Bộ đề thi năng khiếu môn toán lớp 10 trường chuyên năm 2022

Các điểm D,E,F trên các cạnh BC,CA,AB thỏa mãn: a Hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm b Nếu hai tam giác ABC và DEF chung trực tâm thì tam giác ABC đều.. Biết rằng mỗi chú hề đều c

SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG

Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN THỨ NHẤT NĂM HỌC 2021-2022

Môn: Toán 10 Lớp: 10 A1

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (3 điểm)

a) Cho hai tập hợp A  {x ¡ |x  ( 1) ;n n ¥*} và B  {x ¡ |x2 4x  3 0}

Viết A dưới dạng liệt kê phần tử; B dưới dạng khoảng (đoạn) Tìm A B ; C B¡

b) Trong lớp 10A1 của trường X tất cả các học sinh đều thích ít nhất 1 trong hai môn thể thao: bóng

đá và bóng rổ Biết rằng số học sinh thích bóng đá gấp đôi số học sinh thích bóng rổ Có 15 em thích cả hai môn và có 5 em chỉ thích bóng rổ Tính số học sinh lớp 10A1





 có đồ thị  C và đường thẳng : d y x m , với m là tham số thực Biết

rằng đường thẳng d cắt  C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho điểm G2; 2  là trọng tâm của tam giác OAB (O là gốc toạ độ) Giá trị của m bằng bao nhiêu ?

Câu 3 (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có ABc AC, b và BAC· 60 Các điểm M N, được

xác định bởi MCuuur  2MBuuur và 1

HƯỚNG DẪN CHẤM 10A1 Câu 1:

íï

ïï - + - ³ïî

  

2

Mặt khác, G2; 2  là trọng tâm của tam giác OAB nên x Ax B x O 3x G

6

Ta có MCuuur  2MBuuur uuurACuuurAM  2(uuurABuuurAM)3uuurAM 2uuurABuuurAC

Tương tự ta cũng có 3CNuuur2CA CBuur uur

Vậy: AM CN uuur uuurAM CN  0 (2uuurABuuurAC)(2CA CBuuruur)0

x    x 1 y 4 thỏa mãn điều kiện

TH 2: y    8x 1 0 y 8x1 thay vào phương trình (2) :

1(8  1) 2

Câu 5

Gọi E là giao điểm của AD và BC Ta có A, B lần lượt là trung điểm củaEC,ED

Cách 1: Giả sử PMuuuurxPNuuur ; QNuuur yQMuuuur

y

  

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

NGUYỄN TRÃI

ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN I- KHỐI 10

NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình: 2

c) Cho KD cắt (O) tại E CMR: AQPE là hình thang cân

Câu 6: (1 điểm) Cho bảng vuông 4 4 Ta điền các số 1; 2; 3; 4 vào bảng sao cho mỗi ô một số và không có hàng hoặc cột nào có 2 số giống nhau Hỏi có bao nhiêu cách điền số như vậy?

Do đó: EB BD BP

EC CD CQ nên ∆𝐸𝑃𝐵 ~∆𝐸𝑄𝐶 (𝑐 𝑔 𝑐)

Nên BEPCEQPEQBEC BAC

Lại có: DK // PQ và DK // AE nên kết hợp điều trên ta có AQPE là hình thang cân Câu 6: Vì các hàng và các cột có thể chuyển vị trí cho nhau nên ta đếm 1 trường hợp sau đó đếm số cách có thể đổi vị trí

Ta xét trường hợp các số 1 ghi ở đường chéo chính

Tiếp theo là các số 2, 3, 4 ở hàng 1 theo đúng thứ tự

+ TH1: số 2 ghi ở ô đầu tiên của hàng 2 thì 2 ô còn lại là 4;3

Làm tiếp ta thấy trường hợp này có 2 cách

+ TH2: Số 2 ghi ở ô thứ 3 của hàng thứ 2: Làm tiếp ta thấy có 1 cách

+ TH3: Số 2 ghi ở ô thứ 4 của hàng thứ 2: Tương tự có 1 cách

Như vậy, trường hợp các số 1 ở đường chéo chính và hàng 1 ghi số 1; 2; 3; 4 có 4 cách Ta có thể đổi vị trí 3 số 2; 3; 4 được 3! = 6 cách

Do đó, trường hợp các số 1 ghi ở đường chéo chính ta có: 4.6 = 24 cách

Các cách điền số khác có thể thu được bằng cách đổi vị trí các hàng của bảng vuông, có 4 hàng nên số hoán vị đổi các hàng là: 4!

