Chuyên đề 31 phương trình đường thẳng đáp án p1

Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình-2019Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng  và mặt phẳng P... Viết phương trình mặt cầu  S

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng 1 Bài toán liên quan đến mặt cầu – mặt phẳng – đường thẳng

Câu 1 (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  4;6;2  và B  2; 2;0   và

mặt phẳng  P :x  y z 0 Xét đường thẳng d thay đổi thuộc  P và đi qua B , gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định

Tính bán kính R của đường tròn đó

Lời giải Chọn D

Gọi I là trung điểm của AB  I  3;2;1 

Phương trình mặt cầu đường kính AB là: x22y12z52 9

Trang 2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x22y32z4214 và mặt phẳng

   :x3y2z 5 0 Biết đường thẳng  nằm trong    , cắt trục Ox và tiếp xúc với  S Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ?

Trang 3

Lời giải Chọn B

Câu 7 (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;1;1 , B2;2;1

và mặt phẳng  P :x y2z Mặt cầu 0  S thay đổi qua , A B và tiếp xúc với  P tại H Biết

H chạy trên 1 đường tròn cố định Tìm bán kính của đường tròn đó

2

Lời giải

Trang 4

Có A(1;1;1), (2;2;1)B  Phương trình AB:

111

Gọi K là giao điểm của AB và  P  K   1; 1;1

Có Mặt cầu  S tiếp xúc với  P tại H

 HK là tiếp tuyến của  S

 KH2KA KB  12KH 2 3

không đổi

 Biết H chạy trên 1 đường tròn bán kính 2 3 không đổi

  2 2 2

S x y z  x y z  và mặt phẳng    : 4x3y12z100 Lập phương trình mặt phẳng    thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Tiếp xúc với   S ; song song với    và cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương

Lời giải Chọn C

Trang 5

Câu 9 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu x2y2z2 9

Ba điểm A, B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho

MA, MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua điểm D1;1; 2 Tổng T x02y02z02 bằng

* MA, MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu MOABC

ABC đi qua D1;1; 2 có véc tơ pháp tuyến OM x y z 0; 0; 0

có phương trình dạng:

* MA là tiếp tuyến của mặt cầu tại A MOA vuông tại AOH OM OA2R29

Gọi H là hình chiếu của O lên ABC OHOM HM, ta có:

Trang 6

Mặt cầu  S có tâm I1; 0; 1 , bán kính R 1

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u d 1;1; 1 

Gọi K là hình chiếu của I trên d, ta có K t ; 2  t; t IKt1; 2  t; t 1

Câu 11 Trong không gian Oxyz, cho điểm E2;1;3, mặt phẳng  P : 2x2y  z 3 0 và mặt cầu

  S : x32y22z5236 Gọi  là đường thẳng đi qua E, nằm trong  P và cắt

 S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất Phương trình của  là

Mặt cầu  S có tâm I3; 2;5 và bán kính R6

2 2 2

IE R điểm E nằm trong mặt cầu  S

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng  P , A và B là hai giao điểm của  với  S

Khi đó, AB nhỏ nhất  ABOE, mà ABIH nên ABHIE ABIE

Trang 7

Vậy phương trình của  là

213

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm cầu I  3;1;0 lên d , từ đó ta tìm được H  3;0; 1   Thấy

IH R  nên d cắt ( )S Vậy mặt phẳng cần tìm nhận IH  0; 1; 1  

làm VTPT nên pt mặt phẳng là yz 1 0

Câu 13 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho

điểmE1;1;1, mặt phẳng  P :x3y5z 3 0 và mặt cầu   2 2 2

S x y z  Gọi  là đường thẳng qua E, nằm trong mặt phẳng  P và cắt  S tại 2 điểm phân biệt A B, sao cho

2

AB  Phương trình đường thẳng  là

A

1 221

Véctơ chỉ phương của :n n P;IE  8; 4; 4

I

Trang 8

 véctơ u  2; 1; 1  

cũng là véctơ chỉ phương của 

Phương trình đường thẳng  là:

1 211

S x y z x y Gọi  là đường thẳng đi qua

A và  nằm trong mặt phẳng  P và cắt mặt cầu  S tại hai điểm B,C sao cho tam giác IBC

có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu  S Phương trình của đường thẳng  là

.sin2

R sinBIC1 90BIC  IBC vuông cân tại I BCIC 2 R 22 6

Gọi J là trung điểm của BC Ta có IJ BC và 6

2

 BC 

AIJ vuông tại  J AI IJ , kết hợp thêm với  1 và  2 ta có IJ  AI  AJ  A là

trung điểm của BC và IABC

Trang 9

Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : z  2 0, K0;0; 2 , đường thẳng

:

d   Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d và cắt mặt phẳng  P theo thiết

diện là đường tròn tâm K , bán kính r  5 là

Gọi I là tâm của mặt cầu cần lập Vì Id nên giả sử I t t t ; ;  Có IK     t; t; 2 t

