Chương III BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC Trong chương này, chúng ta sẽ dùng công cụ toán học biến đổi Fourier để chuyển việc biểu diễn tín hiệu và hệ
Trang 1Chương III
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN
TẦN SỐ LIÊN TỤC
Trong chương này, chúng ta sẽ dùng công cụ toán học biến đổi Fourier để chuyển việc biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập n sang miền tần số liên tục ω Chúng ta xem xét sự liên hệ biểu diễn ở hình 3.1
3.2 Biến Đổi Fourier Của Tín Hiệu Rời Rạc
3.2.1 Định Nghĩa Biến Đổi Fourier
a Định Nghĩa
Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc x(n)
∑∞
−∞
=
−
=
n
n j
e
Công thức trên cho thấy, ta biến đổi tín hiệu x(n) trong miền biến số độc lập n sang tín hiệu X(ejω) trong miền tần số ω (tần số f = (ω/2π))
Ta ký hiệu sử dụng tóan tử sau :
FT[x(n)] = X(ejω)
) ( )
(n FT X e jω
b Phương Pháp Thể Hiện X(e jω )
• Thể hiện dưới dạng phần thực và phần ảo
Bởi vì X(ejω)
) ( Im )]
( Re[
) (e jω X e jω j X e jω
Miền ω
Hình 3.1
ZT
IZT FT
IFT
Quan hệ giữa
ZT và FT
Trang 2(
Re[X e jω : Phần thực của X(ejω)
)]
(
Im[X e jω : Phần ảo của X(ejω)
• Thể hiện dưới dạng Modun và argument
)]
( arg[
) ( ) (e jω X e jω e j e jω
| | : là modun
arg : gọi là argument
)
(e jω
X : gọi là phổ biên độ của x(n)
)
(
argX e jω : gọi là phổ pha của x(n)
Quan hệ giữa phổ biên độ, phổ pha, phần thực và phần ảo của X(ejω)
)]
( [ Im )]
( [ Re )
(e jω 2 X e jω 2 X e jω
)]
( Re[
)]
( Im[
)]
(
ω ω
j
j j
e X
e X arctg e
)]
( arg[
)
Vậy ta có :
)]
(
) ( ) (e jω X e jω e jϕω
• thể hiện dưới dạng độ lớn và pha
Giả sử ta thể hiện X(e jω) ở dạng sau đây :
) ( j j
j ) A(e )e e
(
(3.8)
) ( ) (e jω X e jω
<
π +
±
±
=
≥ π
ω
,
0 ) e ( A , ) 1 k 2 (
2 , 1 , 0 k
; 0 ) e ( A k
2 )]
e ( A
j
3.2.2 Sự Tồn Tại Của Biến Đổi Fourier
Chuỗi trong phương trình (3.1) là hội tụ nếu và chỉ nếu x(n) thoã mãn điều kiện sau :
∑∞
−∞
=
∞
<
n n
Nếu điều kiện thoả mãn thì chuổi (3.1) sẽ hội tụ tuyệt đối về một hàm liên tục của ω
Nhận xét :
Về mặt toán học, chúng ta có quan hệ sau đây luôn đúng
2 2
) ( )
(
∑∞ ∑
−∞
=
∞
−∞
≤
=
nếu
Trang 3−∞
=
∞
<
n n
x )( thì
∞
<
∑∞
−∞
=
2
) (
n
n x
và ta cũng có :
∑∞
−∞
=
∞
<
=
n
Nếu tín hiệu x(n) thoả mãn điều kiện (3.11) thì x(n) là tín hiệu năng lượng Biến đổi Fourier của tín hiệu năng lượng hữu hạn là luôn luôn tồn tại
Ví dụ 3.1:
Hãy xét sự tồn tại của biến đổi Fourier và tính năng lượng Ex của dãy x(n) sau :
a x1(n) = u(n)
b x2(n) = r(n)
c x3(n) = δ(n)
d x4(n) = rectN(n)
Giải :
=
∞
−∞
=
∞
−∞
=
∞
=
=
=
0
n n
n
n u n
x
∑∞
=
∞
=
=
0
2
n x
E
Vậy X1(ejω) là không tồn tại
=
∞
−∞
=
∞
−∞
=
∞
=
=
=
0
n n
n
n n
r n
x
−∞
=
∞
=
∞
=
=
=
E
0
2 2
vậy X2(ejω) là không tồn tại
−∞
=
∞
−∞
=
1 ) ( )
(
3
n n
n n
∑∞
−∞
=
=
=
n
E 3 δ( )2 1
vậy X3(ejω) là tồn tại
=
∞
−∞
=
∞
−∞
=
∞
<
=
=
0
n n
N n
N n
rect n
x
∑∞
−∞
=
=
=
n
N
Trang 4Vậy X4(ejω) là tồn tại.
