Tài liệu ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Chuyên đề Rút gọn phân thức Bài 2... Tìm giá trị nhỏ nhất của P.. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Trang 1Bài 1 (Mỹ Đức 2012) Cho biểu thức
3
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi 1
2
Hướng dẫn giải
a) Rút gọn P
Điều kiện xác định
3
2
4 0
6 3 0
2 0 10
2
x x
x x
x
−
−
+
−
( ) ( )( )
2
2
2
0 2
x x x x
x
−
( )( )
4 10
0 2
x
x
−
− + −
0; 2; 2 6
0 2
x
+
2; 0
(*)
Khi đó ta có
2
2
:
4
x P
x x
−
2
:
x
x
( )( )
=
( )( ) ( ( )( ) )
x x
1 2
x
−
−
2
P x
= −
− , với x0;x 2 b) Tính giá trị của P khi 1
2
Ta có
1
1 2
2
x x
x
=
=
= −
Th1: Nếu 1
2
x = (tmđk), thay vào 1
2
P x
= −
− ta được
2
Th2: Nếu 1
2
2
P x
= −
− ta được
2
Trang 2
Tài liệu ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Chuyên đề Rút gọn phân thức
Bài 2 (Mỹ Đức 2013) Cho biểu thức 2 ( )( )
2
6 9
F
=
a) Rút gọn biểu thức F
b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho F là một số nguyên
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định: 2 ( )2
x − x+ x− x 3 Khi đó ta có ( )( ) ( )( )
( )2
3
F
x
=
( ) ( )
( )2
3
x
− + − −
= 3 4 2 3 5
+ − + = − +
Vậy 3 5
3
x F x
− +
=
− , với x 3
b) Ta có 3 5 3( 3) 4
x x
F
− +
4 3 3
x
− −
− mà 3− nên
4 3
F
x
− Mặt khác x − nên x 3 4 3
− Ư(4) = 1; 2; 4 TH1: Nếu x− = = (tmđk) 3 1 x 4
Th2: Nếu x− = − = (tmđk) 3 1 x 2
Th3: Nếu x− = = (tmđk) 3 2 x 5
Th4: Nếu x− = − = (tmđk) 3 2 x 1
Th5: Nếu x− = = (tmđk) 3 4 x 7
TH6: Nếu x− = − = − (tmđk) 3 4 x 1
Vậy các giá trị nguyên của x để biểu thức F nhận giá trị nguyên là x 4; 2;5;1; 7; 1−
Bài 3 (Mỹ Đức 2015) Cho biểu thức 3 2 2 2 : 1
P
a) Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
c) Tìm x để P 1
Hướng dẫn giải
a) Tìm đkxđ và rút gọn P
ĐKXĐ: 2
2 0
3 0
5 6 0
1 0
1
x x
x x x
+
+
+ +
−
2
2 3
2 3 6 0 1
1
0 1
x x
x
x
−
−
+ + +
− −
−
( ) ( )
2 3
1 1 0 1
x x
x
x
−
−
−
−
( )( )
2 3 1
x x x
−
−
2; 3; 1
− − (*)
Trang 3Khi đó ta có ( )( )
( 32)( 33) ( ( 22)( )( 23) ( ) 22)( 3) : 11
P
( )( )
:
= ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
x P x
−
= + , với x −2;x −3;x 1 b) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên
P
+ + + mà 1 nên
3 2
P
x
+
Do x nên x + 2 Do đó 3
2
+ + Ư(3) = x 2 1; 3 Th1: Nếu x+ = = − (tmđk) 2 1 x 1
Th2: Nếu x+ = − = − (loại, vì k tmđk) 2 1 x 3
Th3: Nếu x+ = = (loại, ktmđk) 2 3 x 1
Th4: Nếu x+ = − = − (tmđk) 2 3 x 5
Vậy các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên là x − − 1; 5
c) Tìm x để P 1
Ta có 1
2
x P x
−
= + , với x −2;x −3;x nên 1 1 1 1
2
x P
x
−
+ ( )
1
x
− − +
−
0 2
x
− − −
+
3 0 2
x
−
+ (1)
Lại có 3− nên (1) dẫn đến 0 x+ − 2 0 x 2
Kết hợp với điều kiện x −2;x −3;x ta có 1 P 1 khi 3
2
x x
−
−
Bài 4 (Mỹ Đức 2017) Cho biểu thức 1 2 5 2 :1 22
A
1 1;
2
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
c) Tìm x để A =A
Hướng dẫn giải
a) Rút gọn A
Ta có
( )( )
2
A
( ) ( )( ) ( ( )( ) ) ( )( )
2
=
( )( ) ( ( )( ) )
( )( ) ( )( ) ( )
=
Trang 4 Tài liệu ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Chuyên đề Rút gọn phân thức Vậy 2
1 2
A
x
=
− b) Tìm x nguyên để A nguyên
1 2
A
x
=
− nguyên khi và chỉ khi 1 2x− Ư(2) =
Mà 1 2x1; 2 − là số lẻ với mọi x nên chỉ có thể xảy ra các trường hợp
TH1: Nếu 1 2− x= = (tmđk) 1 x 0
TH2: Nếu 1 2− x= − = (loại) 1 x 1
Vậy các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên là x = 0
c) Tìm x để A = A
Ta có A = mà A A 0 2
1 2
A
x
=
− nên
2 0
1 2x
− mà 2 nên 0 1
1 2 0 1 2
2
−