Thiết diện của mặt cầu và mặt phẳng  P là đường tròn tâm K nên ta có IK  P Suy ra IK

và n  0;0;1

cùng phương Do đó tồn tại số thực k để

.0

0.0

Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x   y z 3 0 và hai điểm

Trang 10

Vậy Q luôn thuộc đường tròn tâm I bán kính R 6

Câu 17 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 Cho các phát biểu sau đây:

I Đường thẳng d cắt mặt cầu  S tại 2 điểm phân biệt

II Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S

III Mặt phẳng  P và mặt cầu  S không có điểm chung

IV Đường thẳng d cắt mặt phẳng  P tại một điểm

Số phát biểu đúng là:

Lời giải Chọn D

22

Trang 11

Câu 18 (Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình-2019)Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng  và mặt phẳng (P)

Suy ra H là trung điểm của đoạn AB nên AH = 2   2 2

N

I

K H

B

A

P

Trang 12

Gọi ;A B là hai điểm thuộc lần lượt 1và2 sao cho ABlà đoạn thẳng vuông góc chung giữa 2

đường Gọi M là trung điểm AB Dễ có mặt cầu tâm M bán kính

Viết phương trình mặt cầu  S có bán kính nhỏ nhất

tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2

Trang 13

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương u 1 (2;1; 0)

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương u  2 ( 1;1;0)

Để phương trình mặt cầu  S có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1

d và d2 khi và chỉ khi:

Tâm mặt cầu  S nằm trên đoạn thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2, đồng thời

là trung điểm của đoạn thẳng vuông góc chung

Gọi điểm M2 ; ; 4t t  thuộc d1; gọi điểm N(3t t'; '; 0) thuộc d2 với MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

M N



 



Gọi điểm I là tâm mặt cầu  S , do đó điểm I là trung điểm MN

2;1; 2

I

 RIM IN 2 Suy ra mặt cầu  S :  2  2  2

Mặt cầu  S có tâm I1; 2; 3  và bán kính 2 2  2

Gọi  C là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng ABC và mặt cầu  S

Đặt MAMBMCx khi đó ABx BC; x 2;CAx 3 do đó tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm H của AC là tâm đường tròn  C và H I M thẳng hàng , ,



H M

A

I

C

Trang 14

Lại có Md nên M   1 t; 2 t;1t , t1 mà IM 6 nên t22t42t42 36

2

3t 4t 0

043

t t

Câu 22 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho

điểm M  3;3; 3  thuộc mặt phẳng   : 2x2y z 15 0 và mặt cầu

  S : x22y32z52100 Đường thẳng  qua M , nằm trên mặt phẳng   cắt

 S tại , A B sao cho độ dài AB lớn nhất Viết phương trình đường thẳng 

73

x y z

Ta có AB có độ dài lớn nhất AB là đường kính của  C   MH

Đường thẳng MH đi qua M  3;3; 3  và có VTCP MH  1; 4 ; 6

C  Gọi D là điểm khác O sao cho DA , DB , DC đôi một vuông góc nhau và I a b c  ; ; 

là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính S    a b c

Trang 15

Gọi d là trục của  ABC, ta có ABC:xy z 2 0

Do  ABC đều nên d đi qua trọng tâm 2; 2; 2

32:

323

A B Một mặt cầu  S luôn đi qua A B, và tiếp xúc với  P tại C Biết rằng, C

luôn thuộc một đường tròn cố định bán kính r Tính bán kính rcủa đường tròn đó

4

2 2446513

d A

D

C

M

B I

G

Trang 16

Ta có AB3;1; 2 

là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB

Phương trình tham số của đường thẳng AB là

710

T

TB TA

A TB

Ta có: AB 2; 1; 1  

, AD 1;1;1

và DC  2; 1; 1  

Trang 17

Ta thấy:  AB AD  2.1 1.1 1.1 0  

và  ABDC

nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Gọi M là trung điểm của AC Ta có: 5; 2;3

2

M 

Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng ABCD

Ta có:  AB AD,   0; 3;3 

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: u  0; 1;1 

Phương trình tham số của đường thẳng d là:

5223

Gọi I a b c ; ;  là tâm mặt cầu

Theo giả thiết ta có Rd I ,  d I ,  

Trang 18

Mà    

 2 2

11

,

11

Câu 27 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt

phẳng  P :x2y2z 3 0 và mặt cầu  S tâm I5; 3;5 , bán kính R 2 5 Từ một điểm

A thuộc mặt phẳng  P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu  S tại B Tính OA biết

4

AB 

Trang 19

Lời giải Chọn A

IA IB AB  R AB    d I P  A là hình chiếu của I lên (P)

Đường thẳng IA đi qua I5; 3;5  có VTCP u n( )P 1; 2; 2 

Ba điểm A, B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB , MC là tiếp

tuyến của mặt cầu Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua  D1;1; 2 Tổng Tx02y02z02 bằng