3.2.3 Biến Đổi Fourier Ngược (IFT)
Chúng ta biết rằng X(ejω) là một hàm tuần hoàn của biến tần số ω có chu kỳ là 2π và X(ejω) tồn tại nếu điều kiện (3.11) được thoả mãn Vậy chúng ta có thể khai triển hàm X(ejω) thành chuổi Fourier trong khoảng (-π, π) vì thế, chúng ta có thể xem những hệ số sau khi khai triển là x(n), có nghĩa chúng ta có thể tìm thấy x(n) từ X(ejω)
Từ công thức (3.11) ta có :
∑∞
−∞
=
−
=
n
n j
e
X( ω) ( ) ω nhân hai vế phương trình với ejωl , lấy tích phân trong khoảng (-π, π) ta có :
ω
π
ω ω
π
π
ω e d x n e e d e
n
n j l
j j
∫ ∑
∫
−
∞
−∞
=
−
ta biết rằng :
∫
−
−
≠
=
=
π
π
ω
n j ,
0
n l ,
2 d
e j l n )
nếu
nếu
(3.14) vậy :
∫
∑
−
−
∞
−∞
≠
=
=
π
π
ω
n j 0
n l )
l ( x 2 d
e ) n (
x j l n )
nếu ,
cuối cùng ta có :
∫
−
= π
π
ω
l
x ( j ) j l
2
1 )
Vậy ta có cặp biến đổi Fourier sau đây :
∫
−
= π
π
ω
n
x ( j ) j n
2
1 )
n j n
e
−∞
=
∑
) (
Ta có thể dùng toán tử sau đây để biểu diễn biến đổi Fourier ngược :
Hoặc :
) ( )
và để biểu diễn cặp biến đổi Fourier ta có :
FT[x(n)]= X(ejω)
) ( )]
(
Ví dụ 3.2 :
Cho
= −
lại còn
ω
ω ω
ω ω
0
e ) e (
n j
Trang 5với n0 : số nguyên
Hãy tìm x(n), hãy vẽ X(ejω) và x(n) với ωc = π/2, n0 = 4
Giải :
Từ biểu thức (3.15) ta có :
)]
( [ sin
) (
)]
( sin[
) (
1 2
1
2
1 )
( 2
1 ) (
0
0
0 )
( 0
) (
0
0
n n c
n n
n n e
n n j
d e
d e e X n
x
c c
c
c c
c
c n n j
n n j n
j j
−
=
−
−
=
−
−
=
=
=
−
−
−
ω π
ω
ω
ω π
ω ω
ω π
ω π
ω π
ω
π
π ω π
π
ω ω
với ωc = π/2, n0 = 4 ta có :
= −
lại còn ω
ω ω
ω ω
0
e ) e (
n j
-2π -π -π/2 0 π/2 π 2π
|X(ejω)|
ω
Hình 3.2a
-5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2
arg[X(ejω)]=ϕ(ω)
ω 10π
Hình 3.2b
Trang 6) 4 ( 2
) 4 ( 2 sin 2
1 ) (
−
−
=
n
n n
π
x(n) và X(ejω) được vẽ trên hình 3.2.3.1
=
lại còn
ω
π ω
ω
0
2 / 1
) e (
X j
3.3 Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier
3.3.1 Tính Chất Tuyến Tính
Giả sử có hai tín hiệu x1(n) và x2(n) và biến đổi Fourier của chúng là :
FT[x1(n)]= X1(ejω) FT[x2(n)]= X2(ejω) Chúng ta coi x(n) được tạo bởi tổ hợp tuyến tính của hai dãy x1(n) và x2(n) như sau :
