Tại vị trí dao động Bài tập minh họa 1: Hai vật dao động điều hòa trên hai đoạn thẳng song song cạnh nhau, cùng một vị trí cân bằng trùng với gốc tọa độ, cùng một trục tọa độ song song
Trang 11 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
CHỦ ĐỀ
5
TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
I BÀI TOÁN TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ
Bài toán: Một vật dao động điều hòa là tổng hợp của hai dao động
thành phần cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là
x A cos t và x2 A cos2 t 2 Xác định dao động tổng
hợp của vật
1 Tổng hợp dao động bằng phương pháp vecto quay
+ Theo phương pháp này thì dao động tổng hợp của hai dao động có
A cos A cos
Với 2 1 là độ lệch pha giữa hai dao động thành phần
→ Từ kết quả trên, ta thu được biên độ dao động tổng hợp ứng với một số trường hợp đặc biệt của độ lệch pha, như sau:
Độ lệch pha Biểu diễn vecto quay Biên độ và pha tổng hợp
A
Từ phương trình biên độ A2A12A222A A cos1 2 , ta thấy rằng:
o A = Amax = A1 + A2 khi hai dao động cùng pha
o AAmin A1A2 khi hai dao động là ngược pha
→ Khoảng giá trị của biên độ dao động tổng hợp
max min
A A
A A A A A
Bài tập minh họa 1: (Quốc gia – 2013) Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ là A1 = 8 cm;
A2 = 15 cm và lệch pha nhau 0,5π Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ bằng:
Bài tập minh họa 2: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ là A1 = 8 cm; A2 = 15 cm và lệch
pha nhau φ Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ không thể nhận giá trị nào sau đây?
A 23 cm B 7 cm C 11 cm D 6 cm
Hướng dẫn:
+ Biên độ dao động tổng hợp có giá trị nằm trong khoảng A1A2 A A1A2→ 7 cm ≤ A ≤ 23 cm
Trang 22 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
→ A không thể là 6 cm
Đáp án D
2 Tổng hợp dao động bằng máy tính cầm tay
Để tiến hành tổng hợp hai dao động điều hòa, ta có thể
tiến hành như sau:
+ Bước 1: Chuyển máy tính về số phức Mode → 2
+ Bước 3: Xuất kết quả Shift → 2 → 3 → =
+ Chuyển máy tính về số phức Mode → 2 + Xuất kết quả Shift → 2 → 3 → =
Bài tập minh họa 1: (Quốc gia – 2010) Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có
Trang 33 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
Bài tập minh họa 4: Chuyển động của vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương Hai dao động này
có phương trình lần lượt là x1 4cos 10t cm
+ Ta để ý rằng, hai dao động thành phần ngược pha nhau → biên độ dao động tổng hợp A = A1 – A2 = 4 – 3 = 1 cm
→ Tốc độ của vật tại vị trí cân bằng v = vmax = ωA = 10 cm/s
II CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN:
1 Bài toán liên quan đến khoảng cách giữa hai vật
Xét hai dao động điều hòa
o dmin = 0, tương ứng với thời điểm hai dao động đi qua nhau
→ Ta sử dụng phương pháp đường tròn để biểu diễn vị trí hai dao động cách xa nhau nhất và vị trí hai dao động đi qua nhau
Ta chú ý rằng, hai dao động là cùng tần số, do vậy tam giác O(1)(2) luôn không đổi trong mọi thời điểm
Biễu diễn dao động tương ứng trên đường tròn Khoảng cách giữa hai dao động lớn nhất Khoảng cách giữa hai dao động nhỏ nhất
+ Từ biểu diễn trên, ta có các kết quả sau:
o Khi khoảng cách giữa hai dao động là lớn nhất thì (1)(2) song song với Ox, khi đó ta cũng có v1 v2
o Khi khoảng cách giữa hai dao động là nhỏ nhất thì (1)(2) vuông góc với Ox
Trang 44 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
o Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp khoảng cách giữa hai dao động cực đại đến khoảng cách giữa hai dao động cực tiểu là Δtmin = 0,25T
→ Khi hai dao động vuông pha, O(1)(2) là tam giác vuông tại O Tại vị trí dao động
Bài tập minh họa 1: Hai vật dao động điều hòa trên hai đoạn thẳng song song cạnh nhau, cùng một vị trí cân bằng
trùng với gốc tọa độ, cùng một trục tọa độ song song với đoạn thẳng đó với các phương trình li độ lần lượt là
cm tương ứng trên đường tròn
