Tài liệu Xử lý tín hiệu số_Chương II (Phần 1) pptx

Quan hệ trên được gọi là biến đổi - Z trực tiếp bởi vì nó biến đổi tín hiệu trongmiền thời gian xn thành việc biểu diễn tín hiệu Xz trong miền Z tức là trong mặtphẳng phức Z vì z là biến

2.2.1 Định Nghĩa Biến Đổi - Z Hai Phía Và Một Phía

a Biến Đổi - Z Hai Phía : Biến đổi - Z của tín hiệu rời rạc theo thời gian được

định nghĩa qua một dãy luỹ thừa

nz)n(x)

z(

trong đó z là 1 biến số phức

Quan hệ trên được gọi là biến đổi - Z trực tiếp bởi vì nó biến đổi tín hiệu trongmiền thời gian x(n) thành việc biểu diễn tín hiệu X(z) trong miền Z (tức là trong mặtphẳng phức Z vì z là biến số phức) và X(z) là một hàm phức của biến số z

Biến đổi z của x(n) được mô tả bởi :

Ở đây quan hệ giữa x(n) và X(z) được mô tả bởi : x(n) ← →Z X(z)

Ta thấy rằng biến đổi - Z là một chuỗi lũy thừa vô hạn, nó tồn tại chỉ đối với cácgiá trị z mà tại đó chuỗi này hội tụ

Miền hội tụ ROC (Region of Convergence) của X(z) bao gồm tất cả các giá trịcủa z mà ở đó X(z) hội tụ

Hãy xác định biến đổi z của các tín hiệu với độ dài hữu hạn sau :

)n(

δ z−n = 1z0=1ROC toàn bộ mặt phẳng Z(d) X4(z) = ∑∞

−∞

= n

δ (n-no)z−n= 1z− n o = z− n o (no > 0)ROC toàn bộ mặt phẳng Z, trừ Z = 0

n

z)1n()4n(

z trong phép biến đổi có chứa thông tin về thời gian xác định mẫu của tín hiệu

• Trong rất nhiều trường hợp, biểu thức của biến đổi z dưới dạng tổng của các chuỗivô hạn hoặc hữu hạn có thể được biểu diễn bằng một biểu thức ở dạng ngắn gọn Hãyxét ví dụ dưới đây :

Ví dụ 2.2 :

Hãy tìm biến đổi Z của tín hiệu

(a) x1(n) = { 2, 1, 3, 5}

(b) x2(n) = {5, 2, 1, 4, 3}

1,2

1,1

n 3

n2

n 1z21

Với các giá trị của z để cho z 1

11

1

−

21

b Biến đổi - Z một phía :

Biến đổi - Z một phía của dãy x(n) được định nghĩa như sau :

X(z) = ∑∞

= 0

Sự khác nhau giữa biến đổi Z một phía và hai phía :

• Tổng theo n chỉ chạy từ 0 đến∞

• Không biễu diễn được tín hiệu x(n) đối với miềnbiến số độc lập âm (n< 0)

Ví dụ 2.3:

Tìm biến đổi Z một phía của tín hiệu sau :

x(n) = 2δ (n+2)+δ (n)+ 3δ (n-1)X(z) = ∑∞

= 0

n x(n) z-n = 1+ 3z-1 ROC : z ≠ 0

2.2.2 Sự Tồn Tại Của Biến Đổi Z

Theo định nghĩa ROC ở trên, tập hợp tất cả các giá trị của z mà tại đó chuỗi :

X(z) = ∑∞

−∞

=

n x(n)z-n hội tụ được gọi là miền hội tụ ROC của biến đổi Z

Để tìm miền hội tụ, ta thường sử dụng tiêu chuẩn Cauchy

0

ROC1/2

Mặt phẳng Z

Hình 2.1

Im(z)

Re(z)

a Phát biểu tiêu chuẩn Cauchy : Tiêu chuẩn Cauchy khẳng định rằng một chuỗi

1 + +

Giải : Ứng dụng tiêu chuẩn Cauchy ta có :

n

1 n

1 < 1

vậy chuỗi hội tụ

b Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy để tìm miền hội tụ :