ở đây a và b là hai hằng số
n j 2
2
j ) [a x (n) a x (n)]e e
( X )]
n ( x [
−∞
=
3.3.2 Tính Chất Trễ
Giả sử y(n) là phiên bản trễ của x(n) là :
n0 : số nguyên
Ta có
n j n
n j n
e
−∞
=
−
∞
−∞
=
)
Đổi biến số : l = n – n0, ta có :
) ( )
( )
( ω jωl jωn0 jωn0 jω
n
e
−∞
=
=
) n ( x
Hình 3.2
1
n 1/2π
-1/3π 1/π
Trang 7Biểu thức (3.21) và (3.22) thể hiện tính chất trễ của biến đổi Fourier Nếu ta biểu diễn )
(e jω
Y ở dạng modul và argument, ta có :
) ( ) (e jω X e jω
)]
( arg[
)]
( arg[Y e jω =−ωn0 + X e jω
Từ biểu thức (3.23), ta thấy rằng tín hiệu x(n) trễ đi n0 mẫu trong miền số độc lập n, thì trong miền tần số phổ biên độ của nó giữ nguyên không đổi, còn phổ pha của nó sẽ tăng thêm một lượng -ωn0
Ví dụ 3.3:
Cho x(n) = rectN(n – n0)
- Hãy tìm X(ejω)
- Hãy tìm phổ biên độ và phổ pha của x(n)
Giải :
áp dụng tính chất trễ ta có :
)]
( [ )]
( [ ) ( )]
(
n n rect FT e
X n x
N
= lần lượt tính ta có :
2 sin 2 sin
2 sin 2
sin )
1 ( 2
) 1
0
ω
ω ω
ω
ω ω
ω ω
N e
N e
e e X
N n j N
j n j j
− +
−
−
−
=
Vậy phổ biên độ và phổ pha của x(n) như sau :
2 sin 2
sin )
ω
ω
N e
X j =
+
− +
−
=
2 sin 2
sin arg ) 2
1 (
) (
ω ω
ω
N N
n e
X j
3.3.3 Tính Chất Đối Xứng
Trong trường hợp tổng quát, tín hiệu x(n) là tín hiệu phức, ta có thể viết :
Vậy dãy liên hợp của x(n) là x*(n) có dạng
Bây giờ ta tìm quan hệ giữa FT[x*(n)] và FT[x(n)] :
Trang 8−∞
=
−
=
=
n
n j
e X n x
FT[ ( )] ( ω) ( ) ω
*
*
*
*
[
=
−∞
=
−
∞
−∞
=
−
n
n j n
n
e n x n
x
*
n
n
e n
∞
−∞
=
=
=
= ∑
Vậy
) ( )]
( [x* n X* e jω
Nếu x(n) là thực thì :
) ( ) (
* n x n
x ≡ và FT[x*(n)]=FT[x(n)]
Vậy đối với tín hiệu x(n) thực, ta có quan hệ sau đây :
) ( ) (
* e jω X e jω
hay
) ( ) (
* e jω X e jω
Từ quan hệ (3.27) hay (3.28) ta có thể nói rằng phổ của tín hiệu thực có tính đối xứng Hermit (Hermitian Symmetry)
Từ đây ta thấy rằng, đối với x(n) thực ta có :
)]
( Re[
)]
(
)]
( Im[
)]
(
Tức là
)]
(
Re[X e jω : là hàm chẵn của ω
)]
(
Im[X e jω : là hàm lẻ của ω