o Tại t = 0, x 6cm, tương ứng với bị trí biên âm của dao động Δx
o Khoảng cách giữa hai vật lớn nhất khi Δx = 1
→ Từ hình vẽ, ta thấy rằng Δt = 0,5T = 0,6 s
Đáp án C
Bài tập minh họa 2: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục Ox, coi trong quá trình dao động hai chất
điểm không va chạm vào nhau Biết phương trình dao động của hai chất điểm lần lượt là x1 10cos 4 t cm
2017s
12
Hướng dẫn:
Trang 55 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
+ Khoảng cách giữa hai chất điểm d x1 x2 10 cos 4 t
→ Biễu diễn tương ứng trên đường tròn
+ Ta tách 2017 = 4.504 + 1, trong mỗi chu kì hai dao động sẽ cách nhau 5 cm 4
lần do vậy cần 504T để chúng thõa mãn 2016 lần, ta chỉ cần tìm thêm thời gian
để hai dao động cách nhau 5 cm lần đầu tiên
→ Tổng thời gian sẽ là Δt = 504T + 0,25T = 252,125 s
Đáp án C
Bài tập minh họa 2: (Tam Hiệp – 2018) Hai vật nhỏ dao động điều hòa với cùng chu kỳ T = 1 s dọc theo trục Ox
quanh vị trí cân bằng O Khi hai vật nhỏ cách xa nhau nhất thì vận tốc của vật một là –6π cm/s Khi hai vật nhỏ gặp
nhau thì vận tốc của vật hai là –8π cm/s Biên độ dao động của một trong hai vật có thể nhận giá trị nào sau đây?
Hướng dẫn:
+ Khi khoảng cách giữa hai vật là xa nhất → v2v1 6 cm/s
+ Thời điểm khoảng cách giữa hai vật cách xa nhau nhất và thời điểm hau vật gặp nhau là hai thời điểm vuông pha
Bài tập minh họa 3: (Chuyên Lương Văn Tụy – 2018) Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa
cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = 2Acos(ωt + φ1) cm và x2 = 3Acos(ωt + φ2) cm Tại một thời điểm mà tỉ số vận tốc và tỉ số li độ của dao động thứ hai so với dao động thứ nhất lần lượt là 1 và 2 thì li độ của dao động tổng hợp là 15 cm Giá trị của A là
2 2
Bài tập minh họa 4: (Việt Yên – 2018) Dao động của chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
phương, có phương trình li độ lần lượt là x1 3cos 2 t
Trang 66 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
+ Ta để ý rằng hai da động này vuông pha nhau Biểu diễn hai dao động tương ứng
trên đường tròn → hai dao động cùng li độ khi (1)(2) vuông góc với Ox
→ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có:
Bài tập minh họa 5: (Sp Hà Nội – 2018) Hai điểm sáng cùng dao động điều hòa trên trục Ox nằm ngang với
phương trình dao động lần lượt là x14cos 5 t cm và x2 4 3 cos 5 t
6
cm Kể từ thời điểm ban đầu, tại thời
điểm lần đầu tiên hai điểm sáng cách xa nhau nhất, tỉ số vận tốc của điểm sáng thứ nhất so với chất điểm thứ hai là
Hướng dẫn:
+ Biễu diễn dao động của hai điểm sáng tương ứng trên đường tròn
→ Khi hai điểm sáng cách xa nhau nhất thì (1)(2) song song với Ox Dễ thấy rằng v1 = v2 → 1
2
v1
v
Đáp án A
2 Bài toán cực trị liên quan đến thay đổi biên độ
a Bài toán biên độ thay đổi để biên độ khác đạt cực trị
Bài tập minh họa 1:(Chuyên KHTN – 2013) Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình
Bên cạnh công cụ khảo sát đồ thị hàm số, ta cũng có thể xác định cực trị dựa
vào giản đồ vecto
→ Biễn diễn vecto các dao động
+ Áp dụng định lý sin trong tam giác
Trang 77 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
Bài tập minh họa 2: (Chuyên Vĩnh Phúc – 2018) Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương,
cùng tần số có biên độ và pha ban đầu lần lượt là A1, A2, 1
rad Dao động tổng hợp có biên độ là 9
cm Khi A2 có giá trị cực đại thì A1 và A2 có giá trị là
A A19 3 cm, A2 = 18 cm B A1 = 9 cm, A2 9 3 cm
C A19 3 cm, A2 = 9 cm D A1 = 9 cm, A2 = 18 cm
Hướng dẫn:
+ Ta có A2A12A222A A cos1 2 A12 3A A2 1A2281 0
→ Để phương trình trên tồn tại nghiệm A1 thì Δ ≥ 0 → A2max = 18 cm
Thay giá trị A2 vào phương trình đầu, ta tìm được A19 3. cm
Đáp án A
a Bài toán biên độ thay đổi để tổng hai biên độ khác đạt cực trị
Bài tập minh họa 1: (Quốc gia – 2014) Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương trình lần lượt là
Sử dụng phương pháp đại số để khảo sát cực trị