Để áp dụng tiêu chuẩn Cauchy ta có thể chia chuỗi X(z) thành hai chuỗi như sau:

X(z) = ∑∞

−∞

=

− n

nz)n(

n 1

n

n x(n)zz

)n(

n

nz)n(xXét chuỗi X2(z) chuỗi này hội tụ khi

n

1 n n

z)n(x

)n(xlim→∞ z−1 < 1

1 n

)n(x

X1(z) = m

1 m

z)m(x

)m(xĐiều kiện hội tụ của chuỗi X1(z) là :

m

1 m m

z)m(x

∞

→

< 1m

1 m

)m(x

Vậy nếu Rx − < Rx + miền hội tụ ROC thỏa :

−

x

R < z < Rx +.Đây là một hình vành khăn có bán kính trong Rx −

và bán kính ngoài Rx +, tâm là gốc tọa độ trong mặt

phẳng phức Z

Nhận xét :

• Đối với tín hiệu nhân quả có chiều dài vô hạn n∈

[0, +∞], miền hội tụ của biến đổi

Z : Rx −< z nằm ngoài vòng tròn bán kính Rx −

• Đối với tín hiệu không nhân quả có chiều dài vô hạn n∈ [–∞, 0], miền hội tụ củabiến đổi Z : z < Rx +nằm trong vòng tròn bán kính Rx +

• Nếu Rx −≥ Rx +thì miền hội tụ sẽ rỗng, tức là X(z) không hội tụ

• Hai tín hiệu x(n) khác nhau có thể có cùng biến đổi Z Tuy nhiên trong trường hợpnày miền hội tụ ROC của chúng phải khác nhau Thật vậy hãy xét các ví dụ sau đây :

n.z aza

Dùng công thức :

α

ααα

1

−

−ROC z > a

az1

1

−

−ROC z < a

2.2.3 Cực Và Không

Trong thực tế, ta thường gặp các biến đổi Z là một hàm hữu tỷ của z :

X(z) =

)z(D

)z(

a Định nghĩa không (zeros)

Tại các điểm z = zor ta có z(zor) = 0 thì các điểm đó gọi là các không của X(z).Vậy nghiệm của tử số N(z) chính là không của X(z) Nếu N(z) là đa thức bậc M thìX(z) có M không

b Định nghĩa cực (poles)

Tại các điểm z = zpk ta có X(zpk) = ∞ thì các điểm đó gọi là cực của X(z).Vậynghiệm của mẫu số D(z) chính là cực của X(z) Nếu D(z) là đa thức bậc N thì X(z) có Ncực.

X(z) = 2 2

z

2z3

2z

2z1

Vậy X(z) có 2 không tại: z01 = -1 ; z02 = -2

Và có 1 cực kép tại: z = 0 ; zp1 = zp2 = 0

Vị trí của các cực và không cho bởi hình 2.4 :

Nhận xét :

• Miền hội tụ của X(z) không chứa cực của X(z) vì tại các cực X(z) không xác định

• Trong mặt phẳng phức Z các cực sẽ được ký hiệu bằng dấu gạch chéo (X), còncác không được ký hiệu bằng các khuyên nhỏ (o)

° X(z) có thể được biểu diễn chính xác bởi các cực và không

Biến đổi Z là một công cụ được sử dụng rất hiệu quả khi nghiên cứu tín hiệu vàhệ thống rời rạc theo thời gian Tầm quan trọng của phép biến đổi Z xuất phát từ mộtsố tính chất rất quan trọng của nó Trong phần này ta sẽ nghiên cứu một số tính chấtcủa biến đổi này

2.3.1 Tính Tuyến Tính

nếu x1(n) ← →z X1(z)

x2(n) ← →z X2(z)thì x(n) = a1x1(n) + a2x2(n) ← →z X(z) = a1X1(z) + a2X2(z) (2.8)với a1 , a2 là 2 hằng số bất kỳ

ROC của X(z) là phần giao của ROC của X1(z) và X2(z)

Ví dụ 2.8 :