Tương tự đối với modun và argument ta cũng có :
) ( ) (e jω X e jω
)]
( arg[
)]
(
Vậy ta nói rằng X(e jω) là đối xứng (hoặc đối xứng chẵn), còn arg[X(e jω)] là phản đối xứng (hoặc đối xứng lẻ)
Ví dụ 3.4:
4
3 )
x
n
=
Hãy tính X(e jω),Re[X(e jω)],Im[X(e jω)], X(e jω),arg[X(e jω)]
Giải :
Trang 9∑
=
−
∞
=
−
∞
−∞
=
=
=
=
=
0
3 4
3 )
( )
( )]
( [
n
n j n
n j n
n
n j
e X n x
j j
j
j
j e
e
e
+
−
−
−
=
−
−
−
=
−
=
−
−
4
3 cos
2
3 1
sin 4
3 cos
4
3 1
4
3 1 4
3 1
4
3 1
4
3 1
1
ω
ω ω
ω ω
ω
ω
Vậy ta có
2
4
3 cos
2
3 1
cos 4
3 1 )]
( Re[
+
−
−
=
ω
ω
ω
j e X
2
4
3 cos
2
3 1
sin 4
3 )]
( Im[
+
−
=
ω
ω
ω
j e X
áp dụng quan hệ (3.4) và (3.5) ta có :
2
4
3 cos
2
3 1
1 )
(
+
−
=
ω
ω
j
e X
ω
ω
ω
cos 4
3 1
sin 4
3 arg )]
( arg[
−
−
=
j e X
3.3.4 Tính Chất Biến Số n Đảo
Giả sử có tín hiệu x(n) và biến đổi Fourier của nó là :
[ ( )]
arg
) ( ) ( )]
( [x n X e jω X e jω e j X e jω
Bây giờ ta tính biến đổi Fourier của tín hiệu x(-n) :
∑∞
−∞
=
−
−
=
n
n j e n x n
x
FT[ ( )] ( ) ω đổi biến số l = - n, ta có :
∑∞
−∞
=
−
=
−
l
l j
e X n x
FT[ ( )] ( ω) ( ) ω vậy
) ( )]
( [x n X e jω
Nếu x(-n) là thực thì từ tính đối xứng Hermit ta có :
[ ( )] arg[ ( )]
) ( ) ( )]
( [x n X e jω X e jω e j X e jω X e jω e j X e jω
Trang 10Vậy với tín hiệu x(n) thực, ta có thể nói rằng : nếu tín hiệu bị đảo biến số n ngược lại quanh gốc toạ độ thì phổ biên độ của nó giữ nguyên không đổi, còn phổ pha của nó bị đổi dấu
3.3.5 Tích Chập Của Hai Tín Hiệu
Giả xử ta có hai tín hiệu x1(n) và x2(n)
) ( )]
( [x1 n X1 e jω
FT = ; FT[x2(n)]= X2(e jω)
Ta có dãy x3(n) như sau :
x3(n) = x1(n) *ø x2(n) bây giờ ta tìm biến đổi Fourier của x3(n) theo hàm của X1(e jω) và X2(e jω)
) ( )]
(
* ) ( [ )]
( [x3 n FT x2 n x2 n X3 e jω
n j n
k n
n j k
e k n x k x e
k n x k
−∞
=
∞
−∞
=
∞
−∞
=
−
∞
−∞
áp dụng tính chất trễ (3.3.2.2) ta có :
k j k
j j
k j k
e
−∞
=
−
∞
−∞
)
3
vậy :
) ( )
( )
3 e jω X e jω X e jω
3.3.6 Tích Của Hai Dãy
Nếu ta có :
) ( )]
( [x1 n X1 e jω
) ( )]
( [x2 n X2 e jω
thì
2
( 1 1
3 2
2
1 ) ( ))]
( [ )]
( ).
