Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC B và C là tiếp điểm.. c Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng AO và đường tròn O.. Chứng minh I cách đều 3 cạnh của tam giác ABC.
Trang 1PHÒNG GD VÀ ĐT NAM TỪ LIÊM TRƯỜNG THCS MỄ TRÌ
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN 9 Bài 1 (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức 2
9
x A x
B
(với x , 0 x ) 4 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9
2) Rút gọn biểu thức B
3) Cho P A B , so sánh P với P
Bài 2 (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình sau:
2) Cho hàm số y x 2 và y x 2
a) Vẽ đồ thị hai hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị bằng phép tính
Bài 3 (2,5 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Một ca nô chạy trên sông trong 1h 25 phút, xuôi dòng 20 km và ngược dòng 18 km Một lần khác cũng trên khúc sông đó ca nô này chạy trong 1h 30 phút xuôi dòng 15 km và ngược dòng
24 km Hãy tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn O R; Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B
và C là tiếp điểm) Vẽ dây CD AB Đường thẳng // AD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E Tia CE cắt AB tại M
a) Chứng minh: Bốn điểm A, B, O , C cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh: MB2MC ME
c) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng AO và đường tròn O Chứng minh I cách đều 3 cạnh của tam giác ABC
d) Chứng minh: tam giácAME đồng dạng với tam giác CMA và M là trung điểm của đoạn thẳng AB
Bài 5 (0,5 điểm)
Cho x , tìm giá trị nhỏ nhất 0 9 2 5 1 2021
9
x
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức 2
9
x A x
B
(với x0,x4) 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9
2) Rút gọn biểu thức B
3) So sánh P A B với P
Lời giải
1) Khi x ta có9 2 2 3 2 1
3 9 12 9
9 9 9
x A x
2) Với x0,x4, ta có
B
x x
=
2
x x
x x
x x
x x
1 2
x x
2
x B x
với x0,x4
P A B
với x0,x4
P xác định khi 0 1 0 1 0 1
9
x
Kết hợp với điều kiện x 1;x4
1
P
P
Vì: P 0 1 P 0
9
P
Suy ra P P 0 P P
Vậy P P vớix1;x4
Bài 2 (2,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình sau: 2( ) 2 7
2 Cho hàm số y x 2 và y x 2
Trang 3a) Vẽ đồ thì hai hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng phép tính
Lời giải
1 Giải hệ phương trình sau: 2( ) 2 7
Ta có 2( ) 2 7
(ĐK: x ) 2
Đặt x y u ; x 2 v v( 0)thì hệ đã cho trở thành
5
2 3
y x
Vậy hệ phương trình có một nghiệm x y , 7; 5
2 Cho hàm số y x 2 và y x 2
a) Vẽ đồ thị hai hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ
*) Đường thẳng y x 2đi qua 2 điểm 0;2 và 2;0
*) Ta có bảng giá trị
2
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng phép tính
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:
x x x x
Ta có a b c 1 1 2 0nên phương trình (1) có hai nghiệmx1 1; x22
Với x1 1 y11; x2 2 y2 4
Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm 1;1và 2;4
Bài 3 (2,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
6
4
2
2
1
2 1 -2 -1
Trang 4Một ca nơ chạy trên sơng trong 1 giờ 25 phút, xuơi dịng 20 km và ngược dịng 18 km Một lần khác cũng trên khúc sơng đĩ, ca nơ này chạy trong 1 giờ 30 phút, xuơi dịng 15 km và ngược dịng 24 km Hãy tính vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc của dịng nước
Lời giải
Gọi vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc dịng nước lần lượt là x và y (km/h) x y 0
Khi đĩ , vận tốc của ca nơ khi xuơi dịng là x y (km/h), vận tốc của ca nơ khi ngược dịng là
x y (km/h)
Ca nơ chạy trên sơng trong 1 giờ 25 phút, xuơi dịng 20 km và ngược dịng 18 km nên ta cĩ phương trình 20 18 85
60
x y x y Một lần khác ca nơ chạy trong 1 giờ 30 phút, xuơi dịng 15 km và ngược dịng 24 km nên ta cĩ phương trình 15 24 3
2
x y x y
Ta cĩ hệ phương trình :
thỏa mãn điều kiện
Vậy vận tốc riêng của ca nơ là 27 km/h, vận tốc dịng nước là 3 km/h
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho đường trịn O R; Từ điểm A nằm ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B
và C là tiếp điểm) Vẽ dây CD AB Đường thẳng // AD cắt đường trịn tại điểm thứ hai là E Tia CE cắt AB tại M
a) Chứng minh: Bốn điểm A, B, O , C cùng thuộc một đường trịn
b) Chứng minh: MB2MC ME
c) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng AO và đường trịn O Chứng minh I cách đều 3 cạnh của tam giác ABC
d) Chứng minh: tam giácAME đồng dạng với tam giac CMA và M là trung điểm của đoạn thẳng AB
Lời giải
Trang 5a) Chứng minh: Bốn điểm A, B, O , C cùng thuộc một đường tròn
Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có 90ABO ACO tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO nên bốn điểm A, B, O , C cùng thuộc đường tròn đường kính AO
b) Chứng minh: MB2MC ME
Xét MBE và MCB có:
BME chung;
MBE MCB (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn BE )
ME MB
c) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng AO và đường tròn O Chứng minh I cách đều 3 cạnh của tam giác ABC
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AB AC mà OB OC (bán kính của đường tròn
O ) OA là trung trực của BC OA BC I là điểm chính giữa của BCIB IC
ABI CBI
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) BI là phân giác ABC
Mặt khác cũng theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AI là phân giác nên I là tâm đường tròn nội tiếp ABC suy ra điểm I cách đều ba cạnh của ABC
d) Chứng minh: tam giácAME đồng dạng với tam giac CMA và M là trung điểm của đoạn thẳng AB
Xét AME và CMA có:
AME chung;
(hai góc so le trong, AB CD ); // EDC ACM (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung và góc nội tiếp cùng chắn CE)MAE ACM EDC
ME MA
mà theo ý b, ta có MB2MC ME
MA MB M là trung điểm của AB
I M
E
D
C
B
O A
Trang 6(0,5 điểm ) Cho x0, tìm giá trị nhỏ nhất của 9 2 5 1 2021
9
x
Lời giải
Ta có: 2
3 1x 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x và 1
9x ta có: 1 2 1 2
Do đó: 3 12 1 2020 0 2 2020 6062
x
6062
3
M
Dấu “ ” xảy ra khi 3 1 01 1
3 9
x
x x
x
3
MinM khi 1
3
x