Vậy số cách điền số thỏa mãn mà: 4!.24 = 576

SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

( Đề có 1 trang )

ĐỀ THI THÁNG LẦN 1 NĂM HỌC 2021 - 2022

MÔN TOÁN – 10

Thời gian làm bài : 180 Phút

Câu 1 (2,0 điểm) Tìm m sao cho hàm số 2 62 6

2) Cho tam giác ABC Các điểm D,E,F trên các cạnh BC,CA,AB thỏa mãn:

a) Hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm

b) Nếu hai tam giác ABC và DEF chung trực tâm thì tam giác ABC đều

Câu 4 (2,0 điểm) Tìm tất cả các hàm f : → thỏa mãn:

f x−y =x − yf x + f y x y

Câu 5 (1,0 điểm) Một lễ hội có n chú hề tới góp vui Biết rằng mỗi chú hề đều chọn được ít

nhất 5 màu từ 8 màu có sẵn để vẽ lên trang phục và mặt của mình sao cho không có 2 chú hề nào sử dụng các màu giống hệt nhau và 1 màu có không quá 10 chú hề sử dụng Chứng minh rằng n 16 và hãy chỉ ra 1 cách tô màu cho đúng 16 chú hề thỏa mãn các điều kiện trên

ĐÁP ÁN THI THÁNG LẦN 1 LỚP 10 TOÁN NĂM HỌC 2021-2022

Câu 1 (2,0 điểm) Tìm m sao cho hàm số 2 62 6

Chứng minh bằng truy hồi

Bước cơ sở với F F1. 2 đơn giản

Giả sử n 2 và kết quả đúng với mọi k = 1, 2  ,n

2) Cho tam giác ABC Các điểm D,E,F trên các cạnh BC,CA,AB thỏa mãn: BD CE AF

CD = AE = BF Chứng minh

a) Hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm

b) Nếu hai tam giác ABC và DEF chung trực tâm thì tam giác ABC đều

Suy ra G là trọng tâm tam giác DEF

Lại có hai tam giác ABC và DEF có chung trực tâm nên dựa vào tính chất của đường thẳng Euler suy ra hai tam giác cũng có chung tâm đường tròn ngoại tiếp O

Gọi ( )O là đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Câu 4 (2,0 điểm) Tìm tất cả các hàm f R: →R thỏa mãn:

Thỏa mãn: f y( )o =y o+ 1 Vậy f y( ) = +  y 1 y R Thử lại thấy đúng

Câu 5 (1,0 điểm) Một lễ hội có n chú hề tới góp vui Biết rằng mỗi chú hề đều chọn được ít

nhất 5 màu từ 8 màu có sẵn để vẽ lên trang phục và mặt của mình sao cho không có 2 chú hề

nào sử dụng các màu giống hệt nhau và 1 màu có không quá 10 chú hề sử dụng Chứng minh rằng n 16 và hãy chỉ ra 1 cách tô màu cho đúng 16 chú hề thỏa mãn các điều kiện trên

Từ các điều trên ta có: 5n 80, suy ra n 16

Dấu bằng xảy ra khi mỗi chú hề dùng đúng 5 màu và 1 màu có đúng 10 chú hề sử dụng

Ta minh họa 1 trường hợp xảy ra dấu bằng trong bảng sau: ( dấu x chỉ màu mà chú hề tương ứng

SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG

Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN THỨ NĂM NĂM HỌC 2021-2022

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số bậc hai 2

y f x mx  m x a) Tìm mđể y f x( )là hàm chẵn

b) Tìm mđể y f x( )đồng biến trên (2;)

