2
4shiftcos
π ) 3
2
1 0,1
f
3
4
t 20 0, 05
4
3
4
(20 t )
3
2 3
max