Kết hợp với điều kiện 1; 1
2
x x ta có A A= khi
1 2 1
x x
−
Bài 5 (Mỹ Đức 2019) Cho biểu thức
1
A
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
c) Tìm x để 1
3
Hướng dẫn giải
a) ĐKXĐ:
2
2 3
2
2 8 0( )
0 0
x x
+
( ) 2( )
0
x
0
x
2
0
0
2
x
x x
x
+ −
(*)
Rút gọn A
Ta có:
2
A
x
= ( ) ( )
( ) ( )
2 2
x
2 2
x
− + −
Trang 5=
( ) ( ) ( )( )
3
2 2
4
x
− −
( ) ( )
2
1 2
x x
+
b) Tìm x nguyên để A nguyên
Ta có 1
2
x A x
+
= , với x0;x 2
Do đó 1 1 2 1 1
2 2
= + = +
Do A nguyên nên 2A nên 1 1
x
+ mà 1 nên 1
x Mặt khác x nên
1
x khi và chỉ khi x Ư(1) = 1
TH1: Nếu x = ta có 1 1 1 1 1
x A x
= = = (tmđk)
TH2: Nếu x = − ta có 1 1
2
x A x
+
= = 0 (tmđk)
c) Tìm x để 1
3
A
Ta có 1
2
x A x
+
= , với x0;x nên 2 1 1 1
x A
x
+
x x
+
( )
0 6
x
+ −
6
x x
+
Xảy ra các trường hợp sau:
x
Kết hợp với điều kiện x0;x ta được 32 − x 0
Th2: Nếu 3 0 3
(vô nghiệm)
Vậy để 1
3
A thì − 3 x 0
Bài 6 (Mỹ Đức 2018)
1) Cho 2 2 1 3 2 1
P
a) Rút gọn P
b) Biết P Tìm x để P nguyên dương 4
Hướng dẫn giải
a) Rút gọn P
ĐKXđ:
2
x x
−
−
2
x x
−
( 3) (4 3) 0 4
3
x x
( 3)( 4) 0 3
4
x x
3 0
4 0 3; 4
x x
−
−
3; 4
Trang 6 Tài liệu ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Chuyên đề Rút gọn phân thức
Khi đó ta có 2 2 1 3 2 1
P
− + − − = ( 23)( 1 4) 43 2( 13)
=
( 23)( 1 4) 43 2 31
( )( ) ( )( ) ( )( )
=
( )( )
2
2
= ( ) ( )
( 23)(3 4)2
( )( ) ( 23)( 34)
2 4
x x
−
−
4
x P x
−
=
− , với x3;x 4 b) Biết P 4 Tìm x để P nguyên dương
P
− − − , với x3;x 4
Do 1 là số nguyên nên để P nguyên dương thì 2
4
− và
P
mà 2 0, 3; 4
− nên để P nguyên dương thì
2
* 4
− (1)
Lại có P 4 nên 1 2 4 2 3
Từ (1) và (2) có 2
1; 2;3 4
Th1: Nếu 2 1 2 4 6
x = = − =
Th2: Nếu 2 2 2 2 8 2 10 5
−
8 3
x
= (tmđk)
Vậy nếu P 4 thì các giá trị của x để P nguyên dương là 5; 6;8
3
x
2) Cho 4a2+b2 =5ab (*) và 2a Tính giá trị của b 0 42 2
4
ab A
=
−
Hướng dẫn giải
Ta có (*) 4a2−5ab b+ 2= 0 4a2−4ab ab b− + 2= 0 4a a b( − −) (b a b− )=0 (4a b a b)( ) 0
0
Th1: Nếu b=4a =0 b 4a2a (do a > 0) nên b = 4a bị loại
Th2: Nếu b = a thay vào được
2
A
Vậy 4
3
Trang 7Bài 7 (Mỹ Đức 2021 + Mỹ Đức 2016) Cho biểu thức
:
P
a) Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P
b) Tìm x để 1
2
c) Cho x Tìm giá trị nhỏ nhất của P 1
Hướng dẫn giải
a) Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P
ĐKXĐ:
2
2
2
2
0
1 0 0
0 1
x x
x x
− +
−
−
( )
( )
( )
2
2
1 0 0 1
1 0
0
x x x
x x
−
( )( )
( )
2
1 0
0 1
x x
x x
1 0
0 1
x x
x x
− + + −
−
1 0 1 0 1
x x x
x x
+
−
1 0
1 0
x x x
+
1 0 1
x x x
−
1 0
x x
Khi đó ta có
( ) ( )
2
2
1 :
1 1
P
x x x
=
−
( ) ( )
( )
2
1 1
x x
+
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1 1
1
1 1
x
=
−
b) Tìm x để 1
2
Ta có
2
x P
x
= − = −
2x x 1 0
2x x 2x 1 0
(2 1) 1 2( 1) 0
− + − = (2x−1)(x+ =1) 0
1
2
1 0
1( )
x
+ =
Vậy để 1
2
2
x =
c) Cho x Tìm giá trị nhỏ nhất của P 1
Ta có
1 1
P
− +
2
1 1
x
− +
− − =
1 1 1
x x
+ +
− = ( ) 1
1
x
x
− + +
Trang 8 Tài liệu ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Chuyên đề Rút gọn phân thức
1
x
x
− Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có ( ) 1 ( ) 1
(2) Dấu bằng xảy ra khi
1 1 1
x x
− =
− ( )2
− = − = (do x − ) nên 1 0 x = (tmđk) 2
Từ (1) và (2) ta có P Dấu bằng xảy ra khi x = 2 4, x 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 đạt được khi x = 2
Cách 2:
4
x P
− − − mà x − , lại có 1 x 1 0 ( )2
x− Do đó x ( )2
2
4 4, 1 1
x
x
−
− Dấu bằng xảy ra khi ( )2
2
1
x
x x
−
= =
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 đạt được khi x = 2