Câu 2 (2 điểm)

2 x1 3x 1 8 x 4 x 7x18 b) Giải hệ phương trình

a) Tìm số nguyên dương n n, 4 biết: 2.C0n 5.C1n 8.C2n (3n  2) Cn n  1600

b) Cho ba số thực dương x y z; ; thỏa mãn 3

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1:

b) Vì y f x( )là hàm số bậc hai nên để f x đồng biến trên (2;( ) )thì trước hết m 0

Khi đó, hàm số đồng biến trên ( 2);

2

m m

Vậy n 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Biến đổi biểu thức , ta có:

CMuuuur uuuruuur uuur uuur

Theo giả thiết: ALCM uuur uuuurAL CM  0

Vẽ đường cao BM và CN của tam giác ABC ( MAC N, AB ) Gọi K là trung điểm của

BC, qua K kẻ đường thẳng song song với CN và BM cắt AB, AC lần lượt tại E và F Khi đó

E là trung điểm BN và F là trung điểm CM

Bốn điểm , , ,A E K F nằm trên đường tròn đường kính AK5, theo định lý sin trong tam

giác EKF ta được EFAK.sinEKF5sinA

Áp dụng định lý cosin trong tam giác EKF ta được :

+) Trước hết; ta đếm tổng tất cả các đỉnh của các miền đa giác

Ta thấy ngay tổng này bằng A 3a3 4a4  m a. m

Hơn nữa; nếu đếm như vậy thì mỗi giao điểm của 2 đường chéo sẽ được tính 4 lần (do giao điểm đó thuộc 4 miền) Mỗi đỉnh của đa giác ban đầu sẽ được đếm n 2 lần (do thuộc n 2 miền)

Ta có tổng này bằng B 180 0a3 180 2.0 a4 180 3.0 a5  180 (0 m 2)a m

Mặt khác, tổng các góc trên chính là tổng các góc của đa giác ban đầu ( 0

180 (n 2)) cộng với360 0nhân tổng các giao điểm của các đường chéo

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

Thời gian :180 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)

Ngày thi: 7 tháng 12 năm 2020

a) Tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF và P là một điểm bất kì nằm trong mặt

phẳng Chứng minh rằng các đường tròn (PAD), (PBE), (PCF) có trục đẳng phương

chung

b) Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SC và SH ( C và H là tiếp

điểm) và một cát tuyến SBA đến (O) (B nằm giữa S và A) Vẽ đường kính CD của (O), E

là giao điểm của SO và BD Chứng minh rằng AD song song với CE

Câu 3(1,5 điểm) Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S nlà số các bộ số nguyên

b) Tìm các số nguyên dương x, y và số nguyên tố p sao cho xy3 p x( y)

Câu 5(1 điểm) Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng

SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

ĐỀ THI THÁNG LẦN 3 LỚP 10 TOÁN

NĂM HỌC 2021 - 2022 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài : 180 Phút

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau có tập xác định là : 20152 2016

x y

Câu 3 (1,0 điểm)

Bảng giá cước taxi Mai Linh như sau: 10.000 đ cho 0, 6 km đầu tiên, 13.000 đ/km cho đoạn tiếp theo từ 0,6 km cho tới 25 km và 11.000đ /km cho đoạn tiếp theo từ 25 km trở đi

a) Hãy thiết lập hàm số f x( ) để tính giá tiền phải trả cho quãng đường đi x km

b) Bạn An sau khi xuống xe đã trả tài xế số tiền là 371.200 đ Hỏi quãng đường bạn An đã đi là bao nhiêu?