Xác định biến đổi z và ROC của tín hiệu

x(n) = [ 3(2n) – 4(3n) ]u(n)Nếu ta định nghĩa các tín hiệu :

x1(n) = 2nu(n) và x2(n) = 3nu(n)Thì x(n) có thể biểu diễn dưới dạng

x(n) = 3x1(n) - 4x2(n)Theo tính chất tuyến tính biến đổi Z của x(n) sẽ là:

X(z) = 3X1(z) - 4X2(z)

* Xác định X1(z) :

x1(n) = 2nu(n) → X1(z) = 1

z21

1

−

− với ROC2: z > 3Giao của hai miền hội tụ của X1(z) và X2(z) là z > 3, như vậy :

X(z) = 1

z21

3

−

z31

an z-n = ∑∞

=0 n

an z-n – 1

= 1

az1

1

−

− - 1 = 11

az1

az

−

−

− ;ROC2: z > aÁp dụng tính chất tuyến tính ta có :

X(z) = X1(z) - X2(z) = 1

az1

1

−

az1

2.3.2 Tính Dịch Chuyển Theo Thời Gian

−∞

= n x(n – k) z-(n – k) = z-k X(z)

Tính chất tuyến tính và tính chất dịch chuyển theo thời gian được xem như chìa khóa cơbản để thực hiện biến đổi Z khi phân tích các hệ thống tuyến tính bất biến theo thờigian

X(z) = a z-1 X1(z) = 11

az1

az

−

−

− với ROC: z > a

2.3.3 Nhân Với Hàm Mũ a n

Nếu x(n) ← →z X(z) với ROC : r1 < z < r2

Thì an x(n)← →z X(a-1 z) với ROC : ar1 < z < ar2 (2.10)

Ta suy ra ROC của X(a-1 z) là : r1 < a− 1z < r2 hay ar1 < z < ar2

Ví dụ2.11 :

Tìm biến đổi Z của tín hiệu

x(n) = an(cosωon) u(n)Trước hết ta tìm biến đổi Z của tín hiệu

cosz1

−

−

−+

−

−ω

ω ;ROC z > 1Từ đó ta suy ra X(z) = X1(a-1 z)

o 1

o 1

zacosaz21

cosaz1

−

−

−+

−

−ω

1

−

Vậy x(n) = nanu(n) = n.x1(n)

Suy ra X(z) = -z

dz

)z(

az1

az

−

−

2.3.5 Lấy Biến Đảo

Nếu x(n) ← →z X(z) với ROC: r1 < z < r2

Thì x(-n) ← →z X(z-1) với ROC:

2

r1 < z <

1r

x(m) zm = ∑∞

−∞

= m

x(m) (z-1)-m = X(z-1)ROC của X1(z) là r1 < z−1 < r2

hay

2r

1 < z <

1r1

2.3.6 Dãy Liên Hợp Phức

Giả sử ta có hai dãy sau đây x(n) và x*(n), ở đây dấu * có nghĩa là liên hợp phức

Ta phải tìm mối quan hệ biến đổi Z của 2 dãy này

Ta có X(z) = ∑∞

−∞

= nx(n) z-n

x1(n) = x*(n) ↔ X1(z) = ∑∞

−∞

= n

−∞

= n

x*(n) (z*)-n

X*(z*) = ∑∞

−∞

= n

x1(k)x2(n – k)

Vậy X(z) = ∑∞

−∞

= n

x1(k) ∑∞

−∞

= n

x2(n – k) z-n = ∑∞

−∞

= k

x1(k) z-k ∑∞

−∞

= n

Phương pháp này trong rất nhiều trường hợp sẽ cho phép xác định tích chập của 2tín hiệu một cách dể dàng hơn so với việc sử dụng công thức của tích chập trong miềnthời gian

2.3.8 Tích Của Hai Dãy

Nếu x1(n) ←→z X1(z)

x2(n) ←→z X2(z)Thì x(n) = x1(n).x2(n) ←→z X(z) = v dv

v

z X ) v ( X j 2

x1(n) x2(n) z-n

mà x1(n) = ∫C X1

j 2

1

π (v) vn-1 dvtrong đó C là đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ của mặt phẳng phức Z theochiều dương (Xem phần biến đổi Z ngược)