(
π
π
ω ω
e X n x FT n
x n x
−
−
=
≡
≡
Chứng minh :
n
n j n
e
π
π
ω ω
π
−
−
∞
−∞
=
−
∞
−∞
=
2
1 ) ( )
( )
( )
2 1
2 1 3
' '
2 ) ( 1
' '
) ( 2
π
π
π
ω ω
ω X e d e
n
n
∫ ∑
−
−
−
∞
−∞
=
=
Vậy ta có :
2 ) ( 1 3
' '
) (
2
π
π
π
ω ω
ω
e
∫
−
−
−
) (
* )
1
ω
e X
=
) e ( X
* ) e (
1
j 2
ω ω
Quan hệ (3.33) và (3.34) được gọi là tích chập liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2π
Trang 113.3.7 Vi Phân Trong Miền Tần Số
Nếu FT[x(n)]= X(e jω)
Thì
ω
ω
d
e dX j n nx FT
j ) ( )]
(
Chứng minh :
n j n
e
−∞
=
∑
) (
n j n
n j n
n j n
j
e n nx j e
d
d n x e
n x d
d d
e
ω ω
ω
−
∞
−∞
=
−
∞
−∞
=
−
∞
−∞
) (
Vậy ta có :
)]
( [ )
( )
(
n nx FT e
n nx d
e dX
n
j
=
= ∞ −
−∞
=
ω
ω
3.3.8 Trễ Tần Số
Nếu ta có :
) ( )]
( [x n X e jω
thì :
) e ( X )]
n ( x e [
Chứng minh :
Theo định nghĩa của biến đổi Fourier ta có :
) (
) ( )
( )]
(
−∞
=
−
∞
−∞
=
=
=
n
n j n j n
n
e FT
Nhận xét :
Việc nhân dãy x(n) với e jω 0n trong miền biến số n sẽ tương đương với việc dịch chuyển tần số của phổ X(e jω) đi một lượng ω0 Phổ X(e jω) được minh hoạ trong hình 3.3 dịch đi một lượng
3
2π
-2π -π 0 π/3 2π/3 π 2π
ω X(ejω)
Hình 3.3a
Trang 123.3.9 Quan Hệ Parseval
Nếu ta có
) ( )]
( [x1 n X1 e jω
) ( )]
( [x2 n X2 e jω
thì
π
π
π
ω
ω X e d e
X n
x n x
n
j j
−
∞
−∞
=
∞
−∞
=
2 1
* 2 1
2
1 ) ( )
Quan hệ (3.37) gọi là quan hệ Parseval
Chứng minh :
π
ω π
π
π
ω ω π
π
ω
e X n
x n
x n
n
n j j n
−
−
∞
−∞
=
−
∞
−∞
=
∞
−∞
=
=
2 1
2 1
* 2 1
2
1 ) ( 2
1 ) ( )
( ) (
π
ω π
π
π
ω ω
π
π
ω
e
n
n j j
∫
−
−
∞
−∞
=
2 1
* 2
2
1 )
( 2
1
trong trường hợp x1(n) = x2(n) = x(n) quan hệ Parseval cho ta :
π
π
π
ω d e X n
−
∞
−∞
=
2
2
1 )
2
)
(e jω
X gọi là phổ mật độ năng lượng của x(n), nó thể hiện sự phân bố năng lượng theo hàm của tần số Ta ký hiệu nó là SXX(ejω)
2
) ( ) ( jω jω
XX e X e
Ta biết rằng năng lượng của tín hiệu x(n) là Ex :
∑∞
−∞
=
=
n
-2π -π 0 π/3 2π/3 π 2π
ω X(ejω)
Hình 3.3b
Trang 13Như vậy quan hệ Parseval chính là quan hệ giữa năng lượng tìn hiệu và phổ mật độ năng lượng của tín hiệu đó
Trong trường hợp x(n) là thực thì X(e jω) là đối xứng :
) ( ) (e jω X e jω
Vậy ta có thể nói rằng, nếu x(n) là thực thì SXX(ω) cũng là đối xứng :
) ( )
XX
j
3.3.10 Định Lý Tương Quan Và Định Lý Wiener Khintchine
Nếu ta có :
) ( )]
( [x1 n X1 e jω
) ( )]
( [x2 n X2 e jω
thì
x
r
FT ( ) = ( ) = 1 2 −
2
Chứng minh :
n m
n j n
x
r
−∞
=
∞
−∞
=
−
∞
−∞
=
−
=
)
2
n j
e n m x m
∞
−∞
=
∞
−∞
=
đổi biến m – n = l
m j m
j l
m j
e e X m x e
l x m
−∞
=
−
−
−
∞
−∞
=
∞
−∞
2 1
) ( ) ( ) ( )
2 e jω X e jω X e jω X e jω
=
Nhận xét :
Nếu x2(n) là thực ta có :
j
2 1
2 1
) (
Nếu x1(n) = x2(n) = x(n) ta có hàm tự tương quan
j
xx e X e X e
Nếu hàm tự tương quan của x(n) thực, ta có :
) ( ω ω * ω ω 2 jω
xx j
j j
j
Vậy biến đổi Fourier của hàm tự tương quan sẽ bằng phổ mật độ năng lượng của tín hiệu
Trang 14( )2
) ( ) ( ω jω jω
xx
j
Quan hệ (3.43) ở trên gọi là định lý Weiner-Khintchine
Đối với biến đổi Fourier của hàm tương quan chéo, ta còn gọi là R ( e j )
x
x1 2 ω là phổ mật độ năng lượng chéo của x1(n) và x2(n) và ký hiệu là ( )
2 ω
j
x e
ω
x
j
3.3.11 Tổng Kết Các Tính Chất Của Biến Đổi Fourier Đối Với Tín Hiệu Rời Rạc
Bảng 3.1.