Câu 4 (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: 2 ; 1AC

BD= BC AE= Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng

2) Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH Kẻ HK vuông góc với AC tại K và M là trung điểm HK Chứng minh rằng đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BK

3) Cho hình thang ABCD, ( AD song song BC), M là trung điểm CD và P,Q là trung điểm BM, AM Gọi CP cắt DQ tại N Chứng minh rằng điểm N nằm bên trong hoặc trên cạnh tam giác AMB  1 3

3

BC AD

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THÁNG LẦN 3 LỚP 10 TOÁN

Năm học 2021-2022 Câu 1 (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau có tập xác định là : 20152 2016

x y

Với m =1 thì phương trình đã vô nghiệm

Với m = 1 thì phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi

2

(m 1) 4(m 1) 0 (m 1)(m 5) 0 1 m 5



Vậy tập các giá trị m thỏa mãn đề bài là [1,5)

2) Hàm số f x( ) = 2x2− 4x+ = 5 2(x− 1)2+ 3 có giá trị nhỏ nhất bằng 3 nên hàm số g x( ) đạt giá trị nhỏ nhất là − 5, tức là

2

454

a − b

− = − (1) Hai đồ thị có đúng 1 điểm chung khi và chỉ khi phương trình 2x2− 4x+ = 5 x2+ax b+ có đúng 1 nghiệm Phương trình trên tương đương x2− + (a 4)x+ − = 5 b 0, có đúng 1 nghiệm chỉ khi

2 2

(1)  3x − 7xy+ +x 2y − 2y=  0 (x− 2 )(3y x− + =y 1) 0+) Với x= 2y, thế vào (2) ta được: 4y+ 9y =  = 5 y 1 Ta được nghiệm ( , )x y =(2,1)

Xét x =2 hoặc x =3 hiển nhiên thỏa mãn

Xét x 2 hoặc x 3, bất phương trình tương đương với: 2x−  5 x2− +x 5

Bảng giá cước taxi Mai Linh như sau: 10.000 đ cho 0, 6 km đầu tiên, 13.000 đ/km cho đoạn tiếp theo từ 0,6 km cho tới 25 km và 11.000đ /km cho đoạn tiếp theo từ 25 km trở đi

a) Hãy thiết lập hàm số f x( ) để tính giá tiền phải trả cho quãng đường đi x km

b) Bạn An sau khi xuống xe đã trả tài xế số tiền là 371.200 đ Hỏi quãng đường bạn An đã đi là bao

2) Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH Kẻ HK vuông góc với AC tại K và M là trung điểm HK Chứng minh rằng đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BK

3) Cho hình thang ABCD, ( AD song song BC), M là trung điểm CD và P,Q là trung điểm BM, AM Gọi CP cắt DQ tại N Chứng minh rằng điểm N nằm bên trong hoặc trên cạnh tam giác AMB khi và chỉ khi

114

k =

K A

E

Vậy K trên AD sao cho 1

k

−

= +

M K H

=

+ nên

3 1 1

1

k x

3 1

0 ( 1) (3 ) 3 1

1 ( 1) ( 1)

k k k

k k k

A  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= =b c

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 33 đạt được khi a=b=c

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

Thời gian :180 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)

Ngày thi: 7 tháng 12 năm 2020

a) Tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF và P là một điểm bất kì nằm trong mặt

phẳng Chứng minh rằng các đường tròn (PAD), (PBE), (PCF) có trục đẳng phương

chung

b) Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SC và SH ( C và H là tiếp

điểm) và một cát tuyến SBA đến (O) (B nằm giữa S và A) Vẽ đường kính CD của (O), E

là giao điểm của SO và BD Chứng minh rằng AD song song với CE

Câu 3(1,5 điểm) Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S nlà số các bộ số nguyên

b) Tìm các số nguyên dương x, y và số nguyên tố p sao cho xy3 p x( y)

Câu 5(1 điểm) Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng

SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG

Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN THỨ NĂM NĂM HỌC 2020-2021

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (2 điểm) Giải hệ phương trình

a) Tam giác AKC vuông

b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE

Câu 5 (2 điểm) Cho một bảng ô có 2012 2012  ô Mỗi ô điền một dấu + Thực hiện phép biến đổi : mỗi lần đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng (+ thành – và – thành +)

a) Hỏi sau một số phép biến đổi có thể thu được đúng 1 dấu – hay không ?

b) Hỏi sau một số phép biến đổi có thể thu được đúng 18 dấu – hay không ?