1

π (v) vn-1 dv x2(n) z-n = ∫C X1

j 2

1

−∞

= n

vn-1 x2(n) z-ndv

= ∫c X1

j 2

1

−∞

= n

Vậy X(z) = ∫C X1

j 2

z v-1 dvĐể tìm được ROC của X(z) ta lưu ý là :

Nếu * ROC1 của X1(v) là r1l < v< r1u

z là r2l <

v

z < r2u

* ROC của X(z) là r1lr2l < z < r1ur2u

Mặc dù tính chất này không sử dụng ngay nhưng sau này chúng ta sẽ dùng tới nókhi xử lý việc thiết kế các mạch lọc cơ bản bằng kỹ thuật cửa sổ

2.3.9 Định Lý Giá Trị Đầu

Nếu x(n) là dãy nhân quả nghĩa là x(n) = 0 với n< 0) thì x(0)=

→∞

zlimX(z)

X(z) =∑∞

=0 nx(n) z-n = x(0) + x(1) z-1 + x(2)z-2 + Rõ ràng khi z→∞ thì z-n→ 0 với n> 0

Vậy

→∞

zlimX(z) = x(0)

2.3.10 Các Tính Chất Quan Trọng Của Biến Đổi Z Bảng 2.1

• Bảng 2.1 : Các tính chất của biến đổi Z

dX r2 < z < r1

Tích chập x1(n) * x2(n) X1(z) X2(z) ROC1 I ROC2

Phép nhân x1(n) x2(n) ∫C X1

j 2

Giá trị đầu x(n) là tín hiệunhân quả x(0) = zlim→∞X(z)

2.3.11 Một Vài Cặp Biến Đổi Z Thông Dụng Được Cho Trong Bảng 2.1

Bảng 2.2 : Một vài cặp biến đổi Z thông dụng

δ(n) 1 Toàn bộ mặt phẳng Z

o 1

zcosz21

cosz1

−

−

−+

−

−ω

ω

z > 1

12

o 1

zacosaz21

cosaz1

−

−

−+

−

−ω

ω

z > a

o 1

o 1

zacosaz21

sinaz

−

−

−+

ω

z > a

Thông thường, khi chúng ta có biến đổi Z của một dãy nào đó, tức là chúng ta đãbiểu diễn dãy x(n) trong miền Z Sau khi khảo sát gián tiếp dãy trong miền Z, chúng tacần phải đưa nó trở về miền biến số độc lập tự nhiên, tức là chúng ta phải tìm x(n) từbiến đổi Z của nó Biến đổi Z ngược sẽ giúp chúng ta thực hiện công việc này

Định lý Cauchy, một định lý quan trọng trong lý thuyết biến số phức sẽ cho ta có

cơ sở để xây dựng công thức của biến đổi Z ngược

0 n với

0

1dz.zj2

1C 1 n

Ở đây C là đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ của mặt phẳng phức Z theochiều dương (ngược chiều kim đồng hồ)

Ta có x(n) ← →z X(z) = ∑∞

−∞

=

k x(k) z-k

Nhân 2 vế của X(z) với zn-1 và lấy tích phân theo chiều dài đường cong (C) bao

quanh gốc tọa độ và nằm trong miền hội tụ của X(z) hình 2.5, ta có :

∫C X ( z )zn-1 dz = ∫ ∑∞

−∞

= C kx(k) z-k zn-1 dz

= ∫ ∑∞

−∞

= C kx(k)zn-1-k dz

Bởi vì tích phân lấy trong miền hội tụ của X(z) do vậy chuỗi trên là hội tụ Ta cóthể viết lại:

k n với

0

1dzzj2

1C k 1 nπTừ đó ta có :

∫C X ( z )zn-1 dz = 2πjx(n)Suy ra

x(n) = ∫CX(z)

j2

1

π zn-1dzTrong thực tế công thức này hầu như ít được sử dụng do tính chất phức tạp củaphép lấy tích phân Trong thực tế có 3 phương pháp thường được sử dụng để tính biếnđổi Z ngược

