I KIẾN THỨC BỔ SUNG
1) Với mọi số a, b, c ta có
Chứng minh:
2
2) Với mọi số a, b, c ta có: 3 3 3 ( ) ( 2 2 2 )
3
a + + −b c abc= a b c+ + a +b +c −ab bc ca− −
Chứng minh
3
3
3
a b c+ + a b+ − a b c c+ + − ab a b c+ +
a b c+ + a +b +c −ab bc ca− −
Hệ quả: Nếu a b c+ + = thì 0 3 3 3
3
a + + =b c abc Nhận xét: Hệ quả có thể chứng minh trực tiếp như sau:
Do a b c+ + = = − +0 a (b c)hay b c+ = − a
a −a b −bc+c
2
a= − + b c a = − + b c =b + bc c+ nên
2
a + +b c =a b + bc+c −b +bc c− = a 3( )bc =3abc
Bài 1 (Mỹ Đức 2021) Cho x y z 3
a+ + = và b c a b c 0
x+ + = , với , , , , ,y z a b c x y z Tính giá trị của 0 biểu thức
P
Hướng dẫn giải
Ta có x y z 3
a+ + =b c
2 2 3
+ + =
2.cxy ayz bxz 9
P
abc
+ +
Lại có a b c 0 ayz bxz cxy 0
Từ (1) và (2) ta có P = 9
Trang 2Bài 2 (Mỹ Đức 2019) Cho biểu thức 2019
B
số đều khác 0) Tính giá trị của B, biết abc =2019
Hướng dẫn giải
B
=
1
+ + + + + +
1
b bc
b bc
+ + =
+ +
Vậy P = 1
Bài 3 (Mỹ Đức 2012) Cho x y z và đôi một khác nhau thỏa mãn , , 0 1 1 1 0
x+ + = Tính giá trị y z
A
Hướng dẫn giải
+ + = = xy+yz+zx = suy ra yz0 = − − xy xz
Khi đó ta có 2 2
2
x + yz=x +yz + yz (2)
2
= x x( −y) (−z x−y) (= x−y)(x−z) Do đó
2
2
Chứng minh tương tự ta có
2
2
2
Từ (3), (4) và (5) có
( yz)( ) ( )(xz ) ( xy)( )
A
=
(x y yz)(x z) (x y)(xz y z) (x z)(xy y z)
−
2
2
2
=
Vậy A = 1
Trang 3Bài 4 (Mỹ Đức 2016) Cho a, b, c là ba số khác 0 và thỏa mãn điều kiện a b c+ + = Tính giá trị 0
của biểu thức
P
Hướng dẫn giải
Ta có a b c+ + = = − +0 a (b c) suy ra 2 ( ) 2 2 2
2
a = − + b c =b +c + bc Do đó
a − − =b c bc (1) Chứng minh tương tự ta có b2− −c2 a2=2ca (2) và
c −a −b = ab (3)
Từ (1), (2) và (3) có
P
2
abc
+ +
(4)
a +b +c =a + b c b+ −bc+c mà a b c+ + = + = − nên ta có 0 b c a
a a −b +bc c− mà a2=b2+2bc c+ (cmt) nên 2
a +b +c =a b + bc+c −b +bc c− = abc (5)
Từ (4) và (5) có 3 3
abc P
abc
= =
2
P =
Nhận xét: Ta có kết quả sau:
1) Cho ba số a, b, c bất kỳ ta có
3
a +b + −c abc= a+ +b c a +b +c −ab bc ca− − 2) Nếu a b c+ + = thì 0 3 3 3
3
a + + =b c abc
Bài 5 (Mỹ Đức 2013) Cho a b c+ + = ; 0 x+ + = ; y z 0 a b c 0
x+ + = Chứng minh rằng y z
ax +by +cz =
Hướng dẫn giải
0
x+ + = = −y z x y+z x = − y+z nên x2 = y2+2yz+ do đó z2
ax =a y + yz+z =a y +z + ayz (1)
Chứng minh tương tự ta có 2 ( 2 2)
2
by =b x +z + bxz (2) và 2 ( 2 2)
2
cz =c x +y + cxy (3) Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có
ax +by +cz =a y +z +b z +x +c x +y + ayz+ bxz+ cxy cộng hai vế với
ax +by +cz ta được
2ax +2by +2cz =a x +y +z +b x +y +z +c x +y +z + 2ayz+2byz+2cxy
2ax +2by +2cz = a+ +b c x +y +z + 2ayz+2bxz+2cxy (4)
Mặt khác a b c+ + = nên từ (4) dẫn đến 0 2 2 2
ax +by +cz =ayz bxz cxy+ + (5)
Theo giả thiết a b c 0 ayz bxz cxy 0
Từ (5) và (6) ta có ax2+by2+cz2 = 0
Trang 4Bài 6 (Mỹ Đức 2015) Cho a b c thỏa mãn , , 0 ay bx cx az bz cy
( )2 ( 2 2 2)( 2 2 2)
ax by+ +cz = x +y +z a +b +c (2)
Hướng dẫn giải
Nếu x = thì từ (1) dẫn đến 0 ay az bz cy
−
= = −
y ck
=
= −
Từ (*) suy ra
b k c k
a
0
mà a b c, , 0 a2+ +b2 c2 nên (**) dẫn đến 0 k = = = nên (2) đúng 0 y z 0
Chứng minh tương tự nếu y = 0 hoặc z = 0 cũng dẫn đến (2) đúng
Xét , ,x y z Từ (1) có 0 z ay bx( ) y cx az( ) x bz cy( )
bằng nhau ta có z ay bx( ) y cx az( ) x bz cy( ) ayz bxz cxy ayz bxz cxy
Mà , ,x y z nên có 0 ay bx cx az bz cy 0
ay bx
cx az
bz cy
=
=
=
=
=
= =
Đặt
a mx
c mz
=
=
Khi đó ta có
( 2 2 2)2 2( 2 2 2)2 (2)
( ) ( 2 2 2)( 2 2 2 2 2 2)
2
Do đó VT(2)=VP(2) nên ta có đpcm
Bài 7 (Mỹ Đức 2014) Tính giá trị của biểu thức 1 1 1
M
+ + + , biết rằng 2a=by cz+ ;
2b=ax cz + ; 2c ax by= + và a b c+ + 0
Hướng dẫn giải
Nếu a = thì từ giả thiết dẫn đến 0
0
2
by cz
c by
=
Lại có
a b c+ + = + + = mâu thuẫn giả thiết b c a b c+ + Vậy 0 a Chứng minh tương tự 0
có ,b c 0
Trang 5Từ (1), (2) và (3) có P a b c
ax by cz ax by cz ax by cz
a b c
ax by cz
+ + + + (4)
2
2
a by cz
c ax by
= +
hay
2 a b c+ + =2 ax by+ +cz + + =a b c ax by cz+ + (5)
Từ (4) và (5) có P = 1