Tính chất Miền biến số n Miền tần số liên tục ω Ký hiệu
Cặp biến đổi Fourier
Tuyến tính
Trễ
Đối xứng
Liên hợp phức
Biến số đảo
Tích chập
Tích (đại số)
x(n)
x1(n)
x2(n)
∫
−
= π
π
ω
n
x ( j ) j n
2
1 ) (
) ( ) ( 2
1 n bx n
ax +
x(n – n0) x(n) thực
X*(n) x(-n)
x1(n) * x2(n)
x1(n) x2(n)
) (e jω X
) (
1 e jω
X
) (
2 e jω
X
∑∞
−∞
=
−
=
n
n j
e
X( ω) ( ) ω
aX1(ejω) + bX2(ejω)
) (
ωn j
j X e
e−
) ( ) (
* e jω X e jω
)] ( Re[
)]
( Re[X e jω = X e−jω
)] ( Im[
)]
( Im[X* e jω =− X e−jω
) ( ) (e jω X e jω
)] ( arg[
)]
( arg[X e jω =− X e−jω
) (
* e jω
) (e jω
X −
) ( )
1 e jω X e jω
X
∫
−
−
π
π
ω ω
π
' 2
) (
2
d e X e
Trang 15Vi phân trong miềm ω
Trễ tần số
Điều chế
Quan hệ Parseval
Tương quan
Định lý Weiner –
Kintchine
nx(n)
) (
0 x n
e jωn
x(n) cosω0n
∑∞
−∞
=
n
n x n
x ( ) *( )
2 1
∑∞
−∞
=
n n
x( )2
∑∞
−∞
=
−
=
m
2
) (
2 n
r x
ω
ω
d
e dX
j ( j )
−
) (e j( ω − ω 0 )
X
) (
2
1 ) (
2
1X e j(ω+ω0) + X e j(ω+ω0)
∫
−
π
π
ω
j
j ) ( ) (
2
2 1
∫
−
π
π
ω ω
j )2 ( 2
1
) ( )
1 e jω X e jω
2
) ( ) ( ) ( ω jω jω
xx
j
3.4 So Sánh Biến Đổi Fourier Với Biến Đổi Z
Quan Hệ Giữa Biến Đổi Fourier Với Biến Đổi Z
Biến đổi Z của dãy x(n) được định nghĩa như sau :
−∞
=
−
=
=
n
n
z ) n ( x )
z ( X ) n (
Miền hội tụ là ROC: r1 < Z <r2, r1 : bán kính vòng trong, r2 : bán kính vòng ngoài
Chúng ta có thể biểu diễn biến đổi Z dưới dạng toạ độ cực sau đây:
ω
j
re
ở đây Z =r và arg[Z]=ω
Tiếp tục chúng ta có :
−∞
=
−
−
∞
−∞
=
− =
=
=
=
n
n j n n
n j
re X z X n x
Từ biểu thức (3.47) ta có thể biến đổi Z X(z) như là biến đổi Fourier của dãy tín hiệu