2.4.2 Phương Pháp Thặng Dư : Phương pháp tính trực tiếp tích phân bằng cách sử

dụng lý thuyết thặng dư

Giả sử rằng f(z) là hàm của biến số phức z và C là đường cong khép kín trong mặtphẳng Z Nếu

dz

)z(

df tồn tại ở trên và bên trong đường cong này và f(z) không có cựctại z = zo thì :

) z ( j 2

C o

0

C trong nằm z nếu 0

0

0

z z 1 k

1 k

o

dz

)z(d)!

1k(

1dz

)zz(

)z(j

)z( trong đó f(z) không có các cực nằm bêntrong C và g(z) có các nghiệm zi trong C thì :

∫C g(z)

)z(j2

1

π dz = ∫ ∑C = −

n 1

i

z z

) z ( A j

i Ai(zi)Trong đó Ai(zi) được xác định như sau :

)z(g

)z

= −

n 1

i i

z z

) z ( A

Suy ra ngay : Ai(zi) = (z – zi)

zi z)z(g

)z(

= là giá trị thặng dư của cực z = zi

Vậy giá trị của tích phân theo đường cong khép kín sẽ bằng tổng các giá trị thặng

dư của tất cả các cực bên trong đường cong C

Trong trường hợp g(z) có nghiệm bội thì :

∫C g(z)

)z(j2

1

n 1

i

) z z (

) z ( A j

i (k 1)!

1

zi z 1 k i 1 k

dz

) z ( A d

=

−

−

(2.18)Vậy giá trị thặng dư tại cực zi trong trường hợp này là :

)!

1k(

1limzi

i 1 kdz

)z(Ad

−

−

Với Ai = (z – zi)k

)z(g

)z(

Ví dụ 2.14 :

Tìm biến đổi ngược của hàm số sau :

X(z) = 1

az1

az 1

z j 2

1

n

a z

z j 2

zn

− được viết lại :

)az(z

1

n −

)az(z

1'

n − (n’ = -n)Vậy ta có cực đơn z = a, cực bội bậc n’, z = 0

→ Giá trị thặng dư tại cực đơn z = a :

A(a) =

a z

lim

→ (z – a)

)az(z

1'

d

−

−

az

1

−mà nn''11

1 = (-1)n’-1

' n)az(

)!

1'n(

−

−Vậy giá trị thặng dư tại z = 0 là :

0 z

)!

1'n(

−

− = nn''1

) a (

) 1 (

−

− − = - 

1 n’ = -an

→ Vậy x(n) = (giá trị thặng dư tại z = a + giá trị thặng dư tại z = 0)

= an- an=0

Tóm lại :

x(n) = α1 x1(n) + α2x2(n) + + αkxk(n) (2.20)Trên thực tế phương pháp này được sử dụng rất hiệu quả nếu X(z) được biểu diễnqua cacù phân thức 1

kzp1

1 1

M M

1 1 0

za

za1

zb

zbb)z(D

)z(N)z(

−

−+++

+++

N 1 N

M N M 1

N 1

N 0

a

zaz

zb

zbzb)z(X

+++

+++

* N > M : chia hai vế phương trình cho z

N

1 N 1 N

1 M N M 2

N 1 1 N 0

a

zaz

zb

zbz

bz

)z(X

+++

+++

Giả sử hàm X(z) có chứa điểm cực p1, p2, … , pN Ta có :

N

N 2

2 1

1

p

A

pz

Ap

z

Az

)z(

1

−

− A1 + 1

2zp1

1

−

− A2 + + 1

nzp1

1

−

nhân hai vế phương trình cho (z - pk), với k = 1, 2, … , N, suy ra

(pk)nu(n) nếu ROC z > pk (tín hiệu nhân quả)

-(pk)nu(-n-1) nếu ROC z < pk (tín hiệu không nhân quả)

N

N k k

1

1 k k

pz

A)pz(

Ap

z

A)pz(z

)z(X)pz(

−

−+++

k

ROC của x(n) sẽ được xác định từ ROC chung của các tín hiệu x1(n), x2(n)

xn(n)