HƯỚNG DẪN CHẤM 10 TOÁN Câu 1:

Biến đổi phương trình (1) ta được (x2 2)(2x    y 1) 0 y 2x 1

Thế vào phương trình (2) ta được: x  2 2x  4 (3)

Như vậy không có trường hợp nào mà r(2r  1) 2(mod 3); hay nói cách khác p 3

Thay vào ta có 15 r(2r 1) Phương trình này không có nghiệm nguyên (loại)

Vậy không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn

Giả sử P(0) P(1) P(2) m Khi đó 2

ax bx c m  có ba nghiệm x 0;1; 2 phân biệt (mâu thuẫn)

Vậy V AKC vuông tai K (ĐPCM)

b) Gọi N là trung điểm của AB

Do V ABC cân tại A nên N nằm trên đường tròn ngoại tiếp  BCM và cung

ND  MD  NBD  MBD

Vậy BD là phân giác góc ·ABE (1)

Theo chứng minh trên M là tâm đường tròn ngoại tiếp  AKC Gọi O , O1 2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp  BMC và  ABD

Câu 5:

a) Coi mỗi số trên bảng mang dấu + là 1; dấu – là -1 Như vậy ta thấy sau mỗi phép biến đổi thì tích các số trên bảng không đổi; vẫn sẽ là 1 (do ta đổi dấu đúng 2012 số)

Như vậy không thể xuất hiện trạng thái có đúng 1 dấu “-“

b) Giả sử sau một số lần biến đổi; bảng có đúng 18 dấu “-“

Gọi x i là số lần đổi dấu ở hàng thứ i ; y j là số lần đổi dấu ở cột thứ j

Gọi p là số các số lẻ trong các số x x1; 2; ;x2012; q là các số lẻ trong các số

SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG

Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN THỨ NĂM NĂM HỌC 2020-2021

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (2 điểm) Giải hệ phương trình

a) Tam giác AKC vuông

b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE

Câu 5 (2 điểm) Cho một bảng ô có 2012 2012  ô Mỗi ô điền một dấu + Thực hiện phép biến đổi : mỗi lần đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng (+ thành – và – thành +)

a) Hỏi sau một số phép biến đổi có thể thu được đúng 1 dấu – hay không ?

b) Hỏi sau một số phép biến đổi có thể thu được đúng 18 dấu – hay không ?

HƯỚNG DẪN CHẤM 10 TOÁN Câu 1:

Biến đổi phương trình (1) ta được (x2 2)(2x    y 1) 0 y 2x 1

Thế vào phương trình (2) ta được: x  2 2x  4 (3)

Như vậy không có trường hợp nào mà r(2r  1) 2(mod 3); hay nói cách khác p 3

Thay vào ta có 15 r(2r 1) Phương trình này không có nghiệm nguyên (loại)

Vậy không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn

Giả sử P(0) P(1) P(2) m Khi đó 2

ax bx c m  có ba nghiệm x 0;1; 2 phân biệt (mâu thuẫn)

Vậy V AKC vuông tai K (ĐPCM)

b) Gọi N là trung điểm của AB

Do V ABC cân tại A nên N nằm trên đường tròn ngoại tiếp  BCM và cung

ND  MD  NBD  MBD

Vậy BD là phân giác góc ·ABE (1)

Theo chứng minh trên M là tâm đường tròn ngoại tiếp  AKC Gọi O , O1 2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp  BMC và  ABD

Câu 5:

a) Coi mỗi số trên bảng mang dấu + là 1; dấu – là -1 Như vậy ta thấy sau mỗi phép biến đổi thì tích các số trên bảng không đổi; vẫn sẽ là 1 (do ta đổi dấu đúng 2012 số)

Như vậy không thể xuất hiện trạng thái có đúng 1 dấu “-“

b) Giả sử sau một số lần biến đổi; bảng có đúng 18 dấu “-“

Gọi x i là số lần đổi dấu ở hàng thứ i ; y j là số lần đổi dấu ở cột thứ j

Gọi p là số các số lẻ trong các số x x1; 2; ;x2012; q là các số lẻ trong các số