Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OI và viết phương trình ñường cong C ñối với hệ IXY.. Từ ñó suy ra rằng I là tâm ñồi xứng của ñường cong C.. Viết phươn
Trang 1ðIỂM UỐN CỦA ðỒ THỊ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ðỘ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 ðiểm uốn của ñồ thị :
Giả sử hàm số f có ñạo hàm cấp một liên tục trên khoảng ( )a b chứa ñiểm ; x0và có ñạo hàm cấp hai trên khoảng ( )a x; 0 vì ( )x b Nếu 0; f ñổi dấu khi x qua ñiểm '' x0 thì I x f x( 0; ( )0 )là một ñiểm uốn của ñồ thị của hàm số y = f x( )
Nếu hàm số f có ñạo hàm cấp hai tại ñiểm x0 thì I x f x( 0; ( )0 )là một ñiểm uốn của ñồ thị hàm số thì
( )0
2 Phép tịnh tiến hệ tọa ñộ :
Công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tình tiến theo vectơ OI
là
0 o
= +
, I x f x( 0; ( )0 )
Ví dụ 1 : Cho hàm số ( ) 1 3 1 2
f x = x − x − x + )
a Giải phương trình f' sin( x) = 0
)
b Giải phương trình f '' cos( x) = 0
)
c Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ñã cho tại ñiểm có hoành ñộ là nghiệm của phương trình f''( )x = 0
Giải :
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ
)
2
f x =x − − ⇒x f x = ⇔x = ±
Cả hai nghiệm x ñều nằm ngoài ñoạn −1;1
Do ñó phương trình f' sin( x) = vô nghiệm 0
)
2
f x = x − ⇒ f x = ⇔x = Do ñó phương trình
f x = ⇔ x = ⇔ x = ±π +k π k ∈ ℤ
)
= − ⇒ = ⇔ = = = −
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : 17 1 47 17 145
= − − + = − +
Ví dụ 2 : Cho hàm số ( ) 3 2
f x =x − x + có ñồ thị là ( )C
1 Xác ñịnh ñiểm I thuộc ñồ thị ( )C của hàm số ñã cho , biết rằng hoành ñộ của ñiểm I nghiệm ñúng phương trình f ''( )x = 0
Trang 22 Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OI
và viết phương trình ñường cong ( )C ñối với hệ IXY Từ ñó suy ra rằng I là tâm ñồi xứng của ñường cong ( )C
3 Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong ( )C tại ñiểm I ñối với hệ tọa ñộ Oxy Chứng minh rằng trên khoảng (−∞;1) ñường cong ( )C nằm phía dưới tiếp tuyến tại ñiểm I của ( )C và trên khoảng
(1; +∞ ñường cong ) ( )C nằm phía trên tiếp tuyến ñó
Giải :
f x = x − x f x = x − f x = ⇔x = Hoành ñộ ñiểm I thuộc ( )C là
( )
x = f = − Vậy I ( ) ( )1; 1− ∈ C
2 Công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OI
1
= −
Phương trình của ( )C ñối với hệ tọa ñộ IXY là : ( )3 ( )2 3
Vì ñây là một hàm số lẻ nên ñồ thị ( )C của nó nhận gốc toạ ñộ I làm tâm ñối xứng
f x = x − x ⇒ f = − Phương trình tiếp tuyến của ñường cong ( )C tại ñiểm I ñối với hệ tọa ñộ Oxy : y = f ' 1( )(x −1) ( )+f 1 = −3(x −1)− ⇔1 y =g x( )= −3x + 2
h x = f x −g x = x − x + − − x + = x − trên ℝ
Dễ thấy ( )
( ) 0,0, 11
h x x
h x x
< <
> >
ðiều này chứng tỏ trên khoảng (−∞;1) ñường cong ( )C nằm phía dưới tiếp tuyến tại ñiểm I của ( )C và trên khoảng (1; +∞ ñường cong ) ( )C nằm phía trên tiếp tuyến ñó
1 Gọi I là ñỉnh của parabol ( )P Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI
và viết phương trình của parabol ( )P ñối với hệ tọa ñộ IXY
( ) 2
a f x =x − x +
8
b f x = x + x −
( ) 2
c f x = x − x +
)
x
d f x
x
+
=
−
( ) 1 2
2
e f x = x − −x
( ) 2
f f x = x −
2 Gọi I là ñiểm uốn cuả ñồ thị ( )C Chứng minh rằng I là tâm ñối xứng của ( )C
a f x = −x + x + x
b f x =x + x + −x
c f x =x − x +
d f x = −x + x −
e f x =x + x −
f f x =x − x +
Trang 33 Gọi I là giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của ñường cong ( ) 5 ( )
x
x
−
= + Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI
và viết phương trình của ( )G ñối với hệ tọa ñộ IXY Từ ñó suy ra rằng I là tâm ñối xứng của ( )G
Cùng câu hỏi ñối với ñồ thị của các hàm số sau :
( ) 2 2 3 3
)
2
a f x
x
=
−
1
x
+
)
x
c f x
x
+
=
+
( ) 3 2 )
1
x
d f x
x
−
= +
2
e f x
x
= −
+
( ) 2
1
f f x
x
+
)
3
g f x
x
=
−
)
2
h f x
x
+ −
= +
( ) 2 8 19 )
5
i f x
x
=
−
4 Cho hàm số ( ) 3 2
f x =x − x + x − có ñồ thị là ( )C )
a Gọi I là ñiểm uốn cuả ñồ thị ( )C Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI
và viết phương trình của ( )C ñối với hệ tọa ñộ IXY Từ ñó suy ra rằng I là tâm ñối xứng của ( )C )
b Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị ( )C tại ñiểm uốn Chứng minh rằng tiếp tuyến tại ñiểm uốn
có hệ số góc nhỏ nhất
5.Cho hàm số ( ) 3 2
f x =x − x + có ñồ thị là ( )C )
a Viết phương trình tiếp tuyến ( )t tại ñiểm uốn I của ñường cong ( )C
)
b Xét vị trí tương ñối cuả ñường cong ( )C và tiếp tuyến ( )t (tức là xác ñịnh khoảng trên ñó ( )C nằm phía trên hoặc phía tiếp tuyến ( )t )
6
)
a Vẽ ñồ thị ( )C của hàm số ( ) 2
1
1 1
1
x khi x x
f x
khi x
−
=
)
b Tìm ñạo hàm cuả hàm số f x tại ñiểm ( ) x = − 1
)
c Chứng minh rằng I(−1; 0)là ñiểm uốn của ñường cong y = f x( )
)
d Từ ñồ thị ( )C suy ra cách vẽ ñồ thị của hàm số ( ) 2
1
1 1
1
x khi x x
khi x
−
Hướng dẫn :
Trang 4b ( )
( ) ( )
( )
1
1
1
lim
1
lim
lim
x
x
x
f x f
f x f x
x
−
+
→ −
→−
→ −
+
Hàm số f x tại ñiểm ( ) x = − và 1
1
2
f − = −
)
c ( )
2
3
2
1
1 1
2
1
1 2
khi x x
khi x
khi x
x khi x
−
Dễ thấy f '( )x liên tục trên ℝ và ( )
1; 0
f x khi x
I
f x khi x
< < −
> > −
7
)
a Vẽ ñồ thị ( )C của hàm số ( )
2
1
1
khi x
≤ −
=
)
b Chứng minh rằng I(− − là ñiểm uốn của ñường cong 1; 1) ( )C Viết phương trình của ñường cong
( )C tại ñiểm I Từ ñồ thị ( )C suy ra cách vẽ ñồ thị của hà số y = f x( )