→ Trường hợp X(z) có các cực bội Trường hợp đơn giản nhất là cực bội bậc 2, thì

các phân thức có dạng :

1

pz 1

1z5,0z1

z1)

z(

−+

1

1zz

)z(X

1p2

1j2

1

p1 = + và 2 = −khi p1 ≠ p2, từ công thức (2.14), ta có :

2

2 1

1 2

Ap

z

A)pz)(

pz(

)1z(z

)z(X

12

1j2

12

1j21

12

12

1p

z

-1z p

jp

zz

)z(X)pz(A

12

1j2

12

1j21

12

12

1p

z

-1z p

jp

zz

)z(X)pz(A

thay các giá trị p1, p2, A1, A2 ta được hàm biến đổi Z sau :

Ví dụ 2.15 :

Hãy xác định biến đổi Z ngược của

z5,0z5,11

1

−

− +

−Trong 3 trường hợp sau :

2

−

z5,01

1

−

−(a) ROC z > 1, tra bảng ta có

1z1

(b) ROC z < 0,5 tra bảng ta có

1z1

2

−

−  →z−1 x1(n) = –2u(–n–1)

1z5,01

(c) ROC 0,5< z < 1

1z1

−

− −+

Ta có X(z) =

4

z1

n4

3)1(4

1

−

− +

−Với : (a) ROC z > 1

(b) ROC z < 0,5

Giải :

(a) ROC z > 1 miền hội tụ nằm ngoài vòng tròn, do vậy x(n) sẽ là tín hiệu nhânquả Đều này chứng tỏ X(z) cần phải được khai triển thành chuỗi lũy thừa với lũy thừaâm của z (n≥ 0) Thực hiện phép chia tử số cho mẫu số với mẫu số phải được sắp xếptheo thứ tự giảm dần của số mũ :

(b) Trong trường hợp này, ROC là miền nằm trong vòng tròn do vậy x(n) là dãykhông nhân quả Điều này chứng tỏ X(z) phải được khai triển thành chuỗi lũy thừadương của z (n < 0)

Để thực hiện được điều này, ta cũng tiến hành chia tử cho mẫu nhưng khi đó mẫusố phải được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của số mũ

15z3 - 14z4 15z3 - 45z4 + 30z5

31z4 - 30z5

,1[)n(

23 , 4

7 , 8

15 , }

{ 30, 14, 6, 2, 0, 0 }

Nhận xét :

Phương pháp này chỉ cho phép tìm một số giá trị cụ thể của dãy x(n) và khôngcó khả năng tìm ra biểu thức tổng quát của x(n)

→ Tóm lại để tìm biến đổi ngựơc Z, ta có các phương pháp sau :

° Trực tiếp tra cứu bảng và áp dụng các tính chất của biến đổi Z để tìm kết quả

° Phương pháp dùng định lý thặng dư

° Phương pháp khai triển thành tổng các phân thức tối giản

° Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa theo z hoặc z-1

2.5 Phân Tích Hệ Thống Trong Miền Z

2.5.1 Hàm Truyền Đạt Của Hệ Thống Rời Rạc

Như ta đã biết, trong miền thời gian, một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng

đáp ứng xung h(n) hoặc được đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính hệsố hằng Khi đó đầu ra của hệ thống sẽ được xác định thông qua đáp ứng xunghoặc phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Việc xác định này được thựchiện thông qua tổng chập và giải phương trình sai phân phức tạp và khó khăn, đểkhắc phục những nhựơc điểm này hệ thống có thể được biểu diển trong miền Zvới hàm truyền đạt của nó

a. Định nghĩa hàm truyền đạt :

Trước hết ta tiến hành so sánh quan hệ giữa đầu vào, đầu ra và đáp ứng xungtrong miền n sau đó chuyển sang miền Z

Từ bảng so sánh trên, ta định nghĩa H(z) là hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc.H(z) chính là biến đổi z của đáp ứng xung h(n)

H(z) =

)z(X

)z(Yh(n)