+ Từ biểu thức tổng hợp dao động ta có :A2A12A222A A cos1 2
+ Từ biểu thức trên ta thấy rằng với Δφ là không đổi để A1A2 max thì A1A2 nhỏ nhất
+ Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số A1 và A2 : 2
Trang 88 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
Khảo sát cực trị bằng giản đồ vecto
→ Biễn diễn vecto các dao động
tổng hợp không phụ thuộc
A biên độ của dao động thành phần thứ nhất B biên độ của dao động thành phần thứ hai
C tần số chung của hai dao động thành phần D độ lệch pha của hai dao động thành phần
Hướng dẫn:
+ Biên độ của dao động tổng hợp không phụ thuộc vào tần số của hai dao động thành phần
Đáp án C
Câu 2: Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động thành phần có phương trình lần lượt là x1 = 3cosπt cm và
x2 = 4cosπtcm Phương trình của dao động tổng hợp:
Câu 4: Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động thành phần có biên độ lần lượt là 3 cm và 4 cm Độ lệch
pha giữa chúng là 0,5π Dao động tổng hợp có biên độ:
Hướng dẫn:
+ Biên độ dao động tổng hợp A 32 42 5cm
Đáp án C
Trang 99 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
Câu 5: Hai dao động thành phần của một chất điểm có phương trình lần lượt là x14cos 2 t cm và
Câu 8: Dao động cuả một vật là tổng hợp của hai dao động thành phần x1 = 6cos4πt cm và x2 = 3cos(4πt + π)cm Tốc
độ của vật taị vị trí vật có động năng bằng 3 lần thế năng là:
A 6 3cm/s B 6π cm/s C 3π cm/s D 3 3cm/s
Hướng dẫn:
Tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao động vmax A 4 6 3 12 cm/s
+ Tại vị trí động năng bằng 3 lần thế năng thì x A
Trang 1010 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
C cùng tần số và có độ lệch pha không đổi
D cùng phương, cùng tần số và có độ lệch pha không đổi theo thời gian
Hướng dẫn:
+ Ta chỉ có thể tổng hợp hai dao động khi hai dao động này có cùng phương cùng tần số và độ lệch pha không đổi theo thời gian
Đáp án D
Câu 12: Chọn phát biểu sai: Trong tổng hợp dao động Biên độ của dao động tổng hợp
A cực đại khi độ lệch pha giữa hai dao động thành phần là 2π
B cực tiểu khi độ lệch pha giữa hai dao động thành phần là π
C phụ thuộc vào tần số của hai dao động thành phần
D phụ thuộc và độ lệch pha giữa hai dao động thành phần
Trang 1111 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
→ Biễu diễn dao động của Δx tương ứng trên đường tròn
o Tại t = 0, Δx = 0, và đang chuyển động theo chiều dương
o Khoảng thời gian 1 s tương ứng với Δφ = ωΔt = 5π
+ Trong mỗi nửa chu kì có 1 lần Δx = 0 → kể từ thời điểm ban đầu có 6 lần
hai vật đi ngang qua nhau
Đáp án B
Câu 18: (Nguyễn Khuyến) Một chất điểm tham gia đồng thời 2 dao động cùng phương, có phương trình lần lượt là
x1 = A1cos(4πt) và x2 = A2cos(4πt + 2) Phương trình dao động tổng hợp là xA1 3 cos(4 t ) , trong đó
Trang 1212 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
+ Với A2 = A1 ta có
2
12
Câu 22: (Chuyên Vĩnh Phúc – 2017) Hai con lắc lò xo giống nhau gồm lò xo nhẹ và vật nặng có khối lượng 500 g,
dao động điều hòa với phương trình lần lượt là x1 Acos t
cm trên hai trục tọa độ
song song cùng chiều, gần nhau và cùng gốc tọa độ Biết trong quá trình dao động, khoảng cách giữa hai vật lớn nhất bằng 10 cm và vận tốc tương đối giữa chúng có độ lớn cực đại bằng 1 m/s Để hai con lắc trên dừng lại phải thực hiện lên hệ hai con lắc một công cơ học có tổng độ lớn bằng
→ Từ hai phương trình trên → ω = 10 rad/s và A = 8 cm
+ Để hai con lắc trên ngừng dao động ta phải cung cấp một công bằng tổng cơ năng của hai con lắc
1 2
AE E 0, 25J
Đáp án A
Trang 1313 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
Câu 23: (Hoàng Lệ Kha – 2017) Một vật thực hiện đồng thời ba dao động cùng phương x1 A cos1 t 2
Câu 24: (Hoàng Lệ Kha – 2017) Hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang dọc