Mặt cầu  S có tâm O0; 0; 0 và bán kính R Gọi M1t0;1 2 ; 2 3 t0  t0d

Gỉa sử T x y z ; ;    S là một tiếp điểm của tiếp tuyến MT với mặt cầu  S Khi đó

,

Oxyz

Trang 20

và điểm M1;10; 0dnên phương trình tham số của d là:

110

Do phương trình  * vô nghiệm nên không tồn tại điểm Cthỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 30 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x2y2z29

và điểm M x 0; ; y0 z0thuộc đường thẳng

1: 1 2

Ba điểm A , B , C phân biệt cùng

thuộc mặt cầu sao cho MA , MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua D1; 1; 2 Tổng 2 2 2

Mặt khác theo giả thiết ,A , B C cùng thuộc mặt cầu  S1

Suy ra tọa độ ,A B, C thỏa mãn hệ:

Trang 21

1 ( 1)61

0 261

1 16

x y z

Do d  là hình chiếu của d lên mặt phẳng  P khi đó d là giao tuyến của mặt phẳng  P và mặt

phẳng   chứa d và vuông góc với mặt phẳng  P

 một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n  u n d, P  3;2; 1 

  

Phương trình mặt phẳng   đi qua A  2;0; 2 và có một vec tơ pháp tuyến n    3; 2; 1 

là

3x2y  z 4 0

Do  là hình chiếu của  lên mặt phẳng  P khi đó  là giao tuyến của mặt phẳng  P và mặt

phẳng   chứa  và vuông góc với mặt phẳng  P

 một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n  u n, P0; 2; 2  

  

Trang 22

Phương trình mặt phẳng   đi qua B3;1; 4 và có một vec tơ pháp tuyến n  0; 2; 2  

Câu 33 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d

là giao tuyến của hai mặt phẳng    :x my  z 2m 1 0 và    :mx y mz m  2 0 Gọi

 là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng Oxy Biết rằng với mọi số thực m thay đổi thì đường thẳng  luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định Tính bán kính R của đường tròn đó

Lời giải Chọn A

Mặt phẳng    :x my  z 2m 1 0 có một vectơ pháp tuyến là n11;m;1

Mặt phẳng    :mx y mz m  2 0 có một vectơ pháp tuyến là n2m;1;m

Theo giả thiết  là tiếp tuyễn của đường tròn  d I d ; d I P ;  R (cố định)

R m

2 022

2 000

2 0

a b R a b R

S x  y  z  x  y  z   cắt nhau theo đường tròn  C Hỏi có bao nhiêu mặt cầu

có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN, NP, PM?

Trang 23

Lời giải Chọn C

Nếu điểmA x y z  ; ;  thuộc  C thì

Phương trình mặt phẳng MNP là  x   y z 6 0

Gọi I là tâm mặt cầu thỏa bài toán, H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng MNP , 

J , K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng MN , NP , PM Ta có

IJ IK ILHJ HKHL

Suy ra I thuộc đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác MNP và vuông góc với mặt phẳng MNP 

Hình chóp O MNP là hình chóp đều nên đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác

MNP và vuông góc với mặt phẳng MNP cũng chính là đường thẳng  d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng MNP 

Phương trình đường thẳng d là x yz

Dễ thấy d  suy ra mọi điểm thuộc d đều là tâm của một mặt cầu thỏa bài toán Vậy có vô

số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM

Câu 35 Trong không gian cho mặt phẳng  P :x  z 6 0 và hai mặt cầu   2 2 2

Mặt cầu  S1 có tâm O0; 0; 0 và bán kính R 1 5 Mặt cầu  S có tâm E  2; 0; 2 bán kính

2 1

R  Ta có     1

6,

2

d O P  R và dE, P  2R2, OE 2 2, OER2 R1 nên mặt cầu  S2 nằm trong mặt cầu  S1 Như vậy mặt cầu  S tâm I tiếp xúc với cả  S1 và  S2 thì

Trang 24

 S tiếp xúc trong mặt cầu  S1 và tiếp xúc ngoài với  S2 Gọi R là bán kính của  S khi đó

ta có hệ 1

1 2 2

Mặt cầu S m có tâm 2

; ;2

Dễ thấy  3 là phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Họ mặt cầu S mcó giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng  P cố định có phương trình: x2y2z 1 0

Trang 25

Oxyz, cho mặt câu   2 2

Vì BMC vuông tại M nên: BC MB2MC2 x 2

Mặt khác AB2BC2x2x 22 3x2 x 32 AC2 nên ABC vuông tại B

Gọi H là trung điểm của AC thì H là tâm của đường tròn  C và ba điểm H I M, , thẳng hàng

Do  120AMC   nên  60AIC  , suy ra AIC đều và ACIAICR3 3

I

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	646,82 KB