theo hai đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox Biên độ của con lắc thứ nhất là A14cm, của con lắc thứ hai là A24 3cm, con lắc thứ hai dao động sớm pha hơn con lắc thứ nhất Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc theo trục Ox là a = 4 cm Khi động năng của con lắc thứ nhất cực đại là W thì động năng của con lắc thứ hai là
9W
2W3
Câu 25: (Yên Lạc – 2017) Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
Biết dao động thứ nhất có biên độ A1 = 6 cm và trễ pha 0,5π so với dao động tổng hợp Tại thời điểm dao động thứ hai
có li độ bằng biên độ của dao động thứ nhất thì dao động tổng hợp có li độ bằng 9 cm Biên độ của dao động tổng hợp bằng
Trang 1414 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
+ Ta đưa các phương trình về dạng cos:
Câu 27: (Chuyên Long An – 2017) Hai điểm sáng dao động điều hòa trên trục Ox, chung vị trí cân bằng O, cùng tần
số f, có biên độ dao động của điểm thứ nhất là A điểm thứ hai là 2A Tại thời điểm ban đầu, điểm sáng thứ nhất đi qua
vị trí cân bằng, điểm sáng thứ hai ở vị trí biên Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm sáng là
Hướng dẫn:
+ Hai dao động vuông pha → A A12A22
→ Cơ năng của dao động 1 2 2
Trang 1515 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
trị li độ là x1 20cm, x2 80cm; x3 40cm, tại thời điểm t2 t1 T
1
2 22
2 2
Câu 30: (Chuyên KHTN – 2017) Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo
hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục Ox Vị trí cân bằng của M và N đều nằm trên một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox Biên độ của M là 6 cm, của N là 8 cm Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm Mốc thế năng tại vị trí cân bằng Ở thời điểm mà M có động năng bằng ba lần thế năng thì tỉ số giữa động năng của M và của N là
Hướng dẫn:
dx x A A 2A A coscos tVậy dmax A2MA2N2A A cosM N 10→ Δφ = 0,5π
+ Với hai đại lượng vuông pha ta luôn có
2 2
Ax
Câu 31: (Huỳnh Thúc Kháng – 2017) Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa kết hợp ngược pha nhau
Tại một thời điểm ly độ của dao động thành phần thứ nhất và dao động tổng hợp lần lượt là 2 cm và – 3 cm Ở thời điểm ly độ dao động tổng hợp là 4,5 cm thì ly độ của dao động thành phần thứ hai là:
xx x x 5→ dao động tổng hợp luôn cùng pha với dao động thứ hai
→ Biên độ của dao động thứ hai khi x = 4,5 cm là x2 4,5 5 7,5
Câu 32: Hai chất điểm thực hiện dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song, nằm ngang, có gốc tọa độ nằm
cùng trên một đường thẳng có phương thẳng đứng Phương trình dao động của các chất điểm tương ứng là
Trang 1616 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
dao động, khoảng cách theo phương ngang giữa hai chất điểm được biểu diễn bằng phương trình dAcos t
cm Thay đổi A1 đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thì
Câu 34: (Chuyên Hƣng Yên – 2018) Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có
li độ lần lượt là x1, x2, x3 Biết phương trình li độ tổng hợp của các dao động thành phần lần lượt là
Khi li độ của dao động x1 đạt giá trị cực
tiểu thì li độ của dao động x3 là:
1 1 3
Câu 35: (Nguyễn Khuyến – 2018) Một vật thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số 10 Hz với biên
độ của hai dao động thành phần lần lượt là 4 cm và 4 3 cm Để vật có tốc độ cực đại bằng 80 7cm/s thì độ lệch pha của hai dao động thành phần nhận giá trị nào dưới đây?
Trang 1717 Bùi Xuân Dương – 0914 082 600
D 4
x A cos t và x2A cos2 t 2.Gọi xx1x2 và xx1x2 Biết rằng biên độ dao động của x+
gấp 3 lần biên độ dao động của x- Độ lệch pha cực đại giữa x1và x2 gần với giá trị nào nhất sau đây?
Từ giả thuyết bài toán: A12A22 2A A cos1 2 3 A12A222A A cos1 2
+ Biến đổi toán học ta thu được:
Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên bằng
Câu 38: (Chuyên Lam Sơn – 2018) Một vật tham gia đồng thời 2 dao động thành phần cùng chu kì, cùng phương
Biên độ của các dao động thành phần và dao động tổng hợp bằng nhau Cho biết phương trình dao động